精品解析：山东省枣庄市2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024～2025学年度高一年级第二学期期中质量检测 数学试题 2025.4 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡规定的地方. 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：第I卷共11小题，1-8每小题5分，9-11每小题6分，共58分.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出的一个周期，得出，即可化简，求出. 【详解】因，，，，， 则以，，，为一个周期， 因，则，故， 则. 故选：D 2. 已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】充分性可在正方体中举反例，必要性则利用线面平行的性质定理和判定定理可得. 【详解】如图，在正方体中， 记平面为，直线为， 若记直线为，则满足，但，故无法得出； 因，则直线共面，记直线所确定的平面为， 若，则； 若，则由，可得，则， 因，，，则， 故由可得出. 综上可知，是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，由题知， 所以，则， 故选：D 4. 已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用在上的投影向量的公式可求解 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知是关于的方程的一个解，则（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程中化简，利用复数相等的概念得出即可. 【详解】由题意可得，，化简整理得， 则，得， 则. 故选：B 6. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的母线为（ ） A. 6 B. 12 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长即可求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为， 则， 因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长， 所以，即，所以. 故选：A. 7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用勾股定理直接求出球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】如图，设半球的球心为，半径为，连接， 由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，， 在中，，得到， 故半球的体积为， 故选：A. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 所以，解得，则， 所以 因为， 所以 因为，所以，所以， 即的取值范围是． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若为纯虚数，则， C. 若，则在复平面内对应的点位于第三象限 D. 若，则复平面内满足的点的集合构成区域的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由变形求得，计算的模可判断A；根据纯虚数的定义可判断B；由得到，进而可知对应的点的所在的象限可判断C；求出满足的点的集合构成区域图形，再求面积可判断D. 【详解】由得， 所以，故A正确； 由是纯虚数，得，所以，故B正确； 由得，则， 所以在复平面内对应的点位于第二象限，故C不正确； 由，得满足的点的集合构成区域为以为圆心，半径为的圆及圆的内部， 所以面积为，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】A.在中，若，，， 则由正弦定理得，解得， 因为，所以或，故或， 所以的面积或，故A错误. B.在中，若，则， 因为，所以为钝角，故B正确. C.因为是锐角三角形，所以，故， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，故C正确. D.如图所示， 若有两解，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正方体，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 若正方体的棱长为2，则三棱锥的表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意可证得与不平行可判断A；由线面平行的判定定理以及反证法可判断B；由等积法可判断C；三棱锥的表面积，分别求出四个三角形的面积可判断D. 【详解】对于A：点分别为的中点， ，四边形为梯形， 与不平行，故A不正确； 对于B：平面，平面， 平面，若平面，而，平面， 所以平面平面，这与平面，平面矛盾， 不平行平面，故B不正确； 对于C：，到平面的距离为， ，故C正确； 对于D：在中，， ， 在中，设的中点为M，因为，则 ， ， ， 三棱锥的表面积， 故D正确． 故选：CD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个上底面边长为1，下底面边长为4，高为3的正四棱台的体积为________. 【答案】21 【解析】 【分析】由已知求出正四棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解． 【详解】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正四棱台的体积相等， ∵正四棱台的上下底面边长分别为1和4，则上底面积，下底面积，棱台的高， 则棱台体积， 故答案为：21. 13. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角与数量积正负的关系，列出不等式求解即可. 【详解】由向量与的夹角为钝角， 可得：， 解得， 由当时，，与共线反向，舍去， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14. 如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理边角转换得到，从而有，由余弦定理得到，再利用三角形面积公式，得到，即可求解. 【详解】由，得到， 整理得到， 所以，得到， 所以，又，所以， 又，，所以， 则， 所以四边形的面积为， 又，则，当，即时，四边形的面积最大，最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 叙述并证明余弦定理 . 【答案】见解析 【解析】 【分析】在中，对两边平方后再利用向量的数量积可得余弦定理的证明. 【详解】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积 . 证明如下：如图， 在中，因为，故 ，也就是， 同理可得，. 【点睛】本题考查余弦定理的证明，属于基础题. 16. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：； （2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解. 【解析】 【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证； （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以； （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明： 因为、分别是、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面. 又因为，所以，平面平面 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面. 17. 已知分别是的内角的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，从而有，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，由三角形面积公式得，再结合（1）中结果，由余弦定理得到，即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 即，由正弦定理得，即. 【小问2详解】 由，得， 又，得， 由余弦定理，且由（1）知 所以，整理得， 即，解得或（舍）， 所以，. 18. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求B； （2）设D为的中点，；求：（i）面积的最大值；（ii）的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角； （2）（i）利用余弦定理和基本不等式求出三角形面积的最大值；（ii）通过向量运算和已知条件求出的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理可化为， 即， 所以，， 所以，， 因为，所以，，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. 【小问2详解】 （i）由余弦定理、基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； （ii）因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，， 由（i）知，可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解， （2）根据余弦定义以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解， （3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， 又，， ，,， 【小问2详解】 ， ，又， ， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ， ． 【小问3详解】 由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度高一年级第二学期期中质量检测 数学试题 2025.4 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡规定的地方. 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：第I卷共11小题，1-8每小题5分，9-11每小题6分，共58分.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的方程的一个解，则（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 0 6. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的母线为（ ） A. 6 B. 12 C. 3 D. 2 7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若为纯虚数，则， C. 若，则在复平面内对应的点位于第三象限 D. 若，则复平面内满足的点的集合构成区域的面积为 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 11. 在正方体，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 若正方体的棱长为2，则三棱锥的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个上底面边长为1，下底面边长为4，高为3的正四棱台的体积为________. 13. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 14. 如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 叙述并证明余弦定理 . 16. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：； （2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明． 17. 已知分别是的内角的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求. 18. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求B； （2）设D为的中点，；求：（i）面积的最大值；（ii）的最大值. 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $