精品解析：陕西省咸阳市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷 数学试卷 第一部分（选择题 共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根．根据题意利用算术平方根定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根是4， 故选：A． 2. 玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据圆锥、圆柱、球体，长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解：A、用不同的方法截球，不能得到长方形，故该选项不符合题意； B、用不同的方法截圆柱，能得到以上各种图形，故该选项符合题意； C、用不同的方法截长方体，不能得到圆形，故该选项不符合题意； D、用不同的方法截圆锥，不能得到长方形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，函数（为常数）和的图象相交于点，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的交点问题，函数与方程，解决问题的关键是熟练掌握函数与方程的关系．把交点代入函数，根据函数与方程关系可得一元一次方程，解方程即可解答． 【详解】解：∵函数（为常数）和的图象相交于点， ∴，，即， 解得：， 故选：A． 5. 如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点E，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由矩形的性质可得、，再根据折叠的性质可得、，即，；由勾股定理可得 ，易证可得，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：矩形中，， ∴，， ∵将沿折叠到的位置， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6. 如图，是的直径，点、均在上，连接、，过点作的切线交的延长线于．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质是解答的关键．连接，根据切线性质得到，再利用圆周角定理得到，进而根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． ∴， 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即 ∵ ∴， ∴， 故选：C． 7. 二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 第二部分（非选择题 共99分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 8. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解．提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 如图，点P在正六边形的边上运动（可与端点重合），若，写出一个符合条件的x的值________．（写一个即可） 【答案】50（答案不唯一，） 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键．先求得，在根据点的边界位置，求得的取值范围，从而得解． 【详解】解：如图，连接，， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， 由对称性可得：， ∴， ∴， 故答案为（答案不唯一）． 10. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：原文：今有共买斑（琎：像玉的石头），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数、琎价各是多少？设人数是，则依题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，设人数为x，利用总钱数不变，用含x的式子表示出琎价，列出方程即可． 【详解】解：设人数是x，根据题意得， ． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查反比例函数：根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数k，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 12. 如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，线段和的最小值问题，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 连接，延长至E，使得，利用菱形的性质和题中条件证明，推出，接着证明，推出，进而说明的最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】连接，延长至E，使得，如图所示： 由题知，， 四边形是菱形，，， ，， 又， ，即， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 当A，P，E三点共线时，有最小值，为的长． 连接，过点A作交延长线于F， 则，，， ，， ， 由勾股定理得， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别化简各项，再合并即可． 【详解】解： ． 14. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式乘除的混合运算，熟练掌握整式乘除的混合运算是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式计算小括号内的算式，再根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：原式． 15. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】先去分母消除分数形式，再去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为求出解集，之后依据解集在数轴上准确表示．本题主要考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ）是解题的关键． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 16. 如图，在中，请用尺规作图法在边上求作一点P，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点P为所作． 【解析】 【分析】此题考查三角形中线、平行四边形的性质、垂直平分线的作图等知识．作的垂直平分线即可得到答案． 【详解】略 17. 如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：在中，， 由题知，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用平行四边形的性质和题中条件证明，可得，进而可证明四边形是菱形． 【详解】略． 18. 农为邦本．本固邦宁．某地在多条“振兴链组”赋能下，采取“政府搭台、企业唱戏”方式，搭建“线上线下”运作的农产品馆，引入联营直销、银行补贴、积分兑换等方式，持续创新新型农产品供销模式某农产品合作社主要推销甲，乙两种不同品种的有机萝卜，该合作社用2700元从农户处购进甲，乙两种萝卜，其中1200元购买甲种萝卜，其余资金购买乙种萝卜．已知乙种萝卜每千克的价格是甲种萝卜每千克价格的1.5倍，且购进甲种萝卜的数量比乙种萝卜多50千克．求甲、乙两种萝卜每千克的价格． 【答案】甲种萝卜每千克的价格为4元，乙种萝卜每千克的价格为6元 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 设甲种萝卜每千克的价格为x元，则乙种萝卜每千克的价格为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲种萝卜每千克的价格为x元，则乙种萝卜每千克的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲种萝卜每千克的价格为4元，乙种萝卜每千克的价格为6元． 19. 2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． （1）班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 【答案】（1） （2）这个规则对双方不公平， 画树状图如下： 由图可知，共有15种等可能的结果， 其中第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果有6种， ，． ， 这个规则对双方不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再得到第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果数，最后根据概率计算公式分别求出两人参加的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 20. 西安，作为一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多著名的旅游景点和丰富的美食文化，是游客们向往的旅游胜地，寒假期间，莹莹一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到A、B两个租车公司租用一辆新能源汽车游玩． A公司：每辆车收取固定租金90元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元； B公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是30元． 设租车时间为x小时，租用A公司的车所需费用为元，租用B公司的车所需费用为元． 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）请通过计算说明莹莹家选择哪家公司租车比较划算？ 【答案】（1）， （2） 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得， 莹莹家租车时间若超过6h，选择A公司租车比较划算；若等于6h，从A、B两个公司任选一家即可；若少于6h，选择B公司租车比较划算． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用和用一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是根据题目所给的收费标准列出函数关系式，并通过比较函数值大小来确定最优方案. （1）根据、两公司的收费标准分别列出、与的函数关系式. （2）通过比较与的大小，分三种情况讨论，确定在不同租车时长下选择哪家公司更划算. 【小问1详解】 解：根据题意，得， ； 【小问2详解】 略 21. 某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 22. 2025年全国两会在万众期待中拉开帷幕，这是我国政治生活中的一件大事，关乎国家的发展、人民的福祉．某校组织了以“关注两会，与祖国共成长”为主题的知识竞赛，已知每人道题，校团委随机抽查了部分学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整，本次所抽取学生答对题数的中位数为________道，本次所抽取学生答对题数的众数为________道； （2）求本次所抽取学生答对题数的平均数量； （3）若该校共有人参加此次知识竞赛，请你估计该校此次竞赛这道题全部答对的学生人数． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）道 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数的定义，平均数的计算，样本估计总体，熟练掌握由条形统计图和扇形统计图获取有效信息是解题关键． （1）由图求出抽样调查的样本容量，根据中位数、众数的定义即可求解； （2）根据本次所抽取学生答对题数的平均数量答对的总题数样本容量人数即可计算求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知：答对道题的人数为人，占总人数的比例为， 抽样调查的总人数为人， 答对道题的人数为人． 本次所抽取学生答对题数的中位数为道，众数为道． 【小问2详解】 解：（道）， 本次所抽取学生答对题数的平均数量为道． 【小问3详解】 解：（人）， 估计该校此次竞赛这5道题全部答对的学生人数为人． 23. 如图，内接于，点在劣弧上，且，连接、，延长至点，连接，使得． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等，可得，结合已知进行等量代换，可得，根据平行线的判定定理即可证得结论； （2）由等角对等边可得线段长度相等，结合三角形相似的判定和性质，计算即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得，． 【点睛】本题考查等弧所对的圆周角相等，平行线的判定，等角对等边，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质． 24. 学科实践 驱动任务：用数学的眼光观察现实世界 研究步骤： a．某同学观察道路上的隔离栏（如图1）发现，各个竖杆上涂有颜色部分的顶端及点A、B所在曲线呈抛物线形（如图2，栏杆宽度忽略不计）； b．隔离栏长为，隔离栏顶端G距竖杆底部A的距离，隔离栏被12根竖杆等分成13份，左起第5根涂色竖杆涂色部分的高度； c．以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）求抛物线的函数表达式； （2）若从隔离栏的顶端G处向点H沿水平方向拉一条长为的矩形横幅，横幅上边缘沿水平方向与点G平齐，为了不遮挡隔离栏上的涂色部分，则横幅的最大宽度为多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，求出函数解析式的关键． （1）先求出该抛物线的对称轴为直线，设抛物线的函数表达式为：，则，即，①，求出点D的坐标为．将代入函数表达式得，，②．解方程组即可得到答案； （2）求出当时的函数值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：点A坐标为，点B的坐标为， 该抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的函数表达式为：， 则，即，① （米），米， 点D的坐标为． 将代入函数表达式得，，②． ①②联立，解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意知，左起第6、7根竖杆未涂色部分的长度最小， 当时，， ． 横幅的最大宽度为． 25. 定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 【答案】 （1）点的位置如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一，画出一个即可） ； （2）证明：如图，延长到，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 平分． （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义画图即可； （2）延长到，使得，连接，证明得出，，再由等边对等角可得，从而推出，即可得证； （3）由勾股定理可得，由邻等对补四边形的定义求出，再分四种情况，分别利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3），，， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ． ①当时，如图1，连接，， ， 由勾股定理可得， 解得． ②当时，如图2，连接， ，， ， ， 即， 解得， ； ③当时，如图3，连接， ，， ， ，故不符合题意，舍去； ④当时，如图3，同理可得，不符合题意，舍去． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷 数学试卷 第一部分（选择题 共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，函数（为常数）和的图象相交于点，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点E，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点、均在上，连接、，过点作的切线交的延长线于．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 第二部分（非选择题 共99分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 8. 因式分解：________． 9. 如图，点P在正六边形的边上运动（可与端点重合），若，写出一个符合条件的x的值________．（写一个即可） 10. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：原文：今有共买斑（琎：像玉的石头），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数、琎价各是多少？设人数是，则依题意可列方程为______． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为________． 12. 如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程） 13. 计算：． 14. 化简：． 15. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 16. 如图，在中，请用尺规作图法在边上求作一点P，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 17. 如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 18. 农为邦本．本固邦宁．某地在多条“振兴链组”赋能下，采取“政府搭台、企业唱戏”方式，搭建“线上线下”运作的农产品馆，引入联营直销、银行补贴、积分兑换等方式，持续创新新型农产品供销模式某农产品合作社主要推销甲，乙两种不同品种的有机萝卜，该合作社用2700元从农户处购进甲，乙两种萝卜，其中1200元购买甲种萝卜，其余资金购买乙种萝卜．已知乙种萝卜每千克的价格是甲种萝卜每千克价格的1.5倍，且购进甲种萝卜的数量比乙种萝卜多50千克．求甲、乙两种萝卜每千克的价格． 19. 2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． （1）班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 20. 西安，作为一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多著名的旅游景点和丰富的美食文化，是游客们向往的旅游胜地，寒假期间，莹莹一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到A、B两个租车公司租用一辆新能源汽车游玩． A公司：每辆车收取固定租金90元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元； B公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是30元． 设租车时间为x小时，租用A公司的车所需费用为元，租用B公司的车所需费用为元． 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）请通过计算说明莹莹家选择哪家公司租车比较划算？ 21. 某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 22. 2025年全国两会在万众期待中拉开帷幕，这是我国政治生活中的一件大事，关乎国家的发展、人民的福祉．某校组织了以“关注两会，与祖国共成长”为主题的知识竞赛，已知每人道题，校团委随机抽查了部分学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整，本次所抽取学生答对题数的中位数为________道，本次所抽取学生答对题数的众数为________道； （2）求本次所抽取学生答对题数的平均数量； （3）若该校共有人参加此次知识竞赛，请你估计该校此次竞赛这道题全部答对的学生人数． 23. 如图，内接于，点在劣弧上，且，连接、，延长至点，连接，使得． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 学科实践 驱动任务：用数学的眼光观察现实世界 研究步骤： a．某同学观察道路上的隔离栏（如图1）发现，各个竖杆上涂有颜色部分的顶端及点A、B所在曲线呈抛物线形（如图2，栏杆宽度忽略不计）； b．隔离栏长为，隔离栏顶端G距竖杆底部A的距离，隔离栏被12根竖杆等分成13份，左起第5根涂色竖杆涂色部分的高度； c．以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）求抛物线的函数表达式； （2）若从隔离栏的顶端G处向点H沿水平方向拉一条长为的矩形横幅，横幅上边缘沿水平方向与点G平齐，为了不遮挡隔离栏上的涂色部分，则横幅的最大宽度为多少米？ 25. 定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $