甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025届高三下学期数学练习卷

2025届高三数学（练习卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 若 ，则复数 在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 已知集合 ，，那么 等于 A． B． C． D． 为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市 户居民的月平均用电量（单位：度），以 ，，，，，， 分组的频率分布直方图如下图．该样本数据的 分位数大约是 A． B． C． D． 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，角 的终边过点 ，则 A． B． C． D． 设等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则满足 的最大自然数 的值为 A． B． C． D． 椭圆的两个焦点分别为 和 ，若该椭圆与直线 有公共点，则其离心率的最大值为 A． B． C． D． 已知函数 ，则 A． B． C． D． 已知 ．设函数 ．若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 A． B． C．事件 与事件 相互独立 D． ，， 是两两互斥的事件 如图，正方形 中，， 分别是 ， 的中点，将 ，， 分别沿 ，， 折起，使 ，， 重合于点 ．则下列结论正确的是 A． B． C．二面角 的余弦值为 D．点 在平面 上的投影是 的外心 下列说法正确的是 A．在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为 B．某地气象局预报： 月 日本地降水概率为 ，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D．在回归方程 中，当解释变量 每增加 个单位时，预报变量 约增加 个单位 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 已知平面向量 ，，设向量 ，则 ． 正方体 中，， 分别是棱 ， 的中点，则 与直线 所成角的大小为 ； 与对角面 所成角的正弦值是 ． 椭圆 的左、右焦点分别为 ，，过椭圆的右焦点 作一条直线 交椭圆于 ， 两点，则 内切圆面积的最大值是 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （13分）已知椭圆 的一个焦点是 ，点 是 上一点． (1) 求椭圆 的标准方程． (2) 设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ， 与直线 相交于点 ． ①用 ， 表示 ， 点的坐标． ②求证以 为直径的圆过焦点 ． （15分）在锐角三角形 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，向量 ，，且 ． (1) 求角 ； (2) 若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线 的大小． （15分）如图，在三棱柱 中，，，，点 为 的中点． (1) 求证：； (2) 求二面角 的大小． (3) 求点 到平面 的距离． （17分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡． (1) 在该团中随机采访 名游客，求恰有 人持金卡且持银卡者少于 人的概率； (2) 在该团的省内游客中随机采访 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 ． （17分）已知函数 ． (1) 若 ，求函数 的单调增区间； (2) 若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值； (3) 当 时，函数 恰有两个不同的零点 ，，且 ，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 一、单项选择题（共8题，共40分） 1. 【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ， 所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第四象限． 2. 【答案】B 【解析】易知 ， 又因为 ，所以 ． 3. 【答案】C 4. 【答案】B 5. 【答案】C 【解析】设等差数列 的公差为 ， 则由 ，得 ， 化简的 ，即 ，即 ， 所以 ，所以 ， 所以满足 的最大自然数 的值为 ． 6. 【答案】A 【解析】设椭圆的方程为 ，其中 ， 联立方程 得 ， 该椭圆与直线 有公共点， 则 ， 即 ，则 ， 解得 或 （舍去）， 所以椭圆的离心率 ． 7. 【答案】D 【解析】函数的定义域为 ，且 得 ，即 是奇函数， 且 在 上是增函数， 因为 ， 所以 ． 8. 【答案】C 【解析】当 时， 恒成立； 当 时， 恒成立， 令 所以 ，所以 ． 当 时， 恒成立， 令 ，则 ， 当 时，， 递增， 当 时，， 递减， 所以 时， 取得最小值 ， 所以 ． 综上 的取值范围是 ． 二、多项选择题（共3题，共18分） 9. 【答案】B；D 【解析】易见 ，， 是两两互斥的事件， ． 10. 【答案】A；B；C 【解析】如图， 由已知可得 ，， 三条侧棱两两互相垂直， 则 ， 所以 ， 故A正确； ，而 ， 所以 ， 故B正确； 取 最低 ，连接 ，，可得 ，， 得 为二面角 的平面角， 设正方形 的边长为 ，则 ，，， 所以 ，即二面角 的余弦值为 ，故C正确； 过 作 ，则 为 在底面 上的射影， 因为 ， 所以 ， 则 不是 的外心， 故D错误． 11. 【答案】A；C；D 【解析】A项正确； B项，降水概率为 的含义是指降水的可能性为 ，但不一定降水，故B不正确； C项，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，C正确； D项，在回归方程 中，回归系数为 ，当解释变量 每增加 个单位时，预报变量 约增加 个单位，故D正确． 三、填空题（共3题，共15分） 12. 【答案】 13. 【答案】 ； 14. 【答案】 【解析】因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是三角形面积的 倍，且 的周长是定值 ， 所以只需求 面积的最大值． 设直线 的方程为 ， 联立 消去 ，得 ， 设 ，， 则 ，， 于是 ， 设 ，则 ， 即 ． 令 ，易知 在 上为增函数， 所以 ， 所以 ， 所以内切圆半径 ， 因此 内切圆面积的最大值是 ． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 【答案】 (1) 由题可得方程组： 联立解得： 所以椭圆的标准方程为 ． (2) ①联立 得 所以 ， 联立 化简得：， 因为椭圆与直线有且只有一个公共点， 所以 ，即 ， 化简得 ，故 ， 设 ，则 ，， 所以 ． ② ，， 所以 即 ， 所以 在以 为直径的圆上，得证． 16. 【答案】 (1) 因为 ，，， 所以 ， 由正弦定理得 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ． (2) 因为 的面积为 ， 所以 ， 因为 ，， 所以 ， 在 中， 因为 为 的中点， 所以 ， 由余弦定理得 ， 所以 ． 17. 【答案】 (1) 因为 ，，， 所以 ， 所以 ，即 ． 又因为 ， 所以 ． ， 所以 ． (2) 由（）可知：，，， 所以建立空间直角坐标系 ， 则 ，，，， ，， 设平面 的法向量为 ， 则 所以 令 ，则 ， 所以 ， 易知平面 的法向量为 ， 所以 ， 由观察可知二面角 是锐角， 所以大小为 ． (3) ． 18. 【答案】 (1) 由题意得， 省外游客有 人，其中 人持金卡； 省内游客有 人，其中 人持银卡． 设事件 为"采访该团 人中，恰有 人持金卡且持银卡者少于 人"， 事件 为"采访该团 人中， 人持金卡， 人持银卡"， 事件 为"采访该团 人中， 人持金卡， 人持银卡"． 由此可知 所以在该团中随机采访 人，恰有 人持金卡且持银卡者少于 人的概率是 ． (2) 由题知 的所有可能取值为 ，，，， 所以 的分布列为 所以 19. 【答案】 (1) 当 时，， 所以 ， 则 定义域为 ， ， 所以 ， 所以 的单调增区间为 ． (2) 法一： 依题意 对 恒成立， 即 对 恒成立， ， 当 时，， 所以 在 上单调递增， 又 ，不合题意，舍去， 当 时令 ，得 ， 所以 ，； 时，， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 所以 ， 令 ，则 ， 又 在 上是增函数， ，， 所以 ，使 ， 所以 ， 解得 即 ， 所以 ， 又 ， 所以整数 的最小值 ． 法二： 依题意 对 恒成立， 等价于 对 恒成立， 令 ，则 ， 令 在 上是增函数， ，， 所以 ，使 即 ， 所以 ，，， 所以 在 上单调递增； ，，， 所以 在 上单调递减． 所以 ， 所以 ， 又 ， 所以整数 的最小值 ． (3) 法一： 当 时，由（Ⅱ）知 在 上单调递增，在 上单调递减且 ， 时，； 时，； 依题意存在 使得 ， 已知 可得 ， 要证 成立，只需证 ， 因为 ， 是 的零点， 所以 两式相减得：， 即 ， 只需证 ， 又因为 只需证 ，即证 ， 令 ，则 ， ， 所以 在 增函数， 所以 即 ， 即 成立， 所以原不等式得证． 法二： 当 时，由（Ⅱ）知 在 上单调递增，在 上单调递减且 ， 时，； 时，； 依题意存在 使得 ， 已知 可得 ， 因为 ， 是 的零点， 所以 两式相减得：， 则 引入 ，证明如下： 令 要证原不等式成立， 只需证 ， 即证 ， 只需证 ， 即证 ， 令 ， ， 所以 在 增函数， 所以 ， 故 成立， 所以 式 ， 则 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以原不等式得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$