精品解析：海南省省直辖县级行政单位陵水黎族自治县陵水高中2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年海南高二年级阶段性教学检测（三） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：选择性必修第二册整本书. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（ ） A. B. 25 C. D. 50 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 设公比小于零的等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 243 B. 216 C. 81 D. 27 8. 已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若一条自来水管道中流过的水量（单位：）与时间（单位：）的函数关系为.水流量的大小为单位时间内流过的水的体积，则下列说法正确的是（ ） A. 在这段时间里，平均水流量为 B. 在这段时间里，平均水流量为 C. 在时的瞬时水流量为 D. 每经过，水管中流过的水量为 10. 已知各项均为正数的等比数列的前项和与前项积分别为，，公比为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列满足（，且），，则______. 13. 若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是_____. 14. 已知数列满足，，数列满足，若，都有，则的取值范围为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值. 17. 已知等比数列的前项和为，，且是与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数，. （1）证明：方程有唯一解； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 19. 数列中，若对任意的，，则称数列具有性质. （1）分别判断数列3，4，6和数列2，3，4，6，8是否具有性质，并说明理由； （2）数列具有性质，且. （i）求数列的通项公式； （ii）记，的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年海南高二年级阶段性教学检测（三） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：选择性必修第二册整本书. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法得到数列的通项公式即可. 【详解】对于A，，与题意不符，故A错误， 对于B，，， ，，，故B正确， 对于C，，与题意不符，故C错误， 对于D，，与题意不符，故D错误. 故选：B 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列的性质，根据等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】. 故选：A 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求； 【详解】由得， 则斜率，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的求导公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 由于，则，故， 故， 故选：D 5. 已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（ ） A. B. 25 C. D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】先由递推关系式得到数列的周期为2，再利用并项求和法计算前100项的和即可. 【详解】由题意得，，，，，…，所以数列的周期为2， 所以数列的前100项的和为． 故选：B 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到在时恒成立，再利用分离参数法即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以在时恒成立， 即， 记，由，则， 故在上单调递增，故， 故，所以实数的最大值是． 故选：C 7. 设公比小于零的等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 243 B. 216 C. 81 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质及等比中项的性质即可求解. 【详解】设数列的公比为，因为，且，所以，否则， 所以，，成等比数列且公比为，即， 即，解得或， 当时，由，，成等比数列，其公比为，舍去 所以，所以， 所以. 故选：A 8. 已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即，所以，所以不等式的解集为． 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若一条自来水管道中流过的水量（单位：）与时间（单位：）的函数关系为.水流量的大小为单位时间内流过的水的体积，则下列说法正确的是（ ） A. 在这段时间里，平均水流量为 B. 在这段时间里，平均水流量为 C. 在时的瞬时水流量为 D. 每经过，水管中流过的水量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平均变化率的定义可判断AB选项；求出瞬时变化率，结合瞬时变化率的概念可判断C选项；利用函数求值可判断D选项. 【详解】函数在上的平均变化率为，故A错误，B正确； 由得，故当时，， 即在时的瞬时水流量为，故C正确； 每经过，水管中流过的水量为，故D正确． 故选：BCD 10. 已知各项均为正数的等比数列的前项和与前项积分别为，，公比为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据是正项等比数列，得，当，时，结合条件分析得到与矛盾，所以，故A、C正确，B错误；因为，，故取特殊值，此时，故D错误. 【详解】由是正项等比数列，所以， 若，则，不符合题意； 若，由，得，,不符合题意； 所以，故A正确； 由，得，又，所以，，故B错误，C正确； 取，则，此时，故D错误； 故选：AC 11. 已知数列满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由得，结合即可判断A，变形得判断B，将变为，然后根据及单调性求解范围判断C，根据，利用累加法得，根据，利用累加法得，即可求得，即可判断D. 【详解】因为，所以，又，所以，故A正确； 对取倒数得， 所以，故B错误； 因为，所以，因为，所以，又，所以与同号，所以， 所以，所以，故C正确； 由B可知，因为，所以，所以当时，， 累加得，即，所以， 又因为，所以，所以当时，，累加得，即，所以，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列满足（，且），，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合累加法，由裂项相消法化简求解即可. 【详解】因为（，且），， 所以； 经验证，时，，符合条件. 故答案为：. 13. 若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造同构函数，求导得到其在上单调递增，则原不等式可转化为，进而，再分离参数求，设，对其求导得到其最大值，从而得到的取值范围. 【详解】设函数， 根据求导公式可得：， 时，，，所以，在上单调递增， ，且在上单调递增， 在有解，即在有解， 设，则， 令， ， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值，， ，由于是正数，所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，数列满足，若，都有，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法结合等比数列的定义得到，再结合建立不等式，进而对的奇偶性进行讨论，使用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以，即， 得到，而，则， 故是以3为首项，3为公比的等比数列， 可得，即， 因为，所以， 则， 因为，所以， 则，即， 得到，且令， 我们对的取值进行分类讨论，易得， 当为奇数时，，当为偶数时，， 当为奇数时，可得，此时令， 由一次函数性质得在上单调递增，故，此时得到， 当为偶数时，可得，此时， 令，由一次函数性质得在上单调递减， 故，此时得到，综上可得，. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 因为，所以，即， 又，所以数列是以1为首项，公差为2的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）结合数列前n项和的性质得，然后利用等差数列的定义证明即可. （2）利用等差数列定义求得，进而得，最后利用等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值. 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为， 当时，的递增区间为，，递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，对进行讨论即可求解， （2）根据函数的单调性可得极值，即可求解，计算极值以及端点处的函数值，比较即可作答. 【小问1详解】 由题意得, 当时，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得或， 令，得， 故在和单调递增，在单调递减， 综上可得时，的单调递增区间为， 当时，的递增区间为，，递减区间为 【小问2详解】 由（1）知，时，函数才有极值， ， ， 因此，解得， 因此， ，， ， 因此. 17. 已知等比数列的前项和为，，且是与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分析知，然后利用等比数列的求和公式列式求得，再利用等差中项性质列式求得，即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 当时，，即，解得，显然不合题意，故， 因为，所以，所以，解得， 又是与的等差中项，所以，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 所以， ，则. 18. 已知函数，. （1）证明：方程有唯一解； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 由得， 因为，所以，所以在上单调递减， 又，所以函数只有一个零点， 即方程有唯一解，且为1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合特殊点函数值即可证明. （2）将问题转化为恒成立，参变分离，记，利用导数求出的最大值，即可求解. （3）将函数有两个零点转化为有两个解，进而与函数有两个交点，利用导数研究函数的单调性，求其最值，作出图象数形结合即可求得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 则恒成立等价于恒成立，所以在上恒成立， 记，则，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故得， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 若有两个零点，等价于有两个解， 也等价于直线与函数有两个交点. 则，记，， 由反比例函数和对数函数的单调性易知在上单调递减，又， 所以当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增， 当时，，当时，，则， 作出函数的图象如下： 由图可知：直线与函数有两个交点等价于， 故实数的取值范围为. 19. 数列中，若对任意的，，则称数列具有性质. （1）分别判断数列3，4，6和数列2，3，4，6，8是否具有性质，并说明理由； （2）数列具有性质，且. （i）求数列的通项公式； （ii）记，的前项和为，证明：. 【答案】（1）不具有，具有；理由如下： 对于数列3，4，6，则，注意到， 则数列3，4，6不具有性质K； 对于数列2，3，4，6，8，则，注意到， 则数列2，3，4，6，8具有性质K； （2）（i）； （ii）因，，则当时， 则 . 注意到 ， ， 则， 则当时，； 当时， . 注意到 ， 结合， 可得当时，； 综上可得，. 【解析】 【分析】（1）由题意验证是否满足性质K可完成判断； （2）（i）由题可得，然后结合题意及累加法可得通项公式；（ii）由（i）可得，然后由可完成证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由题可得，， 则，又， 则，， 累加可得； 因，则， 则， 又，，则， 则， 累加可得. 综上，； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $