精品解析：北京市第六十六中学2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试题

北京市第六十六中学2024—2025学年第二学期期中质量检测 高二数学 一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 在数列中， 则 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 2. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（ ） A. 无极大值点、有四个极小值点 B. 有三个极大值点、一个极小值点 C. 有两个极大值点、两个极小值点 D. 有四个极大值点、无极小值点 5. 已知函数的图像在点处的切线与轴平行,则点的坐标是 A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 盒中有个白球，个红球，从中任取个球，则恰好取出个红球的概率是(　　) A. B. C. D. 8. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 14 9. 已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 设函数定义域为D，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 11. 已知，则____________. 12. 甲乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是__________. 13. 在各项均为正数的等比数列中， 则 ______. 14. 人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化______乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化______乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 15. 已知无穷数列满足.给出下列四个结论： ①存在，使得集合中有无穷多个元素； ②存在，使得集合中有有限个元素； ③对于任意的，集合中至多有一个元素； ④当时，集合. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题(本题共6道小题，共85分) 16. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）求 的前n项和. 17. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生 男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 （1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； （2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明） 18. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值和最小值. 19. 发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图(单位：百辆)： 在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q. （1）从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过的概率； （2）现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过的年份.记抽取的次数为，求的分布列和数学期望： （3）记2020年至 2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系.(结论不要求证明) 20. 已知函数 ，其中为常数，且. （1）当时， 求曲线在点处的切线的斜率； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 21. 已知数列的前n项和为，且. （1）求出，并求出与的递推关系； （2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （3）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第六十六中学2024—2025学年第二学期期中质量检测 高二数学 一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 在数列中， 则 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的递推式找到规律即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即数列的奇数项为1，偶数项为2，所以. 故选：B 2. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率的计算公式即可得出． 【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示四月份下雨， 根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率． 故选：A 3. 下列计算错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：C 4. 函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（ ） A. 无极大值点、有四个极小值点 B. 有三个极大值点、一个极小值点 C. 有两个极大值点、两个极小值点 D. 有四个极大值点、无极小值点 【答案】C 【解析】 【分析】设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案. 【详解】解：设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为， 当或或时，， 当或时，， 所以函数在，和上递增， 在和上递减， 所以函数的极小值点为，极大值点为， 所以函数有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C． 5. 已知函数的图像在点处的切线与轴平行,则点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设,再对函数求导得由已知得，即可求出切点坐标. 【详解】设,由题得 所以, ∴. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是. 6. 已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，项的正负得出结论． 【详解】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以该数列单调递减，且, 所以当时，取得最大值． 故选：A． 7. 盒中有个白球，个红球，从中任取个球，则恰好取出个红球的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由超几何分布概率公式可直接求得结果. 【详解】设取出红球的个数为，则，. 故选：C. 8. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和的性质列式求解. 【详解】正数的等比数列的前n项和为，则成等比数列， 则，于是， 所以. 故选：D 9. 已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，则，不是递增数列； 若，则，则，不是递增数列； 若，则，则，不是递增数列； 若，则，且存在，此时，不是递增数列； 所以若要使为递增数列，则必有，必要性成立； 当时，，此时不是递增数列，所以充分性不成立. 所以“且”是“为递增数列”的必要而不充分条件. 10. 设函数定义域为D，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，可得，则在定义域内正负号不变时满足性质，若有唯一变号零点时不满足性质，则通过计算即可判断. 【详解】可化为， 令， 则，， 若在定义域内正负号不变，那么是的变号零点，则在的两侧的单调性不一致，因此满足性质； 若有唯一变号零点，那么取，则在定义域内的正负号不变，进而函数在定义域内单调，因此不满足性质. 对于A，，则，所以满足性质； 对于B，，则有唯一变号零点0，所以不满足性质； 对于C，，则，所以满足性质； 对于D，，则，所以满足性质. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题. 二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 11. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的导函数，把带入即可. 【详解】，所以. 故答案为： 【点睛】要注意复合函数求导法则. 12. 甲乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出两人都没击中的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲、乙两人各射击一次，都没击中的概率为， 因此，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 13. 在各项均为正数的等比数列中， 则 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】由等比中项性质求得，结合题设求出公比，即可得解. 【详解】因是正项等比数列，设公比为，则， 由，可得， 又，则公比， 所以. 故答案为：2 14. 人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化______乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化______乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【答案】 ①. 大于 ②. 等于 【解析】 【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢，即可得解. 【详解】在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大， 所以甲的心率变化大于乙的心率变化； 在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲的心率变化等于乙的心率变化. 故答案为：大于；等于 15. 已知无穷数列满足.给出下列四个结论： ①存在，使得集合中有无穷多个元素； ②存在，使得集合中有有限个元素； ③对于任意的，集合中至多有一个元素； ④当时，集合. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】通过分析数列的递推公式，结合逻辑推理，数学归纳等对不同的结论分别进行讨论，判断其正确性. 【详解】分析结论①，假设存在使得集合中有无穷多个元素. 当时，.那么， 因为，所以，则. 这意味着一旦，后面的项不可能再无限次地小于，所以①错误. 分析结论②，假设存在使得集合中有有限个元素. 由，当时，，. 如果，那么数列从第二项起都大于，即集合中只有有限个元素，所以②正确. 分析结论③，假设时，则. ，因为，所以，. 所以对于任意的，集合中至多有一个元素，③正确. 分析结论④，当时，，，. 通过计算发现恒成立. 用数学归纳法证明： 先证明， 当时，， 假设当时，成立，则， 所以成立， 再证明 当时，，，成立. 假设当时，成立. 则，所以. 所以当时也成立， 所以恒成立， 所以当时，集合，④正确. 故正确结论的序号是②③④. 故答案为：②③④ 三、解答题(本题共6道小题，共85分) 16. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）求 的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件结合等差数列的通项公式基本量运算和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，由分组求和法可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 由题意可知，，可得，， 所以，． 【小问2详解】 结合（1）可得： . 17. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生 男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 （1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； （2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1）; （2） X的分布列为 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3） 【解析】 【分析】（1）结合概率乘法的计算公式即可求出结果； （2）求出X的可能取值，进而求出对应的概率，即可求出结果； （3）根据平均数的概念即可得出结论. 【小问1详解】 因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06， 则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85％； 【小问2详解】 该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.23+0.06+0.01=0.3， X的可能取值为0，1，2， 则, , , 故X的分布列为 0 1 2 0.49 0.42 0.09 , 【小问3详解】 由题意，男性平均受教育年限为， 女性平均受教育年限为， 则. 18. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的定义域，然后求导，解不等式，得到单调区间； （3）根据（2）可得函数的单调性求出极值和端点值，比较后确定最值. 【小问1详解】 因为，则，， 所以，所以函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为R，且. 由，解得或，所以的单调递增区间为，； 由，解得，所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，，，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 19. 发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图(单位：百辆)： 在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q. （1）从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过的概率； （2）现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过的年份.记抽取的次数为，求的分布列和数学期望： （3）记2020年至 2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系.(结论不要求证明) 【答案】（1） （2） 的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）求出各年的值，利用古典概型概率公式求结论； （2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望； （3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可. 【小问1详解】 设从年至年这年中随机抽取1年，且该年的值超过为事件， 由图表知，年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 所以在年至年这年中，有且仅有年至年这年的值超过， 所以． 【小问2详解】 由图表知，在年至年这年中，值超过的有年， 所以随机变量的所有可能取值为，，． 则，，． 所以的分布列为： 故的数学期望． 【小问3详解】 从年至年这年新能源汽车销量数据的平均数为， 所以从年至年这年新能源汽车销量数据的方差 ， 所以 从年至年这年纯电动汽车销量数据的平均数为， 从年至年这年纯电动汽车销量数据的方差 ， 所以， 所以. 20. 已知函数 ，其中为常数，且. （1）当时， 求曲线在点处的切线的斜率； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当 时，函数的单调增区间为 ； 当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后根据导数的几何意义求解切线方程，即可求解斜率； （2）求出导函数，按照和分类讨论，解导数不等式即可求解单调区间； （3）根据（2）的单调减区间，利用区间关系列不等式求解即可得解. 【小问1详解】 当 时，函数，令得，即切点坐标为 ， 又 则 即切线斜率 ， 故切线方程为 ，即， 则曲线在点处的切线的斜率为2. 【小问2详解】 函数的定义域为 ，， ①当 时， 恒成立，故函数的单调增区间为 ； ②当 时， 令 解得 ， ，随x的变化情况如下表: x 0 单调递增 y极大值 单调递减 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述，当 时，函数的单调增区间为 ； 当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 【小问3详解】 因为函数在上单调递减，所以由（2）可知且， 解得 ，所以. 21. 已知数列的前n项和为，且. （1）求出，并求出与的递推关系； （2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （3）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）， （2） 由得， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）令代入已知可求得9，由与的关系可得； （2）由可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式； （3）根据（2）的通项公式得，则恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可. 【小问1详解】 当时，，而， 所以，解得9， 当时，，， 得：，整理得：， 经检验，，满足上式， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意， 由（2）可知：， 所以，所以，令， 则，而， 所以，即数列单调递减， 故，所以，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $