精品解析：河北承德市高新区第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

河北承德市高新区第一中学 2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】求导函数， 当时，， ∴曲线在点处的切线方程为：， 即. 故选：A. 2. 是等差数列的前项和，，，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，利用“”法求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 所以，， 解得， 故选：A 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，令运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故选：B. 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先展开，再分别找和中含 的项，求和即得到的系数. 【详解】 ， 对于中，含 的项为， 对于中，含 的项为 ， 所以，的展开式中含的项为， 故 的系数为． 故选：A． 5. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ） A. 1420 B. 1480 C. 1520 D. 1580 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 6. 甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（ ） A. 150 B. 300 C. 450 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】把5人分组有两类情况：和. 先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把三组人安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 故选：A. 7. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1) 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值． 【详解】由，令，可得或， 由得：或，由得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 令，解得或， 若函数在(,)内存在最小值，则，得． 故选：C 8. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 【详解】解：因为，， 所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 10. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B. 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C. 恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D. 若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可求解A，根据分类加法计数原理可求解B，根据排列组合，结合分类即可求解CD. 【详解】对于A，甲乙丙三人每人都有6种选择，共有种，故A错误， 对于B, 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案，故B正确， 对于C,恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，故有种方案，故C正确， 对于D，若老师教2门课程，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师教“数”，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师不教“数”，则有种， 因此一共有种方案，故D正确， 故选：BCD． 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数只有极大值没有极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确； 对于B中，由， 令时，可得，当时，或， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误； 对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是， 可得函数的大致图象， 所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据是区间上的单调函数，可得导函数的零点不在区间上，从而可得出答案. 【详解】， 令，则或， 因为是区间上的单调函数， 所以或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到有两根，转换成函数与函数的图象有两个交点，进而可求解. 【详解】，函数有两个极值点，则有两个零点， 即函数与函数的图象有两个交点， 当两函数图象相切时，设切点为，对函数求导， 则有解得 所以要使函数图象有两个交点，则即. 故答案为： 14. ．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有__________种.（以数字做答） 【答案】42 【解析】 【详解】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2）常数项为60，为第5项 （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解； （3）假设系数绝对值最大，则它的系数的绝对值不小于前一项的系数的绝对值，并且不小于后一项的系数的绝对值，利用不等式组求解即可. 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； 【小问2详解】 展开式的通项为 ， 令，解得， 所以，所以常数项为60，为第5项； 【小问3详解】 设第项系数绝对值最大， 则， ， 解得，又，， ，即展开式中系数绝对值最大的项为. 16. 已知函数． （1）若，求在上的最值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）最大值为，最小值为. （2） 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无减区间； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，比较端点值和极值大小，即可求解最值； （2）首先求函数的导数，并化简得，再讨论导数的零点，求函数的单调性. 【小问1详解】 当时，， 当，，，的变化情况如下表所示， 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 ， 令，得或， 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当，即，此时恒成立，所以函数的单调递增区间是，无减区间； 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无减区间； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 17. 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． （1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元 【解析】 【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解； （2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值. 【小问1详解】 设 由，可得，解得， 所以， 依题意得， ． 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 令，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有， 答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元． 18. 已知数列，满足，其中，. （1）若，. ①求证：为等比数列； ②试求数列的前n项和. （2）若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 【答案】（1）①，当时累加得 ，，又 所以为首项为2，公比为2的等比数列. ② （2） 【解析】 【分析】（1）①，利用累加法求解即可； ②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可； （2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案. 【小问1详解】 ①略 ②由①得，令，的前项和为， 则， ， 得 【小问2详解】 若，则， 所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，， 设数列的前n项和为，则. 所以， ，所以 所以. 19. 已知函数． （1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若的两个极值点分别为，证明:． 【答案】（1）； （2） 由（1）知是方程的两个不同的根，所以 所以 ， 令， 令在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可； （2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式. 【小问1详解】 在上恰有两个不同的解， 令，所以 解得，即实数的取值范围是； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德市高新区第一中学 2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 是等差数列的前项和，，，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ） A. 1420 B. 1480 C. 1520 D. 1580 6. 甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（ ） A. 150 B. 300 C. 450 D. 540 7. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1) 8. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B. 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C. 恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D. 若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数只有极大值没有极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是________． 13. 已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 14. ．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有__________种.（以数字做答） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 16. 已知函数． （1）若，求在上的最值； （2）讨论函数的单调性． 17. 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． （1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 18. 已知数列，满足，其中，. （1）若，. ①求证：为等比数列； ②试求数列的前n项和. （2）若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 19. 已知函数． （1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若的两个极值点分别为，证明:． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $