精品解析：山东省德州市优高联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

山东省德州市优高联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 主考学校：禹城综合高中 2025.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷页，第Ⅱ卷页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的计算公式即可求解. 详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 2. 已知数列为等差数列，该数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出等差数列的公差，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为数列为等差数列，且，，则该数列的公差为， 因此，. 故选：A. 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 分析】先求出导函数，再代入求出导函数值. 【详解】，所以， 所以 则. 故选：B. 4. 为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（ ） A. 1.05 B. 1.15 C. 1.25 D. 1.35 【答案】A 【解析】 【分析】先根据回归方程求出时的预报值，再运用残差计算公式计算即可. 【详解】把代入，可得生长高度y的估计值为， 则样本的残差的绝对值为. 故选：A. 5. 在等比数列中，，记，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用等比数列通项公式计算结合乘积即可计算最值. 【详解】等比数列中，， 所以，当，当， ，则的最大值为. 故选：C. 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由可得， 因函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立，故得，解得. 故选：B. 7. 已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列的定义求出数列的通项，再利用累加法求出数列的通项，代值即得. 【详解】因数列是公比为3的等比数列，且， 则数列的首项为，， ， 故. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.75和-0.90，则乙组数据的线性相关性更强 B. 在回归方程中，当变量每增加1个单位时，变量平均增加2个单位 C. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用相关系数的意义进行判断；B选项利用线性回归方程的斜率的意义进行判断；C选项利用相关系数与直线方程的关系进行判断；D选项利用回归直线方程过样本中心点进行求解. 【详解】对于A选项，相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 因为，所以乙组数据的线性相关性更强，故A正确； 对于B选项，回归方程中，斜率2表示当每增加1个单位时，平均增加2个单位，故B正确； 对于C选项，若所有样本点都在直线上，说明完全线性相关，且为正相关， 相关系数应为1，而非0.95，故C错误； 对于D选项，因为， 所以，， 因为回归直线必过样本中心点， 所以将代入线性回归方程中得，， 解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）. A. . B. 数列为等比数列. C. . D. . 【答案】BC 【解析】 【分析】由直接代入得到，再代入得可判断A，构造等比数列，通过递推式变形，发现数列是公比为2的等比数列可判断出B，结合B选项得到的通项公式，从而得到和的通项公式，直接代入通项公式验证CD选项. 【详解】构造等比数列，两边加1得:， 所以数列是首项为，公比为 2的等比数列， 由等比数列通项公式得：，，， 由，首项得，选项A错误； 由可知是公比为2的等比数列，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D错误； 故选：BC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为 B. 若存在，使得，则 C. 当时，无解 D. 若在上不存在极值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用极值的定义，即可求解；对于B，根据条件将问题转化成求的最大值，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，即可求解；对于C，通过取即可求解；对于D，根据条件，转化成在上单调，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，易知其定义域为， 因为，由，得到， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，故选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到，所以， 令，则，令，得到， 当当时，，当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，则，得到，故选项B正确， 对于选项C，当时，，即，得到 又当时，， 所以当时，有解，故选项C错误， 对于选项D，，由题知或恒成立， 即或恒成立， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，所以，即，故选项D正确， 故选：ABD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前n项和分别为，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得. 【详解】由题意可得，， 则. 故答案为： 13. 已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可. 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 14. 已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为______；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为______. 【答案】 ①. 13 ②. 235，257，284 【解析】 【分析】利用给定的递推公式依次计算得解；求出，再借助周期性质求出. 【详解】依题意，， ， 所以当时，使得的最小n为13； 由，得，则或， 若，则；若，则或， 当时，；当时，； 当时，， 由，得，因此数列从第6项起成周期性，周期为3， 于是，当时，； 当时，；当时，， 所以所有可能的取值为235，257，284. 故答案为：13；235，257，284 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项与前n项和的基本量运算，列方程，求出首项与公差，即得数列通项； （2）利用错位相减法求即可. 【小问1详解】 设数列的公差为， 由题意，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以的前项和 所以 ①－②得， 故. 16. 某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广. （1）该公司从管理层到基层员工中随机抽取了120名进行调研，现将120名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据： 支持 不支持 合计 高学历 30 低学历 40 合计 60 120 请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？ （2）通过对该公司2015年至2024年每年的研发投入（单位：百万元）与年利润增量y（单位：百万元）的数据进行分析得到回归模型为：，且有. 请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为6百万元时的年利润增量．参考公式及参考数据，其中，临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 . 【答案】（1）列联表见解析，没有 （2），（百万元） 【解析】 【分析】（1）首先完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）首先求出，，即可求出，，从而求出回归直线方程，再代入计算可得. 【小问1详解】 由题完成列联表得： 支持 不支持 合计 高学历 30 20 50 低学历 30 40 70 合计 60 60 120 由表中的数据可得， 所以没有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关． 【小问2详解】 由， 所以，， 所以， 则， 所以关于的回归方程，当时，， 所以当投资金额为6百万元时年利润增量的预测值为（百万元）. 17. 已知在时有极值0. （1）求常数a，b的值； （2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）利用函数的极值点的意义，列出方程组，求得，回代入导函数，判断函数的单调性，检验极值点即得； （2）利用导数，求得函数在区间上的最值，根据题意，须使，即在上恒成立，即得满足条件的最大整数. 【小问1详解】 由可得， 因在时有极值0，可得，即， 解得：，（因，故舍去）或， 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极小值，符合题意. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， ， 1 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 且， 如果存在使得成立， 等价于．而. 故得， 因时，， 所以，即满足条件的最大整数为20． 18. 已知数列和满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作差即可求解，同除以得为等差数列，即可求解，或者利用累加法求解， （2）利用裂项求和可得，即可求解. 【小问1详解】 ① 当时，，当时，② ①－②，可得，所以 又满足，故. 对于数列 法一 由数列，同除得 ， 即， 又 故数列是首项为2的常数列，故通项公式为. 法二 ， 累加得：，又所以 当时，符合上式.所以 【小问2详解】 令， 所以 因为，故 19. 已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”. （1）若是函数关于的“N数列”，求的值； （2）若是函数关于的“N数列”，记. （i）证明数列是等比数列； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出斜率，再点斜式得出直线方程； （2）（i）先求出切线方程，再结合等比数列定义计算证明；（ii）由（ⅰ）可知，则，构造函数，求出导函数得出函数单调性证明. 【小问1详解】 ，曲线在点处的切线斜率为，又， 则在处的切线方程为， 令，则，所以. 【小问2详解】 （i）由题可知，则在处的切线方程为， 令，则，所以. 在处的切线方程为 令，则，所以. 所以 即 又，则，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）可知，则， 要证，即证：. 因为，即证：， 即证： 构造函数，则 故在单调递增，对任意， 即，取，则有， 故只需证：， 即需证：， 构造函数，则， 故在单调递减，则， 即对任意，取， 即有， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省德州市优高联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 主考学校：禹城综合高中 2025.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷页，第Ⅱ卷页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 下列导数运算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等差数列，该数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A B. C. 2 D. 3 4. 为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（ ） A. 1.05 B. 1.15 C. 1.25 D. 1.35 5. 在等比数列中，，记，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.75和-0.90，则乙组数据的线性相关性更强 B. 在回归方程中，当变量每增加1个单位时，变量平均增加2个单位 C. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95 D. 对具有线性相关关系变量x，y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则 10. 已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）. A. . B. 数列为等比数列. C. . D. . 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为 B. 若存在，使得，则 C. 当时，无解 D. 若在上不存在极值，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前n项和分别为，且，则______. 13. 已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________. 14. 已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为______；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 16. 某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广. （1）该公司从管理层到基层员工中随机抽取了120名进行调研，现将120名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据： 支持 不支持 合计 高学历 30 低学历 40 合计 60 120 请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？ （2）通过对该公司2015年至2024年每年的研发投入（单位：百万元）与年利润增量y（单位：百万元）的数据进行分析得到回归模型为：，且有. 请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为6百万元时的年利润增量．参考公式及参考数据，其中，临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 . 17. 已知在时有极值0. （1）求常数a，b的值； （2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 18. 已知数列和满足. （1）求数列和通项公式； （2）求证：数列的前n项和. 19. 已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”. （1）若是函数关于的“N数列”，求的值； （2）若是函数关于的“N数列”，记. （i）证明数列是等比数列； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$