精品解析：甘肃省武威第八中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

武威八中2023-2024学年度第二学期期末考试 高一数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i是虚数单位，则复数（ ） A. -1 B. i C. D. 1 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则=（ ） A. B. C. 4 D. 5. 在中，若，则 A. B. C. D. 6. 已知向量的夹角为60°，且，，则向量在方向上的投影向量的模等于（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知点是内一点，满足，则实数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 在中，角的对边分别为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（ ） A. 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个 B. 满足的格点共有3个 C. 存在格点，，使得 D. 满足的格点共有4个 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 若，则函数的最大值为1 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______． 13. 已知向量，，若，则________． 14. 设为锐角，若，则____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算； （2）在复数范围内解关于x的方程：． 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角θ的余弦值. 17. 已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为，________，且，请从①②③这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积. 18. （1）已知，，求的值； （2）已知，，，求的值． 19. 已知函数，. （1）若，求函数的值域； （2）已知为锐角且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威八中2023-2024学年度第二学期期末考试 高一数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i是虚数单位，则复数（ ） A. -1 B. i C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算即可求解. 【详解】. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到原式，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】． 故选： 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 3. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】，，则， 即，解得. 故选：C. 4. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则=（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】在中，可得，所以，即， 由余弦定理可得， 解得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 5. 在中，若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知条件结合两角和的正切公式求出，得，解出角，可求的值. 【详解】中，由， 得， 又，所以，则. 故选：B． 6. 已知向量的夹角为60°，且，，则向量在方向上的投影向量的模等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及向量数量积的运算律可得，求出向量的模，再由向量在方向上的投影向量的模，即可得结果. 【详解】由题设，，而， 所以，可得或(舍)， 综上，向量在方向上的投影向量的模为. 故选：B 7. 已知点是内一点，满足，则实数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得． 故选：D. 8. 已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】参变分离可得对于任意的恒成立，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意不等式对于任意的恒成立， 则对于任意的恒成立， 又 . 当时，则， 所以. 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 在中，角的对边分别为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】在中由正弦定理，即，解得， 由，所以，所以，则或. 故选：BC 10. 如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（ ） A. 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个 B. 满足的格点共有3个 C. 存在格点，，使得 D. 满足的格点共有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错， 以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若， 所以，，，且，， 得，，共三个，故正确． 当，时，使得，故正确． 若，则，，，且，， 得，，，共4个，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题． 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 若，则函数的最大值为1 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先化简函数，再结合三角函数的性质，分别判断选项. 【详解】. A项，函数的周期为，故A正确. B项，令，则， ∴函数的图象关于点对称，故B正确. C项，若，， 当时，函数的最大值为1，故C正确. D项，由于当时，，不具有单调性，∴D错误，故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】，进而根据题意得，再解不等式组即可得答案. 【详解】解：， 因为复数在复平面上所对应的点在第二象限 所以，解不等式组得 故答案为： 13. 已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行得关系式，可求得． 【详解】∵，向量， ∴，易知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，掌握平行的坐标表示是解题关键． 14. 设为锐角，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式计算即可. 【详解】因为为锐角，所以， 所以； 则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算； （2）在复数范围内解关于x的方程：． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘除运算即可求解. （2）利用配方以及复数的四则运算即可求解. 【详解】解：（1） ； （2）由，配方得， 即，所以． 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角θ的余弦值. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）设，由，和，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由，求得，结合夹角公式，即可求解. 【详解】（1）设，因为，所以， ① 又因为，所以， ② 由①②联立，解得或. （2）由已知，可得， 又由，，解得，所以. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题. 17. 已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为，________，且，请从①②③这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积. 【答案】选择①②③，均有面积为：. 【解析】 【分析】分别选择①②③，根据正余弦定理，先计算出，再算出和，则△ABC面积可求. 【详解】解：情形一：若选择①， 由余弦定理， 因为，所以； 情形二：若选择②，因为，则， 因为，所以， 因为，所以； 情形三：若选择③，则,， 所以， 因为，所以，所以，所以； 由正弦定理，得， 因为，，所以， 所以， 所以. 【点睛】考查正余弦定理解三角形和用三角形面积公式求面积，中档题. 18. （1）已知，，求的值； （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由结合求出，再利用三角函数恒等变换公式和同角三角函数的关系对式子化简，从而可求得结果； （2）先由求出，从而可求出，再由求出的值，而，展开化简可得，再结合其范围可求得结果 【详解】解：（1）因为， 所以， 因为， 整理得， 解得或（舍， ， ， ； （2）因为，， 所以， 故，， 因为，， 所以，所以， 所以， ， 因为， 所以． 19. 已知函数，. （1）若，求函数的值域； （2）已知为锐角且，求的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）化简可得，根据x的范围，可求出的范围，根据正弦函数的图像即可得答案； （2）由题意可得的值，根据的范围，可求得的范围，即可求得的值，将转化为，利用两角和的正弦公式，展开化简，即可得结果. 【详解】（1）因为 ， 由，得， 所以，即， 故函数的值域为． （2）由，得 又因为为锐角， 所以，， 所以， 所以， 所以=． 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数求值域、配凑法求三角函数值问题，考查分析理解，求值化简的能力，考查配凑的思想，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $