精品解析：甘肃省甘南藏族自治州合作藏族中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

合作藏中2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某单位有员工500人，青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人， 150人和50人，在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样，若抽出的青年职工为30人，则抽出的老年职工的人数为（ ） A. 5 B. 15 C. 30 D. 50 4. 下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ③④ 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分) 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. 扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为 D. 若是第四象限角，则点在第四象限 10. 设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ） A. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 B. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 C. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 D. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 11. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12. 一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第75百分位数是______． 13. 点在角终边上，则______． 14. 已知函数满足以下条件： ①图像关于轴对称；②的值域为；③在内为增函数． 则满足上述条件的一个函数______．（只需任意写出一个即可） 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图． （1）求x的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数，函数在上有两个零点，求实数m的取值范围. 19. 已知定义域为的函数（且）是奇函数． （1）求实数，的值； （2）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若，当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合作藏中2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 2. 已知，且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且时，成立，但当时，且不一定成立，如且， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 某单位有员工500人，青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人， 150人和50人，在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样，若抽出的青年职工为30人，则抽出的老年职工的人数为（ ） A. 5 B. 15 C. 30 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义列方程求解出样本总人数，从而可求出抽出的老年职工的人数. 【详解】设抽出的样本总人数为人，则由题意可得 ，解得， 所以抽出的老年职工的人数为人. 故选：A 4. 下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可知函数为偶函数，结合赋值法和排除法即可求解. 【详解】由题可知，， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除A，C； 又，排除B． 故选：D． 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质和根式与分数指对幂的运算比较大小 【详解】由已知得，，， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∴， 故选：C. 8. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得， 即， 解得 . 故选：A. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分) 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. 扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为 D. 若是第四象限角，则点在第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：求出角即可；对于B：求出角的范围后再判断；对于C：利用条件列方程求出弧长和半径，再利用公式求面积即可；对于D：根据角所在象限确定三角函数值的正负即可. 【详解】对于A：若，且，则，则，A错误； 对于B：若是第二象限角，则， 所以，即是第一或第三象限角，B正确； 对于C：设扇形的半径为，弧长为，则由已知，解得， 所以扇形面积为，C正确； 对于D：若是第四象限角，则，所以点在第三象限，D错误. 故选：BC. 10. 设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ） A. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 B. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 C. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 D. 的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【解析】 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示： 通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 11. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】在同一个坐标系中作出与的图象，根据函数的单调性和零点存在定理，结合选项中的给定区间逐一判断即得. 【详解】函数的定义域为，由可得， 于是函数的零点所在的区间即函数与函数的交点的横坐标所在区间. 如图作出两函数的图象如下： 对于A，时，因在上递增，在上递减，而在恒为增， 且，，故两函数在上必有交点， 即为原函数的一个零点所在区间，故A正确； 对于B，时，因在上递减，在上递增，且在上恒成立， 而在上恒为增，且，故两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故B错误； 对于C，时，因在上递增，在上递减， 而在上恒为增，且，，， 即两函数在有两个交点，即为原函数的零点所在的区间，故C正确； 对于D，时，情况与选项B相似，函数在上恒成立， 而在上恒为增，且，即两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故D错误. 故选：AC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12. 一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第75百分位数是______． 【答案】45 【解析】 【分析】对数据进行排序，结合百分位数的定义，直接求解即可. 【详解】将个数据23，76，45，37，58，16，28，15，20按照从小到大的顺序排列如下： ，，，，，，，，， 又，故该组数据的第75百分位数是第个数据. 故答案为：. 13. 点在角终边上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解. 【详解】∵点在角终边上， ∴，， ∴， 故答案为：. 14. 已知函数满足以下条件： ①图像关于轴对称；②的值域为；③在内为增函数． 则满足上述条件的一个函数______．（只需任意写出一个即可） 【答案】，答案不唯一 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、函数的平移求解. 【详解】∵图像关于轴对称，∴为偶函数， 则，函数满足条件①； ∵在内为增函数，∴函数， 设存在，且，令， 则，∴， ∴满足条件②， ∵的值域为，∴将的图象向上平移个单位，即， ∵为偶函数且在内单调递增，∴在上单调递减， ∴的值域为； ∴满足上述三个条件， 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合，可得或， 因为，所以. 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 16. 2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图． （1）求x的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 【答案】（1） （2）平均数为10.64，中位数是10.75 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 ，所以． 【小问2详解】 设这100名游客调查问卷中得分的平均数为， 则． 因为，， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是t，所以，可得． 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【小问1详解】 当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数，函数在上有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解； （2）根据函数平移得出函数解析式，由余弦函数的性质得出函数的最值，进而结合图象解题即可. 【小问1详解】 由图可知，不妨设函数图象的最小正周期为， 由图可得：，得，得， 因为，所以， 解得，又，所以， 故. 【小问2详解】 由题意可知，， 且函数的图象与直线在上有两个交点. 令，由，可得， 作出，在的图象， 当时，，即， 当时，，即， 又在单调递增；在单调递减； 所以在处取得极大值，即； 由图知，函数在上有两个零点等价于 ， 故m的取值范围为. 19. 已知定义域为的函数（且）是奇函数． （1）求实数，的值； （2）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减． 证明：由（1）知， 任取，设，则， 因为时函数在上是增函数， 所以，， 所以，即， 所以当时函数，函数在上是增函数． 同理可证，当时，函数在上是减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解； （2）根据函数单调性的定义证明； （3）利用函数的奇偶性将转化为，再根据恒成立的条件利用分离参数法求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以， 又由得，∵， ∴，∴，即， 此时，， 又，符合奇函数的定义，所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式等价于． 又当时，在上是增函数，故， 即对任意有恒成立． 令，，则有，， 所以， 所以，即k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $