辽宁省沈阳市回民中学2024-2025学年高一下学期5月期中质量监测数学试题

答案第 1 页，共 12 页 《2025 年 4 月 23日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B A D B C AD AD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】由复数虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得复数 z 的虚部为 2 . 故选：B. 2．C 【分析】利用向量数量积和向量模的定义解决本题. 【详解】由向量 a、b 的夹角为 π 4 ， 2a = ， 1b = ，得出 π 2 1 sin 1 4 a b =   = . 则 | 3 |a b+ = ( ) ( ) 22 3 6 18 6 1 5a a b b+  + = + + = . 故选：C 3．B 【分析】利用正弦定理化简2 cos 2b A c a= − 后可得 π 3 B = ，再结合余弦定理和正弦定理化简 sin cos 1 sin 2b A C C c = + 可得 2 2 2 22a b a b c ac= + − + ，两者结合可得 1b = ，最后由基本不等式可求最大值. 【详解】因为 2 cos 2b A c a= − ， 故 2sin cos 2sin sin 2sin cos 2cos sin sinB A C A B A B A A= − = + − ， 整理得： 2cos sin sinB A A= ，而 A为三角形内角，故sin 0A  ， 故 1 cos 2 B = ，但 ( )0,πB ，故 π 3 B = . 所以 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − ， 因为 sin cos 1 sin 2b A C C c = + ，故 2 2 2 2 1 2 b a a b c c abc + − = + ，所以 2 2 2 22a b a b c ac= + − + ， 所以 2 2 2 22 22 2ca c ab c aca a a−= + + =+ − ，故 1b = ， 故 2 2 1a c ac+ − = 即 ( ) ( ) 2 23 1 3 1 4 a c ac a c+ = +  + + ， 故 2a c+  ，当且仅当 1a c= = 时等号成立， 故 a c+ 的最大值为 2， 故选：B. 答案第 2 页，共 12 页 4．B 【分析】先求出 a b+ 与 a b + 的坐标，再利用向量垂直的性质列出等式，最后通过化简等式得到 与  的关系． 【详解】由题知， ( )2 ,1 2a b  + = + − ， ( )2 1, 2a b  + = + − ， ( ) ( )a b a b + ⊥ + ， ( ) ( ) 0a b a b  +  + = ， ( )( ) ( )( )2 2 1 1 2 2 0    + + + − − = ，整理得 0 + = ， 故选：B． 5．A 【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到OA OB OC= = ，进而得到 BOC为正三角形，从而 得到结论. 【详解】如图，由 2BO BA BC= + 知 O 为 AC 的中点， 又∵O 为 ABC的外接圆圆心， OA OB OC = = 又 | | | |BO BC= BC OB OA OC = = = BOC 为正三角形， 0 ,6 30BCO BAO  =  = ， AB 在 AC 上的投影向量为 | | 3 | | 2 2 4| 3 | | 3 | AAC AC AC AC A AB C B   = = . 故选：A. 6．D 【分析】利用同角三角函数关系求出 ( )sin  + ，根据两角和正弦公式结合题意求出sin cos  ，继而 求得 ( )sin  − ，再利用二倍角公式即可求得答案. 【详解】由于 ,  为锐角，则0 π  +  由 ( ) 2 2 cos 3  + = ，得 ( ) 2 2 2 1 sin 1 3 3     + = − =     ， 即 1 sin cos cos sin 3    + = ，结合 1 cos sin 4   = ， 答案第 3 页，共 12 页 可得 1 1 1 sin cos 3 4 12   = − = ， 故 ( ) 1 1 1 sin sin cos cos sin 12 4 6      − = − = − = − ， 故 ( ) ( ) 2 2 1 17 cos2 1 2sin 1 2 6 18       − = − − = −  − =    ， 故选：D 7．B 【分析】先对函数化简变形为 ( ) π 3 3sin 2 3 2 f x x   = + −    ，令 ( ) 0f x = ，解得 π π 2 2 π 3 3 x k + = + 或 2π 2 π 3 k+ ( )Zk ，由0 2x  ，求出 π 2 3 x + 范围，再由在 ( )0, 2 上恰有1个零点，得 2π π π 4 2π 3 3 3  +  + ， 从而可得的取值范围. 【详解】 ( ) 2 π 5 3 1 5 2cos sin 2 cos2 1 sin2 cos2 6 2 2 2 2 f x x x x x x       = + + − = + + + −    π 3 3sin 2 3 2 x   = + −    令 ( ) 0f x = ，则 π 3 sin 2 3 2 x   + =    ，所以 π π 2 2 π 3 3 x k + = + 或 2π 2 π 3 k+ ( )Zk ， 因为 0 2x  ，所以 π π π 2 4 3 3 3 x  +  + ， 因为在 ( )0, 2 上恰有 1 个零点，所以 2π π π 4 2π 3 3 3  +  + ，解得 π π 12 2   ． 故选：B 8．C 【详解】∵ ( ) 4sin cos 1 2sin 1 2 2 x x f x x= + = + ， ( ) 3 1 4sin cos 4sin cos sin 2 2 6 2 2 2 2 2 x x x x x g x     = − = +        22 3 sin cos 2sin 3 sin cos 1 2sin 1 2 2 2 6 x x x x x x   = + = − + = − +    ，当 ( ) ( )f x g x 即sin sin 6 x x    −    ， 解得 5 7 2 2 , 12 12 k x k k Z    − +   +  ；当 ( ) ( )f x g x ，即sin sin 6 x x    −    ，解得 7 19 2 2 12 12 k x k    +   + ，故 ( ) 5 7 2sin 1, 2 2 , 12 12 7 19 2sin 1, 2 2 6 12 12 x k x k k Z h x x k x k           + − +   +  =     − + +   +     ，故函数 ( )h x 在 5 , 2 12    − −    上单调递减，在 5 5 , 12 12    −    上单调递增，故选 C. 答案第 4 页，共 12 页 9．AD 【分析】根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算判断 A,B, 利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断 C,D. 【详解】在 ABC中，因为 2 2 cosb c a C= + ，所以由正弦定理得2sin sin 2sin cosB C A C= + ， 又 ( ) ( )sin sin π sinB A C A C= − + = +   ， 所以 ( )2 sin cos cos sin sin 2sin cosA C A C C A C+ = + ，所以2cos sin sinA C C= ， 对于 A，因为0 πC  ，则 sin 0C  ，所以 1 cos 2 A = ，因为 ( )0,πA ，所以 π 3 A = ，故 A 正确； 对于 B,由正弦定理得 ABC外接圆半径 1 1 3 1 π2 sin 2 sin 3 a R A =  =  = ，故 B 错误； 对于 C,如图 1， 1 3 cos 2 2 BO BC BO BC OBC a a =  =  = ，故 C 错误； 对于 D,由余弦定理得： 2 2 2 π 3 2 cos 2 3 a b c bc bc bc bc= = + −  − = ， 当且仅当 3b c= = 时取等号，因此 1 π 3 3 3 sin 2 3 4 4 △ABC S bc bc= =  ，故 D 正确， 故选：AD. 10．AD 【分析】由 cos 2 2 3 B = ，求得 sin B，正弦定理求出sin A，可得 A 的值. 【详解】因为 cos 2 2 3 B = ，且0 πB  ，所以 1 sin 3 B = . 由正弦定理可得 sin sin a b A B = ，则 sin 1 sin 2 a B A b = = ， 又 a b ，有 A B ，故 π 6 A = 或 5π 6 A = . 故选：AD 11．BCD 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的数量积的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：对于 A：因为 ( )3, 4OA = − ， ( )6, 3OB = − ， ( )5 , 3OC m m= − − − ， 答案第 5 页，共 12 页 所以 ( ) ( ) ( )3, 4 6, 3 3, 1BA OA OB= − = − − − = − − ， ( ) ( ) ( )5 , 3 6, 3 1 ,BC OC OB m m m m= − = − − − − − = − − − ， 因为 ABC 为锐角，所以 ( ) ( ) ( )3 1 1 0BA BC m m = −  − − + −  −  ，解得 3 4 m  − ， 当 ( ) ( )3 1 1m m−  − = −  − − ，即 1 2 m = 时 2BA BC= ，故 3 4 m  − 且 1 2 m  ，故 A 错误； 对于 B：不妨设 ( )1,0a = 、 ( )0,1b = ，设 ( ),c OC x y= = ，所以 ( )1, 1c a b x y− − = − − ，因为 1c a b− − = ， 所以 ( ) ( ) 2 2 1 1 1x y− + − = ，所以点C 的轨迹是以 ( )1,1D 为圆心，1为半径的圆，又 2OD = ，所以 max 2 1c = + ，故 B 正确； 对于 C：因为 1 1 4 2 AO AC AB= + ，取 AC 的中点D ， 则 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 AO AC AB AD AB AD AB   =  + = + +   =  ， 所以O为 BD的中点，连接OC ，因为D 是 AC 的中点，所以 1 2 ABD BDC ABC S S S= = ， O是 BD的中点，所以 1 2 ADO ABO ABD S S S= = ， 1 2 CDO CBO CBD S S S= = ， 所以 1 1 1 2 2 2 AOC ADO CDO ABD CBD ABC S S S S S S= + = + = ，故 C 正确； 对于 D：平面内 ABC及一点O满足 | | | | AO AB AO AC AB AC   = ，可得 ( ) 0 | | | | AB AC AO AB AC  − = ，所以O在 CAB 的平分线上， | | | | CO CA CO CB CA CB   = ，可得 ( ) 0 | | | | CA CB CO CA CB  − = ，所以O在 ACB 的平分线上， 则点O是 ABC的内心，故 D 正确． 故选：BCD 12． 3 1   , 8 2       【分析】建立坐标系，写出 ,MC MD的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算即可. 答案第 6 页，共 12 页 【详解】解：以O为坐标原点，OA 所在直线为 x轴建立直角坐标系，则 1 3 ( , ) 2 2 M ， 设  0 1，OD x=  ，则 3( , ), (1 ,0) 2 2 x D x C x− − ， 因此 2 1 1 3 3 3 1 3 1 ( )( ) ( )( ) ( 1) [ , ] 2 2 2 2 2 2 2 8 2 x MC MD x x x x = − − − + − − = − +  . 故答案为： 3 1 , 8 2       . 13． 3 17 7 57 ( , ) 4 4 + + 【分析】由已知式消去边b，整理成 2 22 3 cos 4 c a ac B ac − − = ，利用角 B 的范围求得 2 22 3 4 c a ac ac − − 的范围， 设 0 c t a =  ，将其整理成关于 t的一元二次不等式组，解之即得 t 的范围，最后由正弦定理即得.. 【详解】由 22 3 ( )b a a c= + 和余弦定理可得， 2 22( 2 cos ) 3 ( )a c ac B a a c+ − = + , 整理得， 2 22 3 1 1 3 cos 4 2 4 4 c a ac c a B ac a c − − = =  −  − ， 因 ABC是锐角三角形，则 π 0 2 B  , 0 cos 1B  ，即得， 1 1 3 0 1 2 4 4 c a a c   −  −  ， 设 0 c t a =  ，则得， 1 1 1 3 0 1 2 4 4 t t   −  −  ，即 20 2 3 1 4t t t − −  ， 即 2 2 2 7 1 0, 2 3 1 0 ① ，② t t t t − −   − −  ，由①得， 7 57 7 57 4 4 t − +   ，由②得， 3 17 4 t −  或 3 17 4 t +  ， 又 0t  ，综上可得， 3 17 7 57 ( , ) 4 4 t + +  ， 由正弦定理， sin sin C c t A a = = ，故得 sin sin C A 的取值范围为 3 17 7 57 ( , ) 4 4 + + . 故答案为： 3 17 7 57 ( , ) 4 4 + + . 【点睛】思路点睛：本题解题主要从待求式考虑，将已知式中的边b 通过余弦定理转化为 ,a c 和cos B的 关系式，因是锐角三角形，故可由cos B的值域得到与待求式有关的不等式组，求解即得. 14．3 7 答案第 7 页，共 12 页 【分析】一方面有 1 sin 22 1 3 sin 2 △ △ ABD ADC AD BD ADB S BD c S DC b AD DC ADC   = = =   ，另一方面 ( ) ( ) ( ) 1 sin BAD sin BAD sin BAD2 1 sin 120 BAD sin 120 BAD sin 120 BAD 2 △ △ ABD ADC AD AB S AB c S AC b AD AC      = = = − −   − 由此即可算出 BAD 的正弦值，结合2 3 14 3c b+ = 以及三角形面积公式即可求解. 【详解】如下图所示： 一方面：由3 2b BD c CD =  ，得 1 sin 2 22, 13 3 sin 2 △ △ ABD ADC AD BD ADB SBD c BD c CD b S DC b AD DC ADC   = = = =   ． 另一方面：设 ( )0 120BAD   =    ，则 120DAC  = − ，由 ( ) ( ) 1 sin sin2 1 sin 120 sin 120 2 △ △ ABD ADC AD AB S c S b AD AC      = = −   − .. 结合以上两方面得 ( )3sin 2sin 120 = − ，整理得 3 tan 2  = ，则 ( ) 21 3 21 sin ,sin 120 7 14  = − = ， 且注意到 2 3 14 3c b+ = ，即 3 7 3 2 b c + = ，所以 ABC的面积为 ( ) ( ) 1 1 1 1 sin sin 120 2 sin 2 sin 120 2 2 2 2 △ABC S AD AB AD AC c b   =   +   − =  +  − 21 3 21 21 3 3 7 7 14 7 2 c b c b   = + = + =    ． 故答案为：3 7 . 【点睛】关键点点睛:本题的关键在于发现 1 sin 2 1 sin 2 △ △ ABD ADC AD BD ADB S BD S DC AD DC ADC   = =   以及 ( ) ( ) 1 sin BAD sin BAD2 1 sin 120 BAD sin 120 BAD 2 △ △ ABD ADC AD AB S c S b AD AC     = = −   − ，， 答案第 8 页，共 12 页 由此找到转换已知条件的桥梁，进而顺利求解. 15．(1) 1a = 或 6a = . (2) 2a = − (3) ( ) ( ), 2 6,a − − + 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由 Rz ，得 2 7 6 0a a− + = ， 解得 1a = 或 6a = . （2）由 z 是纯虚数，得 2 2 2 0, 7 6 0. a a a a + − = − +  解得 2 1 1 6 或 且 a a a a = − =    ， 所以 2a = − . （3）由 z 对应的点在第一象限，得 2 2 2 0 7 6 0 ，a a a a + −  − +  . 解得 ( ) ( ), 2 1,a   − −  + 且 ( ) ( ),1 6,a −  + 所以 a的取值范围为 ( ) ( ), 2 6,a − − + 16．(1)120 (2) 2 3 2− 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理得到 2 2 2b a c ac= + + ，结合余弦定理得到 1 cos 2 B = − ，即可求解； （2）由（1）求得 15C = ，结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：因为 ( ) ( )2 sin 2 sin 2 sinb B a c A c a C= + + + ， 由正弦定理得 ( ) ( )2 2 2b b a c a c a c = +  + +  ，可得 2 2 2b a c ac= + + ， 由余弦定理得 2 2 2 1 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac + − = = − = − ， 又因为0 180B   ，所以 120B = . （2）解：由（1）得 120B = ，因为 45A = ，可得 15C = ， 由正弦定理得 sin sin a c A C = ，可得 4 sin 45 sin15 c = ， 而 2 3 2 1 6 2 sin15 sin(45 30 ) 2 2 2 2 4 −  = −  =  −  = ， 答案第 9 页，共 12 页 所以 6 2 2 4 2 3 2 4 2 c − =   = − . 17．(1) πT = ； π π [ π, π], Z 3 6 k k k− + +  (2) 3 2 2 6 − (3) 3 ( , 3] 2 【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，即可根据正弦型函数 的性质求其周期和递增区间； （2）由条件推得 π 2 sin( ) 3 3 2  + = − ，根据角的范围求出 π 1 cos( ) 3 3  + = − ，利用拆角变换即可求出sin 的值； （3）由 ( ) 1 2 A f = 及角的范围求得 π 3 A = ，利用三角形内角和，将所求式用B 的三角函数表示，通过三 角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【详解】（1） ( ) π π sin( )sin( ) 3 sin cos 4 4 f x x x x x= + − + π π sin( )cos( ) 3 sin cos 4 4 x x x x= + + + 1 π 3 sin( 2 ) sin 2 2 2 2 x x= + + 3 1 sin 2 cos 2 2 2 x x= + π sin(2 ) 6 x= + ， 函数 ( )f x 的最小正周期为 2π π 2 T = = 由 π π π 2 π 2 2 π, Z 2 6 2 k x k k− +  +  +  ，可得 π π π π, Z 3 6 k x k k− +   +  ， 故函数 ( )f x 的单调增区间为 π π [ π, π], Z 3 6 k k k− + +  . （2）由（1）已得 π ( ) sin(2 ) 6 f x x= + ，则 π π π 2 ( ) sin[2( ) ] sin( ) 12 2 12 2 3 3 π 2 6 f   + = + + = + = − ， 因 5π π 6   ，则 7π π 4π 6 3 3  +  ，故 2 2 π π 2 1 cos( ) 1 sin ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 2  + = − − + = − − − = − ， 则 π π 1 π 3 π sin sin( ) sin( ) cos( ) 3 3 2 3 2 3    = + − = + − + 答案第 10 页，共 12 页 1 2 3 1 3 2 2 ( ) ( ) 2 3 2 3 6 2 − =  − −  − = . （3）在 ABC中， π ( ) sin( ) 1 2 6 A f A= + = ， 因 0 πA  ，可得 π π 7π 6 6 6 A +  ， 故 π π 6 2 A+ = ，解得 π 3 A = ，则 2π π ( ) 3 C A B B= − + = − ， 故 2π 3 3 π sin sin sin sin( ) sin cos 3 sin( ) 3 2 2 6 B C B B B B B+ = + − = + = + ， 因 2π 0 3 B  ，则 π π 5π 6 6 6 B +  ，故 1 π sin( ) 1 2 6 B +  ， 则 3 sin sin 3 2 B C +  ，即 sin sinB C+ 的取值范围为 3 ( , 3] 2 . 18．(1) π 4 C = (2)0 (3) ( )2 2,3 3+ + 【分析】（1）利用正弦定理以及 ( )sin sinC A B= + 化简，得 2A B= ，即可求解； （2）设CD x= ，由角平分线定理得 2c b= ，在等腰 ABD△ 中求出cos B，再在 ABC中利用余弦定理 得 cos B，建立方程，得出 2 23b x= ，即可求得 B ，进而计算C ； （3）利用正弦定理以及 2A B= ，将 a c+ 表示为关于角 B 的函数关系式，再根据锐角三角形求出角B 的 范围，即可求函数值域. 【详解】（1）由 2 cosb A b c+ = 得 2 cosb c b A= − ， 由正弦定理得 sin sin 2sin cosB C B A= − ， 即 ( )sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cosB A B B A A B A B B A= + − = + − ， 得 ( )sin sin cos cos sin sinB A B A B A B= − = − ， 因为 A， B 为三角形内角，所以 B A B= − 或 πB A B+ − = （舍去）， 所以 2A B= ， 因 π 4 B = ，则 π 4 C = ． （2）由（1）得 2A B= ， AD 平分 BAC ，则 BAD DAC B  = = ， 设CD x= ，因 2CD DB= ，则 2BD DA x= = ， 因为 AD平分 BAC ，则由角平分线定理得 : : 2AB AC BD DC= = ， 则 , 2AC b AB b= = ， 答案第 11 页，共 12 页 在等腰 ABD△ 中， cos 2 b B x = ，在 ABC中由余弦定理得， 2 2 24 9 cos 12 b x b B bx + − = ， 由 2 2 24 9 2 12 b b x b x bx + − = ，得 2 23b x= ， 3 cos 2 B = ， 又因为 ( )0,πB ，则 π 6 B = ， 2 π π 3C B= − = ，所以cos 0C = ． （3）在 ABC中由正弦定理得 1 sin sin sin a c A B C = = ， 得 sin sin A a B = ， sin sin C c B = ，所以 sin sin sin A C a c B + + = ， 又因为 2A B= ， 所以 ( )2sin cos sin 2sin2 sin3 sin sin B B B BB B a c B B + ++ + = = 2 2 2sin cos sin cos2 cos sin2 2cos cos2 2cos 4cos 2cos 1 sin B B B B B B B B B B B B + + = = + + = + − 因为 ABC为锐角三角形，则 π 0, 2 A       ， π 0, 2 C       且 2A B= ， 则 π 2 0, 2 B       ， π π 3 0, 2 B   −     ，解得 π π , 6 4 B       ，则 2 3 cos , 2 2 B        ， 所以 ( )24cos 2cos 1 1 2,2 3a c B B+ = + −  + + ， 所以 ABC周长的取值范围为 ( )2 2,3 3+ + ． 19．(1) π 2 A = ； (2) 2 3 3 − ； (3) 2 2 3+ . 【分析】（1）由已知应用向量数量积的运算律有4 0AB AC = ，即可得； （2）由（1）及题设的定义知 120APB BPC APC  = = = ，设 PA x= ， PB y= ， PC z= ，应用 等面积法有 4 3 3 xy yz xz+ + = ，应用向量数量积的定义求解； （3）由题设 120APB BPC CPA = = = ，设 PB m PA= ， PC n PA= ， PA x= ， 0m  ， 0n  ， 答案第 12 页，共 12 页 0x  ，由已知得m n t+ = ，再应用余弦定理及 2 2 2 AC AB BC+ = 得 2m n mn+ + = ，最后应用基本不等 式求最值. 【详解】（1） AB AC AB AC+ = − ，则 2 2 AB AC AB AC+ = − ， 2 2 2 2 2 2AB AB AC AC AB AB AC AC +  + = −  + ， 4 0AB AC AB AC  =  ⊥ ，故 π 2 A = . （2）由（1）知 π 2 A = ，所以 ABC的三个角都小于120 ， 由费马点定义知 120APB BPC APC  = = = ， 设 PA x= ， PB y= ， PC z= ，由 APB BPC APC ABCS S S S+ + = ， 整理得 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 xy yz xz +  +  =  ，整理得 4 3 3 xy yz xz+ + = ， 则 1 1 1 1 4 3 2 3 2 2 2 2 3 3 PA PB PB PC PA PC xy yz xz        +  +  =  − +  − +  − = −  = −            . （3）因为点 P 为 ABC的费马点，所以 120APB BPC CPA = = = ， 设 PB m PA= ， PC n PA= ， PA x= ， 0m  ， 0n  ， 0x  ， 由 PB PC t PA+ = ，得m n t+ = ． 由余弦定理得 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2π 2 cos 1 3 AB x m x mx m m x= + − = + + ， ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2π 2 cos 1 3 AC x n x nx n n x= + − = + + ， ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2π 2 cos 3 BC m x n x mnx m n mn x= + − = + + ， 由 2 2 2 AC AB BC+ = ，得 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 1n n x m m x m n mm x+ + + + + = + + ， 2m n mn+ + = ，又 0m  ， 0n  ，所以 2 2 2 m n m n mn +  + + =      ， 当且仅当m n= ，结合 2m n mn+ + = ，解得 1 3m n= = + 时，等号成立， 又m n t+ = ，所以 2 4 8 0t t− −  ，解得 2 2 3t  + 或 2 2 3t  − （舍去）， 故 t的最小值为 2 2 3+ ． 沈阳市回民中学2024级高一下学期期中质量监测 数 学 出题人:高一数学组 审题人:高一数学组 试卷满分:150分 时间:120分钟 一、单选题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 设2=1-2i,则复数三的虚部为( ) B. 2 C. -2i A.-2 D. 2i 2. 已知向量ā、的夹角为,-2,=1,则13+-( _ B. 42 C. 5 A. 4 D.52 3. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosA=2c-a, sinC C 的最大值是( _ B.2 C.3 A.1 D.4 4. 知向量ā=(2,1),6=(1,-2),若(+a)1(ā+),则( A. -2-0 B.+2=0 C. 2+5-0 D. 2-5-0 5.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2BO=BA+BC BO BC|,则AB在AC上的投影向量为( _ 则cos2(a-)=( _ A.7 C.-1 B. D7 n{20)-(0>0)在(0.2)上恰有1个零考点,则的值可能是( 7.若函数/(x)-2cos-cox+sin 。 A.1 B. C. 2 D.4 (/(x),/(x)>g(x) 则下列说 (g(x),/(x)<g(x)' 法错误的是( ) A. h(x)是以2π为最小正周期的周期函数 B. h(x)关于直线x- 答案第1页,共4页 二、多选题:本小题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 全部选对的得6分,有选错的得0分若只有2个正确选项,每选对一个得3分;若只有3个正确选项 每选对一个得2分 9. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2b=c+2acosC,a=3,O为aABC的外接圆的圆 心,则下列结论正确的是( ) B. aABC的外接圆的半径为2 C. BO.BC-3 10. 在&ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=2,cosB= 则A的值可 以是( _ C.2 B. l。 D. 11.下列结论正确的是() A.若OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m.-3-m), ABC为锐角,则实数m的取值范围是 B. 已知ā,是单位向量,a=0,若向量满足-ā-引=1,则l的最大值为、2+1 2 40.A40.AC ,效 (#0 Co.CCO.CB D. 点O在ABC所在的平面内,有一 AB 则点O是ABC的内心 三、填空题:本小题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在答题卡中的横线上. 12. 如图,扇形AOB的狐的中点为M,动点C,D分别在线段OA,OB上,且OC=BD,若OA=1 乙AOB=120”,则MC:MD的取值范围是_. B _. 13.在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2b?=3a(a+c),则 的取值范围为___. 14.设ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 BAC=120*,2c+3b=143,点D在边BC上 AD=2,且3b·BD-2c.CD,则ABC的面积为 答案第2页,共4页 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数z=(a+a-2)+(a-7a+6)i,其中aeR (1)若zeR,求a的值 (2)若z是纯虚数,求a的值; (3)若z对应的点在第一象限,求a的取值范围 16. ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,2bsinB=(2a+c)sinA+(2c+a)sinC, (1)求乙B的大小; (2)若a=4,A=45,求c的值 17. 已知函数/(x)-sin(+x)sn^-x)+3sinxcosx. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间; (3)在aABC中,若f()=1,求sinB+sinC的取值范围. 答案第3页,共4页 18. 在。ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bcosA+b=c. 求C的值; (2)若2CD-DB,AD平分BAC,求cosC的值; (3)若ABC为锐角三角形,且b=1,求ABC周长的取值范围. 19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是:“在一个三角形内求作 一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小,”意大利数学家托里拆利给出了解答:当AABC的 三个内角均小于120-时,使得乙AOB=BOC=/COA=120-的点O即为费马点;当△ABC有一个内角 大于或等于120-时,最大内角的顶点为费马点.已知aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c AB-AC-AB+AC. (1)求A; (2)若b=1,c-2,且点P为aABC的费马点,求PA.PB+PB.PC+PC.PA; (3)设点P为aABC的费马点,PB+PC=tPA,求1的最小值. 答案第4页,共4页