精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期5月半月考理科数学试题

新蔡一高2024-2025学年下学期5月半月考 高一理科数学试题 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于的等式，即可求得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，解得. 故选：C 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，可求得，进而可求的值. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. 3. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 4. 设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合二倍角的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正切公式的逆用化简可得. 【详解】化简； ， 显然； . 所以，. 故选：D. 6. 已知角终边在第二象限，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得，，进而代值计算即可. 【详解】由，角终边在第二象限， 则， ， 所以. 故选：C. 7. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式. 【详解】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因为，则，故， 故选：A. 8. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系， 由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ） A. 该函数的解析式为 B. 该函数图像的对称中心为， C. 该函数的增区间是， D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解. 【详解】由题图可知，，周期， 所以，则， 因为当时，，即， 所以，，即，， 又，故， 从而，故A正确； 令，，得，，故B错误； 令，， 得，，故C正确； 函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变， 可得到，故D正确． 故选:ACD 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量是 D. 在上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，即可求出数量积以及模，判断A、B项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C、D项. 【详解】由已知可得，，. 对于A项，因为，故A项错误； 对于B项，因为，，所以，故B项正确； 对于C项，因为，， ， 所以在上的投影向量是，故C项正确； 对于D项，，， 所以在上的投影向量是，故D项错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的性质逐项求解判断. 【详解】函数， 对于A，函数的最小正周期，A正确； 对于B，，函数的图象关于直线对称，B正确； 对于C，当时，，函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，则且与不共线， 则且，解得且， 故答案为：. 13. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 【答案】 【解析】 【分析】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为： 14. 已知在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，若，则 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转化，得到角之间的关系，再结合三角形是锐角三角形求出角的范围，最后化简所求式子并根据角的范围确定其取值范围． 【详解】已知，根据余弦定理，可得，化简得． 由正弦定理（为三角形外接圆半径），将边化为角，即． 因为， 所以，整理得， 即． 因为是锐角三角形，所以，即．  因为是锐角三角形，所以，即，解不等式组得．  由正弦定理可得． 因为，所以． 因为，所以，则．  的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第1819题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系进行齐次转化求值即可； （2）先利用诱导公式化简已知式，再根据同角三角函数的平方关系进行齐次转化求值即可. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 ． 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示求出x，然后根据坐标运算和向量模的坐标表示可得； （2）利用向量的坐标运算和向量平行的坐标表示求出x，然后根据向量的夹角公式求解可得. 【小问1详解】 ，由可得， 即，解得， 所以，故. 【小问2详解】 依题意， 又，所以， 解得，则，，， 所以，故与的夹角的余弦值为. 17. 近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点C在圆弧上，点D在边上，且，米，设. （1）求扇形的面积； （2）求矩形的面积；当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米； （2），当时，取得最大值平方米. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用扇形面积公式列式即得. （2）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式；再由辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 依题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形面积 ，， 所以； 由，得，则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积； （3）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理，进行边角互化，求得，结合三角形内角范围即得； （2）将条件代入（1）题中的（*），求得，再利用三角形面积公式计算即得； （3）利用正弦定理将用角的三角函数表示，利用三角恒等变换将表示成正弦型函数，借助于三角函数的性质和角的范围即可求得三角形的周长范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 即（*），又由余弦定理，可得， ∵，∴； 【小问2详解】 ∵，，∴，代入（*），可得， 解得，∴， ∴； 【小问3详解】 由（1）可知，由正弦定理可得， ∴，， ∴ ， ∵为锐角三角形，∴，解得， 则，所以， 则， 故的周长， 即的周长的取值范围. 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； 【小问2详解】 由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2024-2025学年下学期5月半月考 高一理科数学试题 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角终边在第二象限，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ） A. 该函数的解析式为 B. 该函数图像的对称中心为， C. 该函数的增区间是， D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量是 D. 在上的投影向量是 11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 13. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 14. 已知在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，若，则 的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第1819题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值. 17. 近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点C在圆弧上，点D在边上，且，米，设. （1）求扇形的面积； （2）求矩形的面积；当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积； （3）若，求的周长的取值范围. 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $