精品解析：2025年广东省清远市清新区中考二模数学试题

2025年清新区初中毕业生第二次适应性学业检测数学 本试卷共7页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．选择题答题时用2B铅笔，非选择题答题时必须要用黑色字迹的签字笔或钢笔． 2．不准使用涂改液． 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列体育图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 新冠病毒（COVID﹣19）肆虐全球，截止至4月17日，全球约有2180000人感染新冠病毒，将2180000用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 3. 某校团委开展以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，所有评委的平均分为最后得分．下表是九年级（1）班的亮分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 8.9 8.7 8.6 9.0 8.8 则九年级（1）班的得分为（ ） A. 8.6 B. 8.7 C. 8.8 D. 8.9 4. 如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A. 55° B. 65° C. 75° D. 130° 5. 已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某班1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 每月阅读数量的中位数是32 B. 每月阅读数量的众数是73 C. 每月阅读数量的平均数是46 D. 每月阅读数量的极差是55 8. 如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 10. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 11. 若则的值是________. 12. 如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 13. 已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：，例如：，计算： _______． 14. 某商场花费950元购买水果100斤，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，销售单价至少应该定为_____元/千克． 15. 如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD与FE交于P点．若，则PF的值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）应用与计算：在（1）的条件下，若，求的度数． 18. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸） （1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？ （2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？ 20. 某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货． （1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？ （2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的，值； ②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 21. 综合与实践：在一次“测量不可到达物体高度”的综合实践活动中，某小组选择在学校实验楼顶测量学校围墙外面的一栋高楼的高度，测量过程及相关数据如下表： 课题 测量学校围墙外面的一栋高楼的高度 工具 测角仪，秒表，实心球 示意图 操作步骤 如图，小组成员首先在教学楼的顶楼观测点A处测得校外一栋高楼的底部C处的俯角为，测得高楼的顶部D处的仰角为． 然后在观测点A处让一个实心球自由下落，重复操作10次，实心球下落时间（单位：s）分别是：1.97，2.01，2.03，2.00，2.03，1.98，1.99，2.00，2.01，1.98． 物理知识 物体自由下落的高度（单位：m）与下落时间（单位：s）的关系是 参考数据 ，，，，， 请你根据上表中的数据计算： （1）实心球下落时间的平均值； （2）计算校外的高楼的高度． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】（1）如图1，在中，点为上一点，，求证：． 【内化迁移】（2）如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点，若，求的长． 【综合拓展】 （4）如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值_____． 23. [问题提出] 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． [问题探究] （1）如图1，当点从点运动到点时， ①用含的代数式表示的长：_____； ②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1．5 2 表中的值为_____，的值为_____； （2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式； [问题解决] （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年清新区初中毕业生第二次适应性学业检测数学 本试卷共7页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．选择题答题时用2B铅笔，非选择题答题时必须要用黑色字迹的签字笔或钢笔． 2．不准使用涂改液． 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列体育图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 2. 新冠病毒（COVID﹣19）肆虐全球，截止至4月17日，全球约有2180000人感染新冠病毒，将2180000用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示的一般形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】2180000小数点向左移动6位得到， ∴2180000用科学记数法表示为：． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 3. 某校团委开展以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，所有评委的平均分为最后得分．下表是九年级（1）班的亮分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 8.9 8.7 8.6 9.0 8.8 则九年级（1）班的得分为（ ） A. 8.6 B. 8.7 C. 8.8 D. 8.9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平均数的含义，根据平均数公式计算即可． 【详解】解：九年级（1）班的得分为：， 故选：C 4. 如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A. 55° B. 65° C. 75° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆周角直接可得答案． 【详解】解： ∠BOC＝130°，点A在上， 故选B 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键． 5. 已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 关于的方程的解是负数， ，且， 解得：且， 故选：B． 6. 在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和，解题关键在于熟练掌握垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，即可得到结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图是某班1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 每月阅读数量的中位数是32 B. 每月阅读数量的众数是73 C. 每月阅读数量的平均数是46 D. 每月阅读数量的极差是55 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义，可判断A；根据众数的定义，可判断B；根据平均数的计算方法，可判断C；根据极差的定义，可判断D． 【详解】解：A．将8个数据由小到大排列为：18，26，32，48，48，60，65，73，中位数是，故本选项说法错误，不符合题意； B．出现次数最多的是48，众数是48，故本选项说法错误，不符合题意； C．该班学生去年月份全班同学每月的课外阅读数量的平均数是，故本选项说法错误，不符合题意； D．每月阅读数量的极差是，故本选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．也考查了极差、平均数、众数与中位数． 8. 如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可． 【详解】解：根据双曲线的解析式可得 所以可得 设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M 因此 而图象可得 所以 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 9. 如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则，分别表示出和即可求解． 【详解】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b， 则， ∴， ∵， ∴． 故选C． 10. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案． 【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点， ， 由图像可知，当时，x的取值范围是或， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 11. 若则的值是________. 【答案】-1或1 【解析】 【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案． 【详解】由，得 解得x=±1， 故答案为：±1. 【点睛】考查零次幂，掌握是解题的关键. 12. 如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧长公式求出这个圆锥的底面圆的周长，进而即可求解； 【详解】解：这个锥的底面圆的周长为：； ∴这个锥的底面圆的半径为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，正确计算是解题的关键． 13. 已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：，例如：，计算： _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的新运算法则解答即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式． 故答案为：． 【点睛】本题以新运算为载体，主要考查了有理数的运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 14. 某商场花费950元购买水果100斤，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，销售单价至少应该定为_____元/千克． 【答案】20 【解析】 【分析】设销售单价应该定为x元/千克，根据利润＝销售收入﹣成本，结合要求不亏本，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：100斤＝50千克． 设销售单价应该定为x元/千克， 依题意得：50×（1﹣5%）x﹣950≥0， 解得：x≥20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 15. 如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD与FE交于P点．若，则PF的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求出BE，即可求出AE，根据勾股定理求出CE，可知EF，然后在Rt△AEP中，求出AP，EP，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=3，∠B=∠A=90°． 在Rt△BCE中，， ∵BC=3， ∴BE=1， ∴AE=AB-BE=2． 在Rt△BCE中，， ∴. ∵∠AEP=∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°， ∴∠AEP=∠BCE， ∴． ∵AE=2， ∴． 在Rt△AEP中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等，求出是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）应用与计算：在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，熟悉掌握尺规作图高的做法是解题的关键． （1）根据高的尺规作图方法作图即可； （2）利用等腰三角形的性质列式运算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证； （2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸） （1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？ （2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？ 【答案】（1）该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张； （2）最多生产熟宣2000张． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程及不等式的应用，理解题意列出方程不等式是解题关键． （1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，根据题意列出方程，求解、检验即可； （2）设最多生产熟宣a张，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张， 由题意得：． 解得． 检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张． 【小问2详解】 解：设最多生产熟宣a张． 由题意得：． 解得． ∴最多生产熟宣2000张． 答：最多生产熟宣2000张． 20. 某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货． （1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？ （2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的，值； ②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 【答案】（1）每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为 （2）①或；②该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货”列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，再根据m的取值范围求解即可； ②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可． 【小问1详解】 解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则 ， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，m、n为整数， ∴或； ②当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机． 21. 综合与实践：在一次“测量不可到达物体高度”的综合实践活动中，某小组选择在学校实验楼顶测量学校围墙外面的一栋高楼的高度，测量过程及相关数据如下表： 课题 测量学校围墙外面的一栋高楼的高度 工具 测角仪，秒表，实心球 示意图 操作步骤 如图，小组成员首先在教学楼的顶楼观测点A处测得校外一栋高楼的底部C处的俯角为，测得高楼的顶部D处的仰角为． 然后在观测点A处让一个实心球自由下落，重复操作10次，实心球下落时间（单位：s）分别是：1.97，2.01，2.03，2.00，2.03，1.98，1.99，2.00，2.01，1.98． 物理知识 物体自由下落的高度（单位：m）与下落时间（单位：s）的关系是 参考数据 ，，，，， 请你根据上表中的数据计算： （1）实心球下落时间的平均值； （2）计算校外的高楼的高度． 【答案】（1）实心球下落时间的平均值为； （2）校外高楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了平均数的计算以及三角函数的应用，熟练掌握方法是解答本题的关键． （1）根据平均数的计算方法计算即可； （2）先求出的高度为，在中，由，得，在中，由，得，即可求得的高度． 【小问1详解】 解：， 实心球下落时间的平均值为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 即的高度为， 在中，由，得， ， 作于点M， 在中，由，得， ， ， 答：校外高楼的高度约为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】（1）如图1，在中，点为上一点，，求证：． 【内化迁移】（2）如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点，若，求的长． 【综合拓展】 （4）如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值_____． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴；证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）； （4）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式即可得出结论； （2）平行四边形的性质，得到，证明，得到，求出的值即可； （3）连接交于点，延长与的延长线交于点，证明四边形为平行四边形，得到，，旋转，得到，证明，得到，求出，过点作，三角函数求出的长，勾股定理求出的长，再根据，进行求解即可． （4）作和交于点，作于点，连接、，利用平行线的性质和三角形面积公式可，得到；作的外接圆，记圆心为O，连接，利用外接圆的性质得到圆O的半径为1，进而得到；作于点，于点，设设，，则，利用勾股定理和三角函数的知识得到，令，则，整理方程得，再利用一元二次方程的判别式和一元二次不等式求出t的范围即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点，延长与的延长线交于点， ∵菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于H，则：，， 在中，， ∴． （4）的最大值为． 如图，作和交于点，作于点，连接、， ， ， ， ， ∵，， ，，， ， 作的外接圆，记圆心为，连接、OD、， 则， ， ， 设圆与交于，则， 是等边三角形， ， ，是等边三角形， ，O，G三点共线，即是圆的直径， ， 圆的半径为1， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 作于点，于点，则， 则， ， ， 四边形是矩形， ，， 设，，则， ，， 在中，， ， 令，则， 则， 整理得：， ， 整理得， 令， 则，， 的解集为， ∴t的最大值为， 即的最大值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握相关知识点，构造三角形相似是解题的关键． 23. [问题提出] 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． [问题探究] （1）如图1，当点从点运动到点时， ①用含的代数式表示的长：_____； ②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1．5 2 表中的值为_____，的值为_____； （2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式； [问题解决] （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 【答案】（1）①； ②； 通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下： 的值为1.5；的值为0； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题为四边形综合题，涉及到二次函数的图象和性质、函数表达式的求法、函数作图，确定函数表达式是解题的关键． （1）①由即可求解； ②由题意得：即可求解，通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象即可求解； （2）对比（1）②分类讨论利用即可求解； （3）由函数的对称性得：，当时，即，由题意得和时，函数值相等，即可求解． 【详解】(1)① ， ∴， 故答案为：． ②由题意得：， 当， 当， 故答案为：． （2）当点运动到线段的延长线上时， ； 故答案 ：． （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，时长设为对应的矩形面积均相等， 如图：由函数的对称性得：， 当时，即， 设， 则， 由题意得，和时，函数值相等， 故， 整理得：， 解得：， 则， 即矩形的面积． 【点睛】本题主要考查三角函数、矩形面积、二次函数表达式、函数图像及其性质等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力．点睛片段 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $