精品解析：河北省2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二期中考试试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，代入即可. 【详解】，. 故选：A. 2. 某工厂新生产了20台机器人，其中8台是高性能机器人，12台是普通机器人．现从中随机抽取5台机器人进行检测，则恰好3台高性能机器人被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型结合组合数运算求解. 【详解】工厂新生产了20台机器人，其中8台是高性能机器人，12台是普通机器人．现从中随机抽取5台机器人进行检测， 则恰好3台高性能机器人被抽到的概率为. 故选：C. 3. 函数的极大值点是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可. 【详解】， 令，解得：或， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故的极大值点是. 故选：A. 4. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据原函数的增减性及其导函数的正负之间的关系，对选项逐一判断即可得出结果. 【详解】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意； 若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意； 若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确； 对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合； 若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误. 故选：C 5. 某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率计算求解. 【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件， 某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为， 则，，， 则，， 所以， 如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为. 故选：B. 6. 已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性求出导函数列不等式计算求出参数. 【详解】当函数在上单调，或恒成立， 所以或恒成立， 所以或，因为函数在上不单调，所以. 故选：D. 7. 已知奇函数的定义域是，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知不等式构造函数，得出函数单调性结合函数奇偶性解不等式. 【详解】对任意的，都有，, 所以在单调递减，当时，不等式转化为，，所以， 因为为奇函数，所以，所以为偶函数， 在单调递增，当时，不等式转化为，，所以， 综上，. 故选：D. 8. 柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分布列性质解方程可得，即A正确；解不等式可判断B错误，求得并利用期望值的性质计算可得C正确，利用方差公式代入计算可得D错误. 【详解】对于A，易知，解得，即A正确； 对于B，由可得， 因此，即B错误； 对于C，易知， 所以，因此C正确； 对于D，易知，即D错误. 故选：AC 10. 我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可计算得到函数的导数，令导数大于0即可得到函数的单调递增区间，从而结合选项得到结果. 【详解】由题意得，两边同时求导得， 即，令，即，解得：， 即函数的单调递增区间为. 故选：BD. 11. 已知三次函数，若不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的极小值为4 C. 若函数在上既有最大值又有最小值，则 D. 若函数有3个零点，函数有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据解集形式可得，解方程可得A正确，判断出函数的单调性计算可得函数的极小值为0，即B错误，可结合已有分析可知须包含两个极值点，即可得出，可得C正确，利用三次方程根与系数的关系得出平方和都为定值，可知D正确. 【详解】对于A，由不等式的解集形式可知为方程的二重根， 即，解得，即A正确； 对于B，易知，则， 令，解得或； 当时，，即在上单调递减， 当或时，，此时在和上单调递增； 所以在处取得极小值，此时，即B错误； 对于C，若函数在上既有最大值又有最小值，因为是开区间，所以区间内需包含两个极值点和； 又，， 所以最大值为4，最小值为0，因此即可得，，即C正确； 对于D，函数有3个零点，即有三个不相等的实数根， 因此， 即； 因此可得，， 所以，与无关，是定值， 同理可得，即，可知D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：在求解选项D中的结论时，关键是类比韦达定理利用三次方程根与系数的关系得出平方和与系数的表达式，即可得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的可导函数，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数定义的极限表达式代入计算可得结果. 【详解】由导数定义可知. 故答案为： 13. 春节期间小明一行人去哈尔滨旅游，根据旅游攻略发现有、、三个美食打卡点，已知在三个美食打卡点均有人前往的条件下，打卡点恰好有人打卡的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件三个美食打卡点均有人前往，事件打卡点恰好有人打卡，利用计数原理求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件三个美食打卡点均有人前往，事件打卡点恰好有人打卡， 对于事件，将个人分为三组，则三组的人数分别为、、或、、或、、， 所以； 对于事件，打卡点恰好有人打卡，则将剩余人分为两组，每组人数分别为、或、， 所以， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 14. 已知函数，若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到，令，令，利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 所以， 由， 令，则， 令，， 则，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以的最小值为， 又，故最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）求出方程的解的个数． 【答案】（1）函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值. （2）当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解. 【解析】 【分析】（1）求导求单调性即可求解； （2）画出函数的大致图像，数形结合即可判断. 【小问1详解】 因为，所以， 令，解得，令，解得，所以函数在单调递增， 函数在单调递减，所以为函数的极小值点， 所以的极小值为：，无极大值. 综上所述：函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值. 【小问2详解】 易知当时，，当时，，当时，， 再根据（1）中函数的单调性和极值可以大致作出函数图像如下所示： 由（1）知，的极小值即为函数最小值，方程的解的个数 等价于函数的图像与直线交点的个数，由下图可知： 当时，函数的图像与直线没有交点，故方程无解； 当时，函数的图像与直线有个交点， 故方程有个解； 当或时，函数的图像与直线有个交点， 故方程有个解； 综上所述：当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 16. AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 （1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ （2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 【答案】（1）列联表为： 焦虑 不焦虑 合计 男性 40 10 50 女性 20 30 50 合计 60 40 100 与性别有关 （2）的分布列如下： 1 2 3 期望为2【解析】 【分析】（1）根据表中数据即可完成表格，提出零假设并计算得出的取值，得出结论； （2）根据随机变量的所有可能取值，利用超几何分布求出对应概率可得分布列，计算可得期望值. 【小问1详解】 填写列联表为： 焦虑 不焦虑 合计 男性 40 10 50 女性 20 30 50 合计 60 40 100 零假设：焦虑与否与性别无关． 根据列联表中的数据得， 故依据的独立性检验，可以推断不成立， 即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人， 其中男性人数为（人）；女性人数为（人） 由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3． ， 随机变量的分布列如下： 1 2 3 则． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）设函数有两个极值点、．求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得，即可解得实数的值； （2）分析可知、为方程在上有两个不等实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，结合韦达定理可化简得出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可. 【小问1详解】 由定义域为，且， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以，解得． 【小问2详解】 由题意可得， 函数有两个极值点、，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， 由上知，，，且， ， ， 令，则， 由得，所以在上单调递减， 由得，，所以在上单调递增， 所以，即的最小值为. 18. 设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，数列的所有逆序的总个数称为数列的逆序数，记为．例如：数列2，3，1，4只有两个逆序，分别为（2，1）和（3，1），则数列2，3，1，4的逆序数．特别地，对于数列，将其重新排列后，如果新的数列中所有的项都不在原来的位置上，此时称这样的数列是原数列的一个错排数列．例如：3，1，2是1，2，3的一个错排数列，4，3，2，1是1，2，3，4的一个错排数列．记为数列1，2，3，…，的所有排列中逆序数为的全部排列的个数，记为1，2，3，…，的所有错排数列组成的集合，表示集合中元素的个数． （1）求、、、的值； （2）若，求的表达式． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）应用数列定义计算求解； （2）分两种情况取一个数字向前移动两个位置及取两个数字分别向前移动一个位置分别计算结合组合数运算求解. 【小问1详解】 1，2的错排为，即． 1，2，3的错排为，即． 对于有序数列1，2，3，4，一号位有2，3，4这三种可能，不妨设一号位是2， 若二号位为1，则剩下的是3，4两个数进行错排，； 若二号位不为1，则剩下的是1，3，4三个数进行错排，； 因此． 1，2，3，4的所有排列中逆序数为2的排列如下：，故． 【小问2详解】 对于有序数列1，2，3，…，（），要使得，有两种方法： ①取一个数字向前移动两个位置，可以向前移动两个位置的有3，4，5，…，， 故此时有种结果 ②取两个数字分别向前移动一个位置，可以向前移动一个位置的有2，3，4，…，，故此时有种结果． 故． 19. 已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的最大值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值； （2）由题意可知，在上有解，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题，则， 即在上恒成立. 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，在上单调递增，且． 则当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增． 所以，所以实数的最大值为． 【小问2详解】 不等式在上有解，即在上有解， 令， 则， 当时，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以在处取得最小值为， 所以，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中考试试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 某工厂新生产了20台机器人，其中8台是高性能机器人，12台是普通机器人．现从中随机抽取5台机器人进行检测，则恰好3台高性能机器人被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的极大值点是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数的定义域是，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ） A. B. C. D. 11. 已知三次函数，若不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的极小值为4 C. 若函数在上既有最大值又有最小值，则 D. 若函数有3个零点，函数有3个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的可导函数，若，则___________． 13. 春节期间小明一行人去哈尔滨旅游，根据旅游攻略发现有、、三个美食打卡点，已知在三个美食打卡点均有人前往的条件下，打卡点恰好有人打卡的概率为___________． 14. 已知函数，若，且，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）求出方程的解的个数． 16. AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 （1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ （2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）设函数有两个极值点、．求的最小值． 18. 设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，数列的所有逆序的总个数称为数列的逆序数，记为．例如：数列2，3，1，4只有两个逆序，分别为（2，1）和（3，1），则数列2，3，1，4的逆序数．特别地，对于数列，将其重新排列后，如果新的数列中所有的项都不在原来的位置上，此时称这样的数列是原数列的一个错排数列．例如：3，1，2是1，2，3的一个错排数列，4，3，2，1是1，2，3，4的一个错排数列．记为数列1，2，3，…，的所有排列中逆序数为的全部排列的个数，记为1，2，3，…，的所有错排数列组成的集合，表示集合中元素的个数． （1）求、、、的值； （2）若，求的表达式． 19. 已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的最大值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $