精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区武威十七中学、十二中学中考二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将1316万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：1316万． 故选C． 2. 如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3. 如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，首先根据平行四边形的对角线互相平分，可得：，，根据勾股定理的逆定理可得：，利用勾股定理可求，设点到的距离为，根据三角形的面积公式可得：，从而可求点到的距离． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， 设点到的距离为， ， ， 解得：． 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程的两根之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设的两根为、， ． 故选：D． 5. 下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； B、，，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意； C、，，开口向下，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意； D、，，开口向上，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由旋转的性质可得，，，求出是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选C． 7. 如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，先根据已知求得，再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：连接， ∵的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 点在第四象限，， 点，在第二象限，且， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质，设，得，所以，根据勾股定理得，然后证明，对应边成比例求出，得，延长交于点G，证明，对应边成比例，再证明是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，点E是边的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是证明． 10. 如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数和勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质，利用勾股定理求出相关线段的长度，再利用等腰三角形的性质求出的长度． 【详解】解：过点作于， 四边形是菱形， ， ， ， ，解得， 是直角三角形， ， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 的平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的概念，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故答案为：． 12. 若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平均数“一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记平均数的计算公式和众数的定义是解题关键．先根据平均数的计算公式求出的值，再根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：∵一组数据1，2，5，3，，的平均数是2， ∴， 解得， ∴这组数据为1，2，5，3，2，，其中，2出现的次数最多， ∴这组数据的众数是2， 故答案为：2． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根即能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键． 将代入原方程即可求解． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程．先证明，推出，设，由勾股定理得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设，记和相交于点， ∵矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 15. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用列表法或树状图法求概率，列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键． 先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲 乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种， 则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ． 故答案为：． 16. 如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点作，垂足为，连接，则面积的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的三边关系、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：延长、交于点，连接，设的中点为，连接．先证明可得，进而得到，然后根据勾股定理可得，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，再根据三角形的三边关系可得最大值为，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：延长、交于点，连接，设的中点为，连接． ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∵， ， 如图：作． ， 最大值 最大面积为． 故答案为：． 17. 如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___． 【答案】 【解析】 【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD， ， ∴ ∴ 由， ∴ 设 则 故答案为： 18. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一个物体三视图（主视图，左视图，俯视图）的基本概念，由三视图得到圆锥体的高以及底面圆的半径是解本题的关键． 首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径为，由勾股定理求得圆锥的母线长，最后由求解． 【详解】解：由图可知，该物体为圆锥，侧面展开图为扇形， 该圆锥底面半径， 该圆锥母线长为， 该圆锥底面周长为， ∴该物体侧面展开图的面积， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． （1）若与关于直线成轴对称，作出． （2）作线段关于点对称的线段． （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形，解题关键是熟练掌握相关图形的画法． （1）根据轴对称的性质确定、、的对应点，顺次连线即可； （2）先找到、关于点对称的对应点，连线即可； （3）找到、绕点顺时针旋转后的对应点，连线后即可作正方形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求． 【小问3详解】 解：如图，线段及正方形即为所求． 20. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当时，原式． 21. 公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 22. 如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（）知， ∴，， ∵等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 23. 如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求及的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为，的长为 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． （1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于12， ∴，即， 解得：或； ∴或． 25. 如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】根据切线的定义可知，根据垂直定义可知，根据同位角相等两直线平行可证，根据平行线的性质可证，根据圆周角定理可证，从而可证结论成立； 首先利用勾股定理求出，根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可求得，根据垂径定理可知，从而可知． 【小问1详解】 证明：切于点， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 为的直径， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到边之间的关系． 26. 中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据） 【答案】中华文字博物馆大门的高度约为20米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 如图，在中解直角三角形可得，进而得到，易得，再在Rt中解直角三角形可得的长即可解答． 【详解】解：如图，在中，， ， ． 由题知， 在Rt中， ． 中华文字博物馆大门的高度约为20米． 27. 【问题背景】 如图1，已知抛物线经过，，三点． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形； 深入探究】 （3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）； （2），，； （3）或或或16 【解析】 【分析】（1）先设出抛物线的解析式，利用待定系数法，将三点坐标代入求出抛物线的解析式； （2）先利用平行四边形的性质，得出，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标； （3）分，，三种情形，分别求解，求出的长． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，）， ∵抛物线经过，，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，有三种情况， ∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴，，，，，，， ∴点在点的左边距离为处，坐标为， 点在点的右边距离为处，坐标为， 点与的连线的中点是点，坐标为． （3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点， 则， ，， ，， ，， ， ， 设，则，， ， ，， ∵点， ∴， ，解得：（舍去）或， ； 当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点， 则轴， ，， ，， ，， ， ， 设，则，， ， ，， ，解得：（舍去）或； ②如图，当时，过点作交轴于点，则， 设，则， ， ，解得：， ， 设直线的关系式为， 则，解得：， 直线的关系式为， 设直线的关系式为， ，解得：， 直线的关系式为， ， ， ③如图，当时，过点作交轴于点，则， ，， ， ， ， 设直线的关系式为， 则，解得：， 直线的关系式为， 设直线的关系式为， ， ，解得：， 直线的关系式为， ， ． 综上所述，的长为或或或16． 【点睛】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形判定与性质等知识点，熟悉相关性质，进行分类讨论，并结合图形进行求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的两根之和是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C D. 9. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 平方根是_______． 12. 若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是________． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______________． 14. 如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是___________． 15. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为__________． 16. 如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点作，垂足为，连接，则面积的最大值为___________． 17. 如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___． 18. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为_____． 三、解答题（共66分） 19. 如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． （1）若与关于直线成轴对称，作出． （2）作线段关于点对称的线段． （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． 20. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 21. 公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 22. 如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求及的长． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 25. 如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 26. 中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据） 27. 【问题背景】 如图1，已知抛物线经过，，三点． 【知识技能】 （1）求此抛物线解析式； （2）在平面直角坐标平面内，求点坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形； 【深入探究】 （3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$