精品解析：浙江省浙东北县域名校发展联盟(ZDB)2024-2025学年高一(AP班)下学期期中联考数学试题

浙东北县域名校发展联盟（ZDB） 2024/2025学年第二学期期中考试高一数学试卷（AP班） 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中，点是上靠近点五等分点，设，则（ ） A. B. C D. 2. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为，体积为，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为（ ） A B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中.以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线的方程为 C. 点的轨迹所围成的面积为 D. 点的轨迹所围成的面积为 7. 已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量的模为 D. 向量与向量垂直 10. 在平面直角坐标系中，点分别在直线上（均异于点），.过点分别作的角平分线的垂线，垂足分别为，的面积分别为.若为定值，则（ ） A. 时，点的轨迹是椭圆 B. 时，点轨迹是双曲线 C. 存在，使得点的轨迹是圆 D. 存在，使得点的轨迹是抛物线 11. 若正方体边长为1，点满足，其中，则（ ） A. 当时，存在点，使得平面 B. 当满足时，不存在点，使得 C. 当满足时，存在点，使得与平面所成角为 D. 当满足时，三棱锥的体积的最小值为 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为__________. 13. 已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为__________. 14. 已知等边的边长为所在平面存在两点，满足，其中且.若，则点运动所形成的轨迹的区域面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在中，分别是边的中点，，. （1）用表示； （2）求证：三点共线. 16. 已知直线，圆，圆：. （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 17. 已知直三棱柱的棱长均为中点为与交于点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率，且过点. （1）求曲线的标准方程； （2）若曲线左右顶点分别为，过点且斜率为负数的直线与交于两点（点在点上方），直线与的交点为. （i）求证：点在定直线上； （ii）若直线与轴交于点，求的取值范围. 19. 如图，曲线是一条“双纽线”.已知过上任意一点到点的距离之积为定值. （1）求的值； （2）求的最大值； （3）除原点外，直线分别与相交于四点.记四边形的面积为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙东北县域名校发展联盟（ZDB） 2024/2025学年第二学期期中考试高一数学试卷（AP班） 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中，点是上靠近点的五等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合向量线性求解. 【详解】由点是上靠近点的五等分点，得，则， 所以. 故选：C 2. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为，体积为，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角. 【详解】圆锥的底面圆的面积为，设底面圆的半径为，则，解得， 所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长， 又屋顶的体积为，设圆锥的高为，则，所以， 所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形的半径， 所以侧面展开图扇形的圆心角约为. 故选：C. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和条件求解焦半径，再结合几何关系，即可求解. 【详解】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 4. 已知向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量投影公式计算求解. 【详解】因为向量， 又因为在上的投影向量为，所以 则. 故选：A. 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中.以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即可. 【详解】由题意， 所以 ， 如图，原图形 中， ， 所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台， ， 故选：A. 6. 已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线的方程为 C. 点的轨迹所围成的面积为 D. 点的轨迹所围成的面积为 【答案】B 【解析】 【分析】设点，由结合平面内两点间的距离公式化简可得曲线的方程，确定曲线的形状，结合圆的相关知识求解即可. 【详解】设点，由可得， 整理可得，故曲线的方程为， 所以，曲线是圆心为原点，半径为的圆，故点的轨迹所围成的面积为， B对，ACD错. 故选：B. 7. 已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用坐标法求点 的轨迹方程，再利用公式法，即可求解. 【详解】以点为原点，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以， 即，此方程表示以为球心，以为半径的球， 球心到每个面的距离都是1，每个平面与球的截面圆的半径为， 所以点的轨迹是以每一个正方形的中点为圆心的圆，所以轨迹长度为. 故选：D 8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量的模为 D. 向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量垂直的向量表示可判断D选项. 【详解】对于A选项，由平面向量数量积的性质可得，A对； 对于B选项，不妨设、为相互垂直的两个单位向量，则， ，同理可得， 此时，B错； 对于C选项，在方向上的投影向量为， 故在方向上的投影向量的模为，C对； 对于D选项，因为， 所以向量与向量垂直，D对. 故选：ACD. 10. 在平面直角坐标系中，点分别在直线上（均异于点），.过点分别作的角平分线的垂线，垂足分别为，的面积分别为.若为定值，则（ ） A. 时，点的轨迹是椭圆 B. 时，点的轨迹是双曲线 C. 存在，使得点的轨迹是圆 D. 存在，使得点的轨迹是抛物线 【答案】AC 【解析】 【分析】设，根据面积可得为定值，再根据向量坐标运算可得，即可得出，再分和两种情况讨论即可. 【详解】设， 因直线与直线既关于轴对称，也关于轴对称，则点在轴或轴上， 则， 因为定值，则为定值， 因，则，则， 则为定值， 设直线的倾斜角为，则或， 若，此时，，，则为圆，故C正确； 若，则，，， 则为椭圆，故A正确，B错误； 由于方程中不含和的一次项， 故该曲线不可能为抛物线，故D错误. 故选：AC 11. 若正方体边长为1，点满足，其中，则（ ） A. 当时，存在点，使得平面 B. 当满足时，不存在点，使得 C. 当满足时，存在点，使得与平面所成角为 D. 当满足时，三棱锥的体积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以D为坐标原点，以DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出点P的坐标，利用向量法逐一判断各个选项即可 【详解】以D为坐标原点，以DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为=，所以， 对于A，当时，则，取，则点P与C重合，， 所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 当时，所以，则， 要使，当且仅当，即， 令， 若，又， 在单调递减，在单调递增； 所以在处取得极小值， 所以在无零点，即在无解， 所以当满足时，不存在点，使得，故B 正确； 设平面的法向量为， 则，， 所以，取，则，所以， 因为与平面所成角为， ， 又，所以， 得，所以方程无解， 所以当满足时，不存在点，使得与平面所成角为， C错误的； 为正三角形，，则， 由，，可得 所以设， 则，则， 设平面的法向量为， 由令， 所以点P到平面的距离为， 因为，， 所以 所以当时，取最大值，从而， 所以三棱锥的体积的最小值为，故D对； 故选：ABD 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合点的范围计算求解. 【详解】设抛物线上一点，其焦点，准线， 则根据抛物线定义得抛物线上一点到焦点的距离为， 时等号成立，所以抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为. 故答案为：. 13. 已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得，解得，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当三点共线，故取最小值. 故答案为：. 14. 已知等边的边长为所在平面存在两点，满足，其中且.若，则点运动所形成的轨迹的区域面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，且，分析知点在的边界及其内部，由得点所在的平面区域，通过求面积公式即可得解. 【详解】， ，即， 因为且、、，则、，所以，， 所以，点在的边界及其内部， 因为，则点在如下图所示的封闭区域内，该区域由、、三条线段以及三段分别以、、为圆心，半径为且圆心角为的圆弧围成的区域， 其中四边形、、均为矩形，且， 设该区域的面积为， 则 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在中，分别是边的中点，，. （1）用表示； （2）求证：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算解题即可； （2）先根据平面向量共线定理证明共线，再根据向量有公共点，即可证明三点共线. 【小问1详解】 如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则， . 【小问2详解】 由（1）知，， ， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. 16 已知直线，圆，圆：. （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 【答案】（1）相交，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求解定点，再把点代入圆内计算判断即可； （2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可. 【小问1详解】 由于，则直线过定点，，故定点圆内，直线与圆相交. 【小问2详解】 法一：联立两圆方程，解得， 令所求圆方程为， 代入三点，， 得所求圆方程为. 法二：令所求圆方程为， 代入，， 解得，故所求圆方程为. 17. 已知直三棱柱的棱长均为中点为与交于点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为与相似，得出.则应用线面平行判定定理证明即可； （2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值． 【小问1详解】 与相似，则， 又，故，所以， 故在中，.又平面平面， 则平面. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，平行于方向为轴建立空间直角坐标系， 则，. 平面的法向量为. 设平面的法向量为， 即， 令得，故. 设平面与平面所成角大小为， 则， 从而平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率，且过点. （1）求曲线的标准方程； （2）若曲线的左右顶点分别为，过点且斜率为负数的直线与交于两点（点在点上方），直线与的交点为. （i）求证：点在定直线上； （ii）若直线与轴交于点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列方程计算求解得出椭圆标准方程； （2）（i）设，列出直线，的方程，它们的交点即可证明定点；（ii）根据化简计算得出范围. 【小问1详解】 由题意知，解得， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，联立，则，，解得. 设，其中. 直线的方程为，直线的方程为. 联立，解得，从而， 即点在定直线上. （ii）定直线与轴交于点，从而. 记，其中，则， 即，解得，从而. 19. 如图，曲线是一条“双纽线”.已知过上任意一点到点的距离之积为定值. （1）求的值； （2）求的最大值； （3）除原点外，直线分别与相交于四点.记四边形的面积为，求证：. 【答案】（1）1 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入方程，即可得解； （2）设，根据所给定义求出曲线的方程，由对称性，不妨设点在轴右侧，分和两种情况讨论，分别求出的值（范围），即可得解； （3）首先推导出曲线的图像关于原点对称，即可得到，联立直线与曲线方程，即可求出，同理得到，记，则，即可得证. 【小问1详解】 由题意知， 则，解得，即（负值已舍去）. 【小问2详解】 设，则， 则， 即，即曲线的方程为. 要求的最大值，由对称性，不妨设点在轴右侧， 若，则，则. 若，由于，则， 令，则，所以. 综上，的最大值为. 【小问3详解】 在曲线的方程中，用分别替代，方程不变，则曲线的图像关于原点对称. 设直线与曲线在轴右侧的交点分别为.由于直线也关于原点对称，则四边形为平行四边形，其面积为面积的倍. 联立，则， 则，即，所以，则， 同理可得，. 记，则， 又，，解得（负值已舍去）， 从而， 所以，即证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $