精品解析：重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性月考卷数学试题

重庆一中2025届5月高考适应性月考卷 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数则=（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 平面向量、满足则（ ） A. B. C. D. 4. 的所有二项式系数的第三四分位数是（ ） A. 35 B. 28 C. 21 D. 7 5. 在平面直角坐标系中，点满足则P的轨迹为（ ） A. 两条直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6. 设函数的定义域为，若为偶函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知函数在定义域上的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 与实数λ有关 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 的最大值为1 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为 10. 已知抛物线其焦点为双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点P，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的渐近线为 B. 存在使得点的横坐标为 C. 若以为直径的圆与x轴相切于点，则 D. 若，设点到准线的距离为，则 11. 函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，函数和函数是“可交换算子” D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列为等比数列，且，设为其前项和，，则______． 13. 在组合学重要分支“图论”中，把经过点的线段的条数定义为该点的“度”，记作，比如在左图中，，在右图中，保留左图，右图原有的连线，增加连线得到的图形中所有点的度数之和为_________． 14. 已知且则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，设角的对边分别为，且 （1）若，求b； （2）若的面积为求的周长． 16. 如图所示，五面体的底面是边长为4的正方形，均为正三角形，顶棱且平面． （1）求五面体的体积； （2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 17. 某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为．假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜． （1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率； （2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”．求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望． 18. 已知实数函数 （1）当时，过原点作函数图象的切线，求切线的方程； （2）讨论的单调性； （3）对任意不等式恒成立，求a的取值集合． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 （1）椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上运动，证明：为定值，并求出该定值； （2）对于给定的正整数，经过点的动直线和椭圆交于、两点，为坐标原点，设面积的最大值为． （i）求； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中2025届5月高考适应性月考卷 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据虚数单位的运算规则化简复数，再求出其共轭复数，最后根据复数的模的计算公式求出. 【详解】 ，所以. 所以. 故选：A. 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定“”是“”的什么条件. 【详解】已知，解不等式，即，所以. 判断充分性： 当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立. 判断必要性： 若，因为集合，集合，所以的值可以为，也可以是其他值如，不一定只能是，即由“”不能推出“”，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 3. 平面向量、满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，再分别计算、与，最后根据向量夹角公式求出. 【详解】已知，对进行展开： 因为，所以，即. 设，则，移项可得，即. 计算，根据向量乘法分配律可得： 计算，对进行展开： ，所以. 设，，根据向量夹角公式可得： 因为，所以. 故选：C. 4. 的所有二项式系数的第三四分位数是（ ） A. 35 B. 28 C. 21 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理写出二项式系数，根据第三四分位数的计算方法，可得答案. 【详解】由，则其二项式系数为，，，， 由小到大排列为，，则第三四分位数为. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，点满足则P的轨迹为（ ） A. 两条直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】整理方程，由直线的一般方程，可得答案. 【详解】由，则两边平方可得， 整理可得，即， 解得或. 故选：A. 6. 设函数的定义域为，若为偶函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用奇偶性性质，结合赋值计算即可. 【详解】因为为偶函数，根据偶函数的定义，对于任意，都有. 对于选项A：在中，找不到合适的值使得且，所以无法得出，A选项错误. 对于选项B：同样在中，找不到合适的值使得且，所以无法得出，B选项错误. 对于选项C：令，则，，此时；令，，，得到，但这并不能说明，C选项错误. 对于选项D：令，在中，，，所以，D选项正确. 故选：D. 7. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正四棱台的结构与正方形的性质，可得上下底面的外接圆半径，由球的表面积公式求得外接球的半径，根据勾股定律，可得答案. 【详解】易知正四棱台上下底面为正方形，则外接圆的半径分别为，， 设外接球的半径为，正四棱台的高为，可得，解得， 易知或. 故选：D. 8. 已知函数在定义域上的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 与实数λ有关 【答案】C 【解析】 【分析】先确定参数λ的值，再简化函数并换元，结合二次函数分析函数最值即可. 【详解】当趋近于时，趋近于负无穷. 若，那么会趋向正无穷；若，会趋向负无穷. 因为函数要有最大值和最小值，所以只能. 当时，函数，取值范围是. 令，则.因为，所以. 把代入函数，得到. 图像开口向下. 对称轴，所以最大值. 在中，最小值在处取得，. 设最大值为，最小值为，则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 的最大值为1 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简函数，再根据化简后的函数分析各选项. 【详解】根据二倍角正弦公式，可得. 对于选项A，在中，，所以的最大值为，而不是，故A选项错误. 对于选项B，正弦函数的单调递增区间为. 令，解不等式可得. 当时，单调递增区间为，，所以在上单调递增，故B选项正确. 对于选项C，正弦函数的对称轴方程为. 令，解得. 当时，，所以的图象关于直线对称，故C选项正确. 对于选项D，在中，，所以的最小正周期，而不是，故D选项错误. 故选：BC. 10. 已知抛物线其焦点为双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点P，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的渐近线为 B. 存在使得点的横坐标为 C. 若以为直径的圆与x轴相切于点，则 D. 若，设点到准线的距离为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离心率公式求出双曲线渐近线判断选项A；联立双曲线渐近线与抛物线方程求交点判断选项B；利用圆与轴相切的性质得到点坐标代入双曲线方程求判断选项C；根据双曲线和抛物线定义求的最小值判断选项D. 【详解】对于选项A，已知双曲线离心率，可得， 两边平方得，又因为，所以，得， 则双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，故A选项正确. 对于选项B，双曲线的渐近线与抛物线联立，得到， 解得或或， 因为双曲线渐近线是无限接近双曲线但不相交的直线， 所以当时，双曲线与抛物线无交点，故B选项错误 ； 对于选项C，若以为直径的圆与轴相切于点， 根据圆的性质可知圆心的横坐标为点横坐标的一半，所以. 又因为点在抛物线上，将代入抛物线方程可得，解得， 即，因为在双曲线上，将其代入双曲线方程中，得到. 化简得，解得，故C正确. 对于选项D，已知，又， 由且，可得，则. 由抛物线定义，再由双曲线的定义，. 所以，根据三角形两边之和大于第三边可知， 则，选项D正确. 故选：ACD. 11. 函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，函数和函数是“可交换算子” D. 当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】通过求导判断函数单调性，利用零点存在定理确定零点范围，分析函数复合的结果以及计算函数极限来判断各个选项的正确性. 【详解】对于选项A，对求导，可得： 令，对求导得，所以单调递增. 又，，由零点存在定理，存在，使得. 当时，，即，函数递减，所以A选项错误. 对于选项B，时该不等式也成立，所以可判断选项B错误. 对于选项C，已知，则需分段讨论： 当时，，所以； 当时，，所以. 即. 同理可验证， 当时，，所以； 当时，，所以. 即. 因为，所以Swish函数和ReLU函数是“可交换算子”，选项C正确. 对于选项D，当时，计算： ， 因为，这意味着对任意，存在使得当时，，即误差小于，选项D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列为等比数列，且，设为其前项和，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得公比，进而有，最后利用等比数列基本量的运算求解即可. 【详解】由题等比数列的公比为且， 所以，可得， 由，则， 故. 故答案为： 13. 在组合学重要分支“图论”中，把经过点的线段的条数定义为该点的“度”，记作，比如在左图中，，在右图中，保留左图，右图原有的连线，增加连线得到的图形中所有点的度数之和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出所有边的边数，分析可知，所有的点的度数之和为边数的倍，即可得解. 【详解】原图中共有个点，如果这个点全部相连的边数为， 其中缺失的边为、，所有边的边数为， 故所有的点的度数之和为边数的倍，故所有点的度数之和为. 故答案为：. 14. 已知且则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由角的取值范围，根据同角三角函数与二倍角，结合三角函数的恒等式，可得答案. 【详解】由，即，则， 由， 且，解得，， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，设角的对边分别为，且 （1）若，求b； （2）若的面积为求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，又得，最后利用余弦定理即可求解； （2）由的面积为得，由余弦定理得，即可求，进而求得的周长. 【小问1详解】 由有，又，所以， 又由余弦定理有，所以， 即； 【小问2详解】 由题意有，所以， 又由余弦定理有，所以， 所以，所以， 所以， 所以的周长为. 16. 如图所示，五面体的底面是边长为4的正方形，均为正三角形，顶棱且平面． （1）求五面体的体积； （2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得，过点作，作，过点作，作，取中点，连结，利用线面垂直证得平面，利用割补法可把该五面体分为两个四棱锥和一个三棱柱，然后利用锥体及柱体的体积公式即得； （2）由二面角定义可得即为平面和平面所成的平面角，结合条件利用余弦定理可得. 【小问1详解】 五面体中，因为平面， 平面，平面平面，所以. 过点作，作，垂足分别为，， 过点作，作，垂足分别为，， 连结，，如图， 取中点，连结，易得，则， 因为，易得，因，是平面内两相交直线， 所以平面，因为平面，所以， 又，是平面内两相交直线， 所以平面， 因为，且和是全等的等边三角形， 所以，， 在中，，，可得， 由分析知，四棱锥和的体积相等，且均为， 三棱柱的体积， 所以，该五面体的体积为. 【小问2详解】 由（1）及四边形为正方形知，， 所以，， 所以即为平面和平面所成的平面角， 在中，，， 由余弦定理得， 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为．假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜． （1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率； （2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”．求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 数学期望为【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式以及对立事件的概率公式，可得答案； （2）由题意写出随机变量的可能取值，求得每个取值的概率，写出分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 小明迟到“梅菜扣肉”的概率等价于至少有一个窗口提供该菜的概率， 每个窗口不提供该菜的概率为，个窗口均不提供的概率为， 因此，所求的概率为. 【小问2详解】 设“膳食多样性指标”为，表示当天食堂提供的不同特色种类，可得取值为， 当时，所有个窗口选同一种菜，共种情况，概率为， 当时，选两种菜且均至少出现一次，先选择两种菜情况数为， 再排除全选一种的情况，概率为， 当时，用全概率减去前两种情况，则， 所以随机变量的分布列如下： 故数学期望. 18. 已知实数函数 （1）当时，过原点作函数图象的切线，求切线的方程； （2）讨论的单调性； （3）对任意不等式恒成立，求a的取值集合． 【答案】（1） （2）函数在递减，在递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定函数，求其导数得切线斜率表达式.设切点，用点斜式写切线方程，再把原点坐标代入方程求出切点横坐标，进而得到切线方程. （2）先求函数导数，然后按大于和小于两种情况，根据导数正负判断函数在不同区间的增减性，得出函数单调区间. （3）将不等式变形，根据函数单调性得出最小值，转化为新不等式.构造新函数，按不同取值范围，通过求导判断函数单调性，找出使不等式成立的值，确定的取值集合. 【小问1详解】 已知时，，根据求导公式得. 设切点为，切线斜率，由点斜式得切线方程. 把代入切线方程得，解得，则切线斜率，切线方程为. 【小问2详解】 ，定义域，. 分类讨论单调性： 当时，，，；，，， 当时，，，；，，. 综上，函数在递减，在递增. 【小问3详解】 等价于， 由单调性知等价于，即. 构造函数分类讨论：令. 时，，在上递减，，，矛盾. 时，得，，，递减，，矛盾. 时，，，递增，，矛盾. 时，，，递增；，，递减，，不等式成立.所以取值集合为. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 （1）椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上运动，证明：为定值，并求出该定值； （2）对于给定的正整数，经过点的动直线和椭圆交于、两点，为坐标原点，设面积的最大值为． （i）求； （ii）证明：. 【答案】（1）定值为，怎么如下： 设，，，则， 当点不在轴上时，由余弦定理可得， 此时； 当点在轴上时，由对称性，不妨设点为椭圆的右顶点， 此时. 综上所述，为定值. （2）（i）； （ii）当且时，，则， ， ， 所以，， 由于， 所以， ， 所以. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1），，，则，对点是否在轴上进行分类讨论，结合椭圆定义、平面向量数量积的定义计算即可证得结论成立； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出的表达式. （i）由的表达式可得出的值；（ii）分析得出，结合放缩法可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若直线与轴重合，则直线经过原点，此时，、、不能构成三角形，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 原点到直线的距离为， ， 设，则， 设，则， 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 由于且， 所以且，只需，所以且， 此时可取到最大值， 当时，此时，此时恒成立，即恒成立， 此时，只需满足即可，即， 所以，当时，的最大值为， 综上所述，. （i）因为，故； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $