精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区凉州区长城、吴家井中学二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据150亿用科学记数法表示为（　　） A. 1500000000 B. C. D. 2. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 6. 如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 7. 现有4条线段，长度依次是3，6，9，11，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为__________． 12. 如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为_____． 13. 如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为________． 14. 如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 16. 如图，在中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为________． 17. 如图，在菱形中，，，点在射线上，当是直角三角形时，则的长为______． 18. 如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为___________． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． （1）请在图中画出； （2）连接，，求的面积． 20. （1）计算：； （2）解方程：． 21. 互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递网点年月份完成快递的件数为件，月份完成快递的件数为件，求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率． 22. 如图，在等边中，点分别为边上的点，且． （1）连接．求证：； （2）将线段绕点顺时针旋转至，连接交于点，求证：． 23. 如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求 的长． 24. 如图，已知为反比例函数的图象上两点，直线交轴于点． （1）求的值； （2）若，求反比例函数的解析式． 25. 如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 26. 如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 27. 已知抛物线与直线在第一象限交于点，且． （1）求点的坐标及的值； （2）如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标； （3）如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据150亿用科学记数法表示为（　　） A. 1500000000 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握“把一个大于的数表示成的形式（其中大于或等于且小于，是正整数）”是解题关键．按照科学记数法的定义即可求解． 【详解】解：150亿； 故选：C 2. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：A． 3. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段最短时，， 在中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 5. 如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义及性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 6. 如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解：是的半径，交于点，， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 7. 现有4条线段，长度依次是3，6，9，11，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率以及三角形的三边关系，找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可用概率公式求解． 【详解】解：从长度分别为3，6，9，11的四条线段中任选三条有如下四种情况： 3，6，9；3，6，11；3，9，11；6，9，11， 能组成三角形的有3，9，11和6，9，11这两组， ∴能组成三角形的概率是， 故选：B． 8. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形的性质设，再根据点的横坐标为和点在反比例函数的图象上，分别写出点，，的坐标，然后根据点在反比例函数的图象上，得出用表示，再求出点的坐标，根据在反比例函数的图象上，求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵点的横坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：(舍去)或， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选： A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，求代数式的值，解二元一次方程等知识，解题的关键是根据正方形的性质，结合点在反比例函数图象上，设出其中一个点的坐标，再表示出其他点的坐标． 9. 如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上面往下看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边往下看，右下是一个正方形，上面一排是三个正方形， 故选：D． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为__________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得， 所以当m取0时，方程有两个实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理．先利用二次函数的性质求得和，设点的坐标为，利用勾股定理求得，用表示出和，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，， ∵， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ， ， ①当为斜边时，， 解得或， ∴点的坐标为或； ②当为斜边时，， 解得(舍去)； ③当为斜边时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上点的坐标为或或， 故答案为：或或． 13. 如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握性质、旋转的性质，等边对角的运用是关键． 根据菱形，旋转的性质得到，，，如图所示，连接，设与交于点，可证，，由此得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 如图所示，连接，设与交于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、正多边形与圆，设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示， 设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中， ，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ； 故答案为：． 15. 如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，的几何意义，正确掌握的几何意义是解题的关键． 过点作轴于点，根据的几何意义和等腰三角形的性质，易求，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在反比例函数（）的图象上，轴， ， ，轴， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理．过D作，交于点H，由三角形中位线定理可得，得到，求得，再根据勾股求出，线段和差得到，，延长交于点M，由平行线分线段成比例可得，求出，，再由角平分线性质定理可得，最后过F作于点T，易得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点M，过D作，交于点H， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴，， ∴， 在中，5， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵平分， ∴，即， 解得， 过F作于点T，则，， ∴， 在中，； 故答案为：． 17. 如图，在菱形中，，，点在射线上，当是直角三角形时，则的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【详解】①当时，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． ②当时，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ③当时，如图，则， 作于点M，作于点N， 则，， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 18. 如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为___________． 【答案】##288度 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆锥的侧面展开图的圆心角等知识；由三视图确定出几何体的形状是圆锥，由三视图确定圆锥的底面直径及圆锥母线长，由扇形弧长公式即可求解． 【详解】解：由三视图知，该几何体是圆锥，且底面圆的直径是16，母线长为10； 设圆锥侧面展开图的圆心角为，则有， 解得：； 即该几何体侧面展开图的圆心角的度数为； 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． （1）请在图中画出； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） 画出如图所示； （2）11 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的坐标变化规律、图形的平移以及利用割补法求三角形面积，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）由点与点关于原点对称，得，然后得平移规律是：向右平移个单位，向下平移个单位， 按照此平移规律求、，依次连接这三点，即可． （2）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 平移方式为将向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 点的坐标为， ． 20. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先分别化简算术平方根，特殊三角函数，绝对值，再算乘法，最后进行加减运算即可； （2）方程去分母后得整式方程，解整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 21. 互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递网点年月份完成快递的件数为件，月份完成快递的件数为件，求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为，利用该快递网点月份完成快递的件数该快递网点月份完成快递的件数（该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为． 22. 如图，在等边中，点分别为边上的点，且． （1）连接．求证：； （2）将线段绕点顺时针旋转至，连接交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵在等边中， ∴， 又∵ ∴ ∴； （2） 证明：设交于T 由（1）可知， ∴， ∵ ∴ ∴ 由旋转的性质可得， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，，然后证明出，得到； （2）首先求出，由旋转的性质可得，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 23. 如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合已知和圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可求出，，根据平行线的性质可得，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据等边对等角和平行线的性质可得出，结合由（1）中，可求出，根据圆周角定理求出，在中，根据勾股定理可求出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确题意，添加合适辅助线，求出是解题的关键． 24. 如图，已知为反比例函数的图象上两点，直线交轴于点． （1）求的值； （2）若，求反比例函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设直线的解析式为，待定系数法得到，再把点代入求解即可； （2）由以及（1）中求出的值联立求解，再由待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为． 点在直线上， ， 解得． 直线的解析式为． ， ， ∴， ． 直线的解析式为， 将点代入得，即； 【小问2详解】 解：点在反比例函数的图象上， . 由（1）可知， 解得， ， 反比例函数的解析式为． 25. 如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明； （2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 26. 如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 【答案】该船继续向西航行是安全的 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点B作于点B，在和中，利用正切函数分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点B作于点B，设海里． 在中，， 在中，， 由得， 解方程，得． 答：该船继续向西航行是安全的． 27. 已知抛物线与直线在第一象限交于点，且． （1）求点的坐标及的值； （2）如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标； （3）如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积． 【答案】（1）点的坐标为， （2）点的横坐标为3或4或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设，过点作轴，则，由勾股定理可得，可求得点的坐标为，再利用待定系数法可求得的值； （2）由（1）可知抛物线为，设，由题意得，且，则，，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程即可求解； （3）过点作轴，由（1）可知，，令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，则，则平分，先证明，得，过点作轴，过点作轴，则，得证，可知，，而直线交抛物线于，两点，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，则，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线在第一象限交于点， ∴设，过点作轴，则， 由勾股定理可得， ∵， ∴，即点的坐标为， 将代入，得， 解得：； 【小问2详解】 由（1）可知抛物线为， 设， ∵轴交线段于点， ∴，且， 则，， 当时，即， ∴，解得：（或5不符题意，应舍去） 当时，即， ∴，解得：（不符题意，应舍去） 当时，即， ∴，解得：（或不符题意，应舍去） 综上，点的横坐标为3或4或； 【小问3详解】 过点作轴，由（1）可知， ∴， 令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点， 则，则平分， ∴，，则， ∵平分， ∴，则 ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作轴，过点作轴，则， ∴， ∴，， 而直线交抛物线于，两点， ∴，整理得， 解得：， 即，， ∴，， ∵， ∴，即 解得， ∴，直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，图形与坐标，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，理解题意，分类讨论，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $