精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区凉州区怀安、五和教研联片二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级数学二模试卷 一、选择题（共30分） 1. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 3. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论： ①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形 ③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 10. 某几何体的三视图如图所示，则几何体为（ ） A. 圆锥 B. 四棱锥 C. 圆柱 D. 四棱柱 二、填空题（共24分） 11. 当分式的值为0时，则实数x的值是________． 12. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 13. 如图，在中，，，是的中点，将绕点旋转得到， 连接．当 时，的长为_________． 14. 如图，在中，直径与弦的交点为E，，若，则____． 15. 在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 16. 如图，在中，点E在边上，，的延长线交于点F，若，，则______． 17. 如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是_______． 18. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．将关于原点中心对称后得到，且点，，的对应点分别为，，． （1）请在图中画出； （2）点的坐标为______________． 20. 计算： （1） （2）解分式方程： 21. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 22. 如图，在中，，，点D是边上的一点，连接，将绕点D顺时针旋转得到，作交的延长线于点F，连接． （1）求证： （2）若，求：的值． 23. 如图1，是的直径，是的弦，连接，过点B作的垂线交于点D，交于点E． （1）若为的中点，求的大小； （2）如图2，过点B作的切线交的延长线于点F，求证：． 24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B的坐标为．在中，，． （1）求a和k的值； （2）求点C的坐标． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为延长线上一点，延长交于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，时，求的长． 26. 如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到，求、两点之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 27. 如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级数学二模试卷 一、选择题（共30分） 1. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：1150万， 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求出，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴m的值可以是0． 故选：A． 3. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数函数值的计算，函数值比较大小的方法是关键． 根据题意得到，根据成立，得到，，整理得，，令，所以，结合题意即可求解． 【详解】解：二次函数（是实数）化为一般式得， ， ∵函数图象上的两点，， ∴当时，， 当时，， ∵当时，始终有成立， ∴， ∴，整理得，， 令， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； 当时，，当时，， ∵， 即， ∴， 解得，， ∵， ∴， 故选：C ． 4. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由旋转性质得到相关角度及边，进而得到是等腰直角三角形，是直角三角形，在和中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形，则， ，即， 连接，如图所示： 由选转性质可知，，，且， 是等腰直角三角形，是直角三角形， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理求线段长等知识．熟练掌握旋转性质及勾股定理是解决问题的关键． 5. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，结合，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是内接四边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6. 某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 让习惯用左手写字的学生数除以学生总数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意，某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字， 而习惯用左手写字的同学被选中的有2种； 故其概率为； 故选：B 7. 如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键． 设点A的坐标为，根据题意可得点B的坐标为，从而得到，然后根据的面积为8，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵双曲线与直线交于、两点， ∴点A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴． 故选：B 8. 如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论： ①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形 ③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴， 设正方形的边长为， 则， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴， ∴，即是的中点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴， ∴，故③错误； ∴， ∴， 连接，如图所示， ∵，，， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的为：①②④． 故选：B． 10. 某几何体的三视图如图所示，则几何体为（ ） A. 圆锥 B. 四棱锥 C. 圆柱 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】解：主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为四边形的几何体为四棱锥． 故选B 二、填空题（共24分） 11. 当分式的值为0时，则实数x的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，一元二次方程的解法，根据分式值为的条件①分母不为，②分子等于计算即可． 【详解】解：由题意得且， 由解得； 由，解得或（舍去） 所以实数的值为． 故答案为：． 12. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 13. 如图，在中，，，是的中点，将绕点旋转得到， 连接．当 时，的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；先证明是等腰直角三角形，过点作于点，得出，分当在的上方时，当在的下方时，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，是的中点， ∴， ∵点旋转得到， ∴是等腰直角三角形，， ∵ ∴， ∴， 如图，当在的上方时， ∴在中， ∴， 如图，当在的下方时， 同理可得， 故答案为：或． 14. 如图，在中，直径与弦的交点为E，，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．正确运用所学的性质是解题的关键．连接，由可得，则，根据条件可求出的度数，由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：40． 15. 在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形是平行四边形，易得，在中利用三线合一得到，利用面积即可求解． 【详解】解：根据题意画出图像得， 过点作于点， ，， 根据旋转得，，，， ， 四边形是平行四边形， 易知， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，点E在边上，，的延长线交于点F，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出．由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，于是得到，进一步可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． ∴， 故答案为：8． 17. 如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，，，求出，根据直角三角形的性质得出，从而得出，即可得，根据，得出，，根据平移可得，证明是等边三角形，得出，证明，即可得，，即可求出三角形的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据平移可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的周长， 故答案为：． 【点睛】该题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．将关于原点中心对称后得到，且点，，的对应点分别为，，． （1）请在图中画出； （2）点的坐标为______________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可得点的坐标为． 20. 计算： （1） （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算加减． （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 21. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答． 【详解】设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 22. 如图，在中，，，点D是边上的一点，连接，将绕点D顺时针旋转得到，作交的延长线于点F，连接． （1）求证： （2）若，求：的值． 【答案】（1） 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质可得出，，根据余角的性质可得出，然后根据证明即可； （2）设，则，根据全等三角形的性质可得出，，进而求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 23. 如图1，是的直径，是的弦，连接，过点B作的垂线交于点D，交于点E． （1）若为的中点，求的大小； （2）如图2，过点B作的切线交的延长线于点F，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴（等腰三角形的三线合一）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、圆的切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键． （1）连接，先证出是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得； （2）连接，先根据圆的切线的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B的坐标为．在中，，． （1）求a和k的值； （2）求点C的坐标． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，坐标与图形： （1）把代入，求出的值，待定系数法求出的值； （2）作轴，作轴，证明，即可得出结果． 【小问1详解】 解：把代入，得：； 把代入，得：； 【小问2详解】 作轴，作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为延长线上一点，延长交于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 直径， ， ， ∴，， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）根据切线的判定定理得到是的切线，求得，连接，得到，根据平行线分线段长比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为半径， 是的切线，而为的切线， ， 连接， ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴是的中位线， ，， ， ∴，而， ∴， ∴， ， ， . 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理的应用，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 26. 如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到，求、两点之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】、两点之间的距离约为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在中，求出，，然后根据勾股定理求出答案即可．正确作出辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ， ， 在中，，，， 解得：，， ， 在中，， 、两点之间的距离约为． 27. 如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： 【小问2详解】 由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， 【小问3详解】 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $