精品解析：浙江省余姚中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

余姚中学2024学年第二学期期中检测高一数学学科试卷 命题：徐夙莹 审题：丁莉静 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得. 故选：A 2. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数概念，列出方程，注意虚部不能为零，解得答案. 【详解】由题意，得，解得, 故选:C 3. 已知，，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积的性质和运算律判断. 【详解】充分性：由题意知，，为非零向量，当时，可得，故充分性满足； 必要性：当，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 4. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，及即可求解. 【详解】 因为点是线段的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 故选：C 5. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则作出原图形，再求出三角形各条边长即得. 【详解】在直观图中，，而，因此， 对应的原图形是直角，其中， ，显然， 所以原图形中最长的边长是. 故选：C 6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D， 则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 7. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，或，进而可得. 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 8. 已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将棱锥补全为长方体，进而确定球心的位置并求出半径，若为的中点，连接，证明平面平面，得到是与平面的夹角，结合已知求点面距即可. 【详解】由平面，平面，则，， 由，可将三棱锥补全为一个长方体，如下图示， 则球心为该长方体体对角线的中点，则球的半径， 易知中，，若为的中点，连接， 显然，且都在平面内，则平面， 又平面，所以平面平面，故在平面的投影在上， 所以是与平面的夹角，而， 则， 所以，则球心到平面的距离为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，表示三个不同平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行、面面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，，则可能相交，A选项错误. 对于B，若，，则，B选项正确. 对于C，若，，则，C选项正确. 对于D，若，，则可能相交，D选项错误. 故选：BC 10. 在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 边上的高为 B. C. 边上的中线为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可得，结合已知有，进而得，应用余弦定理、向量数量积的定义及其运算律依次判断各项的正误. 【详解】由题设，则，即， 又且，则，故， 又，则，故， ，，则，B对， 边上的高为，A对， ，D错， 边上的中线为，C对. 故选：ABC 11. 如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D. 过三点平面与圆台下底面的交线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆台的高，根据体积公式可得选项A正确；把圆台补成圆锥，根据母线与平面所成的角最大可得选项B正确；利用两条母线所在直线夹角为时截面面积最大可得选项C错误；找出过三点的平面与圆台下底面的交线，结合垂径定理可得选项D正确. 【详解】对于A选项，因为，， 所以圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 所以圆台的高， 所以圆台的体积，故A正确； 由，得， 因为，所以， 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接， 因为为中点，所以， 因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 此时母线所在直线与平面所成角最大为， ，故B正确； 由，得，， 所以，当两条母线所在直线夹角为时面面积最大为，故C错误； 如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线， 由得，， 所以，， 取中点，则，， 所以，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据复数的概念即可判断. 【详解】因为复数，根据复数的概念，可知其虚部为4. 故答案为：4. 13. 已知在中，是斜边的中点，则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】由题意以为坐标原点，CA边为x轴，CB边为y轴建立直角坐标系，求出各点坐标，利用向量坐标和向量数量积的坐标计算方法即可求解. 【详解】由题意以为坐标原点，建立直角坐标系， 可得，，， 故可得，，， ∴， 故. 故答案为：10. 14. 如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m． 【答案】200 【解析】 【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可. 【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m， 所以m， 在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°， 所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°， 由正弦定理，得，即m， 在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m． 故答案为：200 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为虚数单位. （1）若复数满足，求； （2）计算. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明，求出即可求解； （2）根据复数的四则运算法则即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 所以， 则； 【小问2详解】 原式. 16. 在中 （1）若求； （2）若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1:由余弦定理求，再用正弦定理求，法由正弦定理求，得到，再用和角公式计算即可. （2）由余弦定理可知,再用得到，两式结合求出再用面积公式计算即可. 【小问1详解】 法1:由余弦定理可知 又 由正弦定理知： 法2:因由正弦定理知： 【小问2详解】 由条件知：由余弦定理可知 ① ② 由①②得 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 18. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）过作于点，连接，可证得，即是二面角的平面角，结合立体几何的图形关系，即可求得； （3）通过证明，可得是直线与平面所成角，在直角中，可求得，所以，在中，设，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 过作于点，在等腰梯形中，，， 可得，所以，所以， 又平面为正方形，所以 又平面平面，且平面平面， 所以平面，所以， 又，，平面； 平面平面； 【小问2详解】 过作于点，连接， 平面，， 又，，平面，， 是二面角的平面角. 在直角中，，，得， ，二面角的平面角的余弦值为； 【小问3详解】 平面，平面平面， 过作于点，连接， 平面平面，平面平面，，平面， 是直线与平面所成角，， 在直角中，，，，得，， 在中，，，，，设，得， 即，解得或，即或. 19. 在平面四边形中，，将沿翻折至，其中为动点. （1）若， （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正切值的最大值. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）. （2）1 【解析】 【分析】（1）（i）利用勾股定理求证，再利用线面垂直的判定定理求证即可； （ii）利用等体积计算三棱锥的体积即可； （2）过作于点，求证平面，再设，得出，得出，再令，化简得出，再利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 （i）由题意可得， 则，即， 又平面，则平面； （ii）由（i）可知，为三棱锥的高， 则. 则三棱锥的体积为. 【小问2详解】 取的中点为，连接，则，则， 因为的中点，所以， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面， 过作于点， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 则是直线与平面的所成角， 设，则， 若，则， 则； 若，则， 则， 则， 令，则， 则， 则 ， 因，当且仅当，即时取得等号， 则， 故直线与平面所成角的正切值的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 余姚中学2024学年第二学期期中检测高一数学学科试卷 命题：徐夙莹 审题：丁莉静 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A B. 2 C. D. 8 2. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 3. 已知，，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 如图，是一个平面图形直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（ ） A. 4 B. C. D. 6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 边上的高为 B. C. 边上的中线为 D. 11. 如图，已知圆台轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为 三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是__________. 13. 已知在中，是斜边的中点，则__________. 14. 如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为虚数单位. （1）若复数满足，求； （2）计算. 16. 在中 （1）若求； （2）若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 18. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 19. 在平面四边形中，，将沿翻折至，其中动点. （1）若， （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角正切值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$