精品解析：北京市第十九中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

北京市第十九中学2024-2025高一（下）期中数学试题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. = （ ） A. B. C. D. 2. 在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A. A、B、C三点共线 B. A、B、D三点共线 C. A、C、D三点共线 D. B、C、D三点共线 4. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知函数，其图象如图所示.为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 6. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ） A. 12 B. C. D. 8. 中，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ） A. 、 B. 、 C. 、、 D. 、、 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________． 12. 已知角的终边与单位圆交于点P，则=______________. 13. 已知向量，若，则______________. 14. 已知向量满足，，且存在非零实数使得成立，则向量______________. 15. 数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用来表示，其解析式为.已知函数，给出下列结论： ①函数的最小正周期为； ②函数的单调递增区间为； ③函数的对称中心为； ④在上函数的零点个数为4. 其中正确结论的序号是____________.（写出所有正确结论的序号） 三、解答题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，，且. （1）求满足条件的所有t的值. （2）求的值. 17. 在平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求和的值； （2）若，化简并求值. 18. 已知函数 （1）若，求m的值 （2）在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m的值的两个条件作为已知 （i）求的解析式； （ii）求的单调递增区间； （iii）若时，该函数有最小值无最大值，求实数的取值范围. 条件①：的图象过点； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：的图象的两个相邻对称轴的距离等于； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 对于分别定义在D1、D2上的函数，以及实数，以及实数若存在，使得，则称函数与具有关系． （1）若；，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若与具有关系，求的取值范围； （3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 试证明与不具有关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十九中学2024-2025高一（下）期中数学试题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. = （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】， 故选：A 2. 在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用弧长公式计算，即可求得答案. 【详解】 根据弧长公式可得： 故选：A. 3. 已知向量，则（ ） A. A、B、C三点共线 B. A、B、D三点共线 C. A、C、D三点共线 D. B、C、D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 4. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 5. 已知函数，其图象如图所示.为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象特征，结合周期的变化和点的对应变化关系即可得到函数图象的平移方法. 【详解】函数，其图象如图所示， 可见的周期为的周期为，且图象上的点， 在的图象上对应，为得到函数的图象， 只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 平移后的图象依然过 所以再向右平移个单位，即可得到. 故选：A. 【点睛】此题考查函数平移，根据函数图象特征，描述函数的变化过程，需要熟练掌握函数的相关性质. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 7. 已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积公式得到答案. 【详解】. 故选：D 8. 中，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析得到为的中点，⊥，，数形结合得到当重合时，取得最小值，求出最小值. 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 9. 从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ） A. 、 B. 、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果. 【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的， 则弹簧振子运动时的最小正周期为，则， 所以，， 由题意可得， 所以，，即， 所以，，则，则， 令可得，所以，， 令，则，由可得， 因为，则， 当时，，对应第张照片， 当时，，对应第张照片， 当时，，对应第张照片. 故选：D. 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式，利用正切函数的图象和性质即可求出定义域. 【详解】由函数，得，即， 由的定义域为 ， 函数在每个区间内单调递增，且当时，解得. 故可解得. 故答案为：. 12. 已知角的终边与单位圆交于点P，则=______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据三角函数的定义求出,再根据同角三角函数关系式化简计算. 【详解】已知点在单位圆上，单位圆的半径，根据三角函数的定义，. 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，若，则______________. 【答案】2 【解析】 【分析】先得到，根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】， ，故， 解得 故答案为：2 14. 已知向量满足，，且存在非零实数使得成立，则向量______________. 【答案】或 【解析】 【分析】两边平方得到，设，分与两种情况，得到方程组，求出答案. 【详解】，两边平方得， 又，故， 即，所以， 设，当得， 故且， 解得，，故， 当得， 故且， 解得，，故， 综上，或. 故答案为：或 15. 数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用来表示，其解析式为.已知函数，给出下列结论： ①函数的最小正周期为； ②函数的单调递增区间为； ③函数的对称中心为； ④在上函数的零点个数为4. 其中正确结论的序号是____________.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】作出函数的图象，通过图象讨论函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题. 【详解】函数，画出函数的部分图象，如图所示： ， 结合函数图象可知，函数的最小正周期为，结论①正确； 由，结合函数图象可知，函数的单调递增区间为，结论②错误； 结合函数图象可知，函数的对称中心为，结论③错误； 函数的零点，即方程的根，时方程不成立， 方程等价于， 函数与函数的图象在上有4个交点， 所以在上函数的零点个数为4. 结论④正确. 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：由符号函数的定义，把表示为分段函数，作出函数图象，函数解析式结合图象，解决函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题. 三、解答题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，，且. （1）求满足条件的所有t的值. （2）求的值. 【答案】（1）或2 （2）5或. 【解析】 【分析】（1）根据平行得到方程，求出或2，检验后得到结论； （2）在（1）基础上，分或2两种情况，利用模长公式求出答案. 【小问1详解】 ，故，解得或2， 经检验，或2均满足要求，故或2； 【小问2详解】 当时，， 故； 当时，， 故， 所以的值为5或. 17. 在平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求和的值； （2）若，化简并求值. 【答案】（1），； （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义得到正弦和正切值； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到，代入求值. 【小问1详解】 由三角函数定义可知，， ； 【小问2详解】 ， 将代入得 18. 已知函数 （1）若，求m的值 （2）在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m的值的两个条件作为已知 （i）求的解析式； （ii）求的单调递增区间； （iii）若时，该函数有最小值无最大值，求实数的取值范围. 条件①：的图象过点； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：的图象的两个相邻对称轴的距离等于； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2） （i）若选①②，不合要求，舍去； 若选①③，则， 若选②③，则， （ii）若选①③，的单调递增区间为； 若选②③，的单调递增区间为； （iii）若选①③，，若选②③，. 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）（i）根据条件①得到，根据条件②得到，根据条件③得到，故不能选①②，若选①③，则，若选②③，则； （ii）选①③和②③，方法相同，整体法求解函数单调递增区间； （iii）选①③和②③，方法相同，先得到，数形结合得到，求出答案. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 （i）条件①，的图象过点，则，解得， 条件②，的最大值与最小值之和为0； 的最大值为，最小值为， 故，解得， 条件③，的图象的两条相邻对称轴的距离等于； 设的最小正周期为，则，解得， 又，故， 若选①②，则两者求出的值不同，不合要求，舍去； 若选①③，则有，则， 若选②③，则有，则， （ii）若选①③，则， 令，解得， 故的单调递增区间为； 若选②③，则， 令，解得， 故的单调递增区间为； （iii）若选①③，则， ，则， 时，该函数有最小值无最大值，故， 解得， 若选②③，则， ，则， 时，该函数有最小值无最大值，故， 解得. 19. 对于分别定义在D1、D2上的函数，以及实数，以及实数若存在，使得，则称函数与具有关系． （1）若；，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若与具有关系，求的取值范围； （3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 试证明与不具有关系． 【答案】（1） 与具有关系，理由如下： 时，，， 当时，，当时，， 故，故与具有关系； （2） （3） 不具有关系，理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值为1， 又为定义在R上的奇函数， 故在上，当且仅当时，取得最小值为-1， 且， 对任意，有，故， 所以的一个周期为， 所以的值域为，又，， 当时，，时，， 若，则，，此时有， 当时，，时，， 若，则，，此时有， 假设，整理得， 因为，所以，故上式无解， 由于，所以， 故不存在，使得， 所以与不具有关系. 【解析】 【分析】（1），，故，故与具有关系； （2）求出，，，， 所以的取值范围为； （3）为定义在R上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值为-1，并得到的一个周期为，得到，，此时有，若，，此时有，假设，整理得，方程无解，故，故不存在，使得，得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 因为，则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，为， 所以， 由于，故，， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $