精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2024-2025学年高二下学期半期考试数学试题

川大附中2024-2025学年下期半期考试试题 高二数学 命题人：鲜何琴 审题人：胡宗祥 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项合题目要求的．） 1. 在等差数列中，，且，，构成等比数列，则公差d等于（ ）． A. B. 0 C. D. 0或 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ） A. B. C. D. 4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发多少升大米？ A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的导数为，则数列的前n项和是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 10. 若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. 满足的最小值为 B. C. D. 时，取得最小值 第Ⅱ卷 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 数列中，若，则数列的通项公式为__________． 13. 若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 14. 已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为________． 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数 (1)求 的值； (2)求函数在区间上的最值 16. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列满足，其中． （1）设，求证：数列是等差数列； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和； （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 18. 已知抛物线的焦点为． （1）若点到抛物线准线的距离是它到焦点距离的倍，求抛物线的方程； （2）点，若线段的中垂线交抛物线于，两点，求三角形面积的最小值． 19. 已知函数， （1）讨论的单调性； （2）当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式． （3）在（2）的条件下，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中2024-2025学年下期半期考试试题 高二数学 命题人：鲜何琴 审题人：胡宗祥 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项合题目要求的．） 1. 在等差数列中，，且，，构成等比数列，则公差d等于（ ）． A. B. 0 C. D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出等式，即可求得答案. 【详解】由题意得： ， 则 ，解得 或 ，符合题意， 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义，求得原式为，求出代入求解即可. 【详解】， 又， ∴． 故选：C. 3. 设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可令，得出，然后通过等差数列的性质得出以及，代入中，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为是等差数列前项和，是等差数列前项和， 所以，， 则，， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前项和公式以及等差中项的应用，若等差数列前项和为，则，当时，，考查化归与转化思想，是中档题. 4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发多少升大米？ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，得到每天分发的大米构成等差数列，由题中数据，得到首项与公差，根据求和公式，即可求出结果. 【详解】记第一天共分发大米为升， 由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为， 因此，前天共分发大米为 升. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，熟记等差数列的定义，以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 6. 设函数的导数为，则数列的前n项和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的导函数，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出，，利用裂项相消法求出的前项和即可． 【详解】， ，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用． 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求参数的取值范围. 【详解】由得， 当在区间上单调递增时，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 对应函数在上单调递减，则，故. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题干条件联想到构造，将待求不等式转化成，再由单调性解不等式即可. 【详解】设，则， 结合题干可知，即在上单调递减， 由，根据定义域限制，， 则，同除可得， 即， 结合在上单调递减和定义域可得：， 即， 则不等式的解集为. 故选：D 二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由与关系可得出数列的通项公式，再对选项逐一判断即可. 【详解】当时，， 当时，由有， 所以， 所以数列时以为首项，2公比的等比数列，故C正确； ，故A正确； 由，故B错误； 因为，所以是等比数列，故D正确. 故选：ACD. 10. 若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【详解】对于A，，， 由得，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”，A正确； 对于B，，， 由得， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”，B正确； 对于C，，， 由得， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”，C错误； 对于D，，， 由得， 令，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”，D正确； 故选：ABD 11. 已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. 满足的最小值为 B. C. D. 时，取得最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得，，，公差，利用等差数列前项和公式以及等差数列的性质可判断A；由可判断B；作差结合可判断C；由的单调性以及的符号即可求出的最小值可判断D，进而可得正确选项. 【详解】由题意知：，，， 选项A中：，，所以满足的最小值为，故选项A正确； 选项B中：，即，故选项B错误； 选项C中：由，可知公差， 则 所以，故选项C正确； 选项D中：当时，，当时，， 所以当时，，；，，当时，， 所以，；当时，， ， 所以，所以当时，取得最小值，故选项D不正确， 故选：AC. 第Ⅱ卷 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 数列中，若，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系得到为常数列，从而可求解. 【详解】因为，所以， 所以数列为常数列，且， 所以. 故答案为:. 13. 若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为存在两个不同的零点，利用即可. 【详解】函数定义域为R， 因函数恰有三个单调区间，则函数有两个极值点， 即在上存在两个不同的零点， 则判别式，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求得函数的导函数，转化问题为对恒成立，即求在时的最小值，令，构造函数，则再将问题转化为求在时的最大值，借助导函数判断的单调性，进而求解. 【详解】由题，， 因为，对恒成立， 则对恒成立， 令， 则对恒成立， 令， 则，令， 则当时，，所以在上单调递增， 又，， ，当，，则，此时单调递减； 当，，则，此时单调递增， 则， 又，代入， 则整数. 故答案为：3 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数 (1)求 的值； (2)求函数在区间上的最值 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 【分析】(Ⅰ)对函数求导，然后利用函数在处取极值可得，再利用题意中的构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值． (Ⅱ)需求函数在闭区间的最值，首先需要利用导函数导函数讨论函数在该区间内的单调性，若函数在该闭区间内单调，则最值在闭区间的端点处取值，若函数不单调，则需比较极值和端点值得大小． 【详解】(Ⅰ)由题意得，定义域为 因为在处有极值， 所以，解得； (Ⅱ)由(Ⅰ) ，所以，， 令，在定义域内解得，当时，，所以单调递减；当时，，单调递增，当， ，易得， 所以当时，，． 【点睛】本题考查函数在闭区间内的最值问题，需要利用导函数导函数讨论函数在该区间内的单调性，若函数在该闭区间内单调，则最值在闭区间的端点处取值，若函数不单调，则需比较极值和端点值得大小． 16. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以． 因为为该圆柱的母线，所以平面，平面， 所以，又，平面． 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据母线的性质可得平面，从而得，根据直径得，从而得平面，结合面面垂直的判断可得平面平面； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点在圆柱下底面的射影为，连接． 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以， 所以， ． 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 由， 得与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列满足，其中． （1）设，求证：数列是等差数列； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和； （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） ， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， （2）； （3）存在；，理由如下： 则， 若对任意的，都有， 则等价于恒成立， 即恒成立，， 当为偶数时，，则， 当为奇数时，时，则 综上，存在，使得对任意的，都有． 【解析】 【分析】（1）结合递推关系，证明为常数即可； （2）由错位相减法求和； （3）命题等价成恒成立，转为说明恒成立，对分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 得：，其中，是首项， 公比的等比数列的前项和，根据等比数列的前项和公式， 这里的首项，公比，项数为， ， 所以， . 【小问3详解】 略 18. 已知抛物线的焦点为． （1）若点到抛物线准线的距离是它到焦点距离的倍，求抛物线的方程； （2）点，若线段的中垂线交抛物线于，两点，求三角形面积的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，解方程即可； （2）根据中点坐标公式和斜率公式求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数，三角形面积公式，利用换元法和导数的性质进行求解即可. 【详解】解：（1）抛物线的准线方程是，焦点坐标为， ， 抛物线的方程为 （2）由题意知线段的中点坐标为，， 直线的方程为 设， 由，得 ， 又 令，则， 当时，，递减，当时，，递增， 当即时，取得最小值，最小值为． 【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系得到三角形面积的表达式，运用导数求最值是解题的关键. 19. 已知函数， （1）讨论的单调性； （2）当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式． （3）在（2）的条件下，证明： 【答案】（1）①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）证明:构造， ，故在上单调递减，故 故当时，， 故， 则，，……， 将上式累加，得 ， 故， 故. 【解析】 【分析】（1）利用导数分成，，三种情况讨论函数的单调性； （2）根据所给的规则求出切点为的切线方程，再进一步求得，结合等比数列的定义得出结果； （3）当时，先证明成立，得出，再结合等比数列求和得出结果. 【小问1详解】 ①若，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ②若，则，则在R上单调递增， ③若，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上所述： ①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，，，切点，切线斜率：， 故切线方程为：， 联立得：， 化简得：， 因式分解得：． 故 上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故， ，则是以为首项，以为公比的等比数列, 故，故. 【小问3详解】 略 【点睛】利用导数证明数列不等式问题方法点睛： 常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $