期末重难点真题特训之易错必刷题型（111题32个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

期末重难点真题特训之易错必刷题型（111题32个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、图形的全等 1．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； B、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    【答案】 【分析】根据全等图形的性质即可求解． 【详解】∵图形与四边形全等的6个四边形拼成的图形 ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 【答案】是全等图形，理由见解析 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解：是全等图形，理由如下： 把两个图形放在一起，把和，和，和重合，发现能够完全重合， 因此和是全等图形． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 易错必刷题二、求一元一次不等式与不等式组的解集 4．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，以及求不等式的非负整数解，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出它的非负整数解，即可解题． 【详解】解：， 由①解得， 即， 由②解得， 综上，不等式组的解集为， 它的非负整数解为． 5．（23-24七年级下·上海金山·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟记运算步骤是关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 在数轴上表示如图所示： 6．（23-24七年级下·上海宝山·期中）阅读下面解题过程，再解答后面的问题． 学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式的解集． 小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式知集为或． 请你仿照上述方法，求不等式的的解集． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负” 可得两个不等式组，在分别求出不等式组的解集，即可． 【详解】解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”可得 ①或②    解不等式组①得∶不等式组无解， 解不等式组②得∶ ， 综上所述，原不等式的解集为． 易错必刷题三、在数轴上表示不等式的解集 7．（23-24七年级下·上海崇明·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得． 在数轴上表示为： 故选：D． 8．（23-24七年级下·上海青浦·期末）若关于x的不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 根据不等式解集在数轴上的表示求解即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）分别写出下列数轴表示的不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． （1）根据1处是空心点且折线向左即可得出结论； （2）根据2处是实心点且折线向左即可得出结论； （3）根据处是实心点且折线向右即可得出结论； （4）根据2处是空心点且折线向左即可得出结论． 【详解】（1）解：∵1处是空心点且折线向左， ∴不等式的解集为：； （2）解：∵2处是实心点且折线向左， ∴不等式的解集为：； （3）解：∵处是实心点且折线向右， ∴不等式的解集为：； （4）解：∵2处是空心点且折线向左， ∴不等式的解集为：； 易错必刷题四、求一元一次不等式的整数解 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式)非负整数解是（   ） A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．0，1，2，3，4，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，求不等式的非负整数解，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的非负整数解为0，1，2，3， 故选：B． 11．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，整理得，根据不等式的解集得出，再解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有三个非负整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为： 12．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 0 4 (1)求、的值； (2)若的值大于，求的最大整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，能求出m、n的值是解此题的关键． （1）根据题意得出方程组，求出m、n的值即可； （2）根据的值大于，列出不等式，解不等式，然后求出最大整数值即可． 【详解】（1）解：根据表格可知：， 解得：； （2）解：∵的值大于，， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 易错必刷题五、求一元一次不等式组的整数解 13．（23-24七年级下·上海宝山·期末）不等式组的最大整数解是（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得最大整数解． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴最大整数解为， 故选：B． 14．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，根据其整数解的个数得出关于m的不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 关于的不等式组恰好有3个整数解， 即整数解是4，5，6， ， 解得， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·上海金山·期中）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 【答案】；不等式组的整数解为：，，，1 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为：，，，1． 易错必刷题六、利用一元一次不等式组求参数 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示如图，则式子的值为（   ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确根据数轴上表示的解集求出a、b的值是解题的关键．分别解两个不等式求出其对应的解集，再根据数轴表示的解集，求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得：， 根据数轴表示的解集可知不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故选A． 17．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式的解集为， ∴， 故答案为；． 18．（24-25七年级下·上海静安·期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如： (1)求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解都是（1）中不等式的解，求的取值范围． (3)若关于的不等式组有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运算法则，得，再解出，即可作答． （2）根据运算法则，得，再解出，再结合关于的不等式的解都是（1）中不等式的解，得，即可作答． （3）先根据运算法则，得，再解出和，因为关于的不等式组有解，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的不等式的解都是（1）中不等式的解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 则由得； 由得， ∴， ∴， ∴， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴． 易错必刷题七、不等式组有解无解问题 19．（23-24七年级下·上海闵行·期中）在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解． (1)当时，求出此时不等式组的解集和整数解； (2)要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)不等式组的解集为，整数解为 (2) 【分析】（1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集和整数解； （2）求出每个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为，整数解为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵使不等式组只有2个整数解， ∴， 解得， 即m的取值范围是． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法及整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 20．（2024七年级下·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 21．（23-24七年级下·上海虹口·期中）问读：解不等式． 解：根据乘法法则，和异号，时，或者时，即由题意得到不等式组①和② 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解 ∴原不等式的解集为：． 试解不等式． 【答案】 【分析】根据提示，可知与异号，即时，，且；时，，且，由此即可求解． 【详解】解：，则与异号， ∴①和②， 解①得，，，且，无解； 解②得，，，且，即解集为， ∴的解集是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的运用，掌握不等式的性质，分式的性质是解题的关键． 易错必刷题八、同位角、内错角、同旁内角 22．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了“三线八角”的基本定义，熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键． 根据同旁内角的定义进行解题即可． 【详解】解：由图可知，的同旁内角是， 故选：C． 23．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，与是同旁内角的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故答案为：． 24．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】同位角：和和；内错角：和和；同旁内角：和和和和． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案． 【详解】解：同位角：和，和； 内错角：和，和； 同旁内角：和，和，和，和． 易错必刷题九、对顶角相等 25．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，直线与相交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角相等，利用邻补角求角度，先根据对顶角相等得出，再根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D 26．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）如图，直线相交于点O，，，则 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了角度的和差计算．根据题意，先由，，即可得到的度数，再由对顶角的关系即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 则． 故答案为：35． 27．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，已知．求证：． 证明：（已知），（___________） （__________） __________（同位角相等，两直线平行） __________（____________） （已知） _________（___________） （__________） （__________） 【答案】对顶角相等；等量代换；；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先得到，则，推出，结合已知条件得到，那么，则． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 故答案为：对顶角相等；等量代换；；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 易错必刷题十、垂线段最短 28．（24-25七年级下·上海静安·阶段练习）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（　　） A．6 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B 29．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，其理由为 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答． 【详解】∵ ∴他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 30．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)   (3)   垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离： （1）取格点，作直线，交直线于点； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1） （2）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：   （3），理由：垂线段最短． 故答案为：   垂线段最短 易错必刷题十一、构成三角形的条件 31．（23-24七年级下·上海宝山·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 32．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果等腰三角形的一边的长是，另一边的长是，那么这个等腰三角形的腰长是 cm． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，判断腰长为或时，三条边能否构成三角形即可． 【详解】解：当长为的边长为腰时： 三角形三边为3，3，7，，不能构成三角形； 当长为的边长为腰时： 三角形三边为3，7，7，能构成三角形， 因此这个等腰三角形的腰长是， 故答案为：7． 33．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)这三条线段能组成三角形，理由见解析 (2)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 (3)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可． 【详解】（1）解；这三条线段能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能组成三角形； （2）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形； （3）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 易错必刷题十二、确定第三边的取值范围 34．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∴四个选项中，只有D选项中的符合题意， 故选：D． 35．（23-24七年级下·上海青浦·期中）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边长是奇数，则是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用三角形三边关系确定第三边长度，根据题意，由三角形三边关系得到第三边长的取值范围是，再由第三边长是奇数，即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：一个三角形的两边长分别是和， 由三角形三边关系可知第三边长的取值范围是， 三角形第三边长是奇数， 可取或， 故答案为：或． 36．（23-24七年级下·上海金山·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)的周长为16，是等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴； （2）∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 易错必刷题十三、相交线 37．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 38．（23-24七年级下·上海虹口·期末）观察图形，并阅读相关的文字，回答：10条直线相交，最多有 交点． 【答案】45． 【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=个交点． 【详解】解：∵10条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 5条直线相交最多有10个交点，而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5， ∴十条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×10×9＝45． 故答案为45． 【点睛】此题主要考查了相交线，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 39．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线a、b被c所截，求证：直线a与b相交． 【答案】见详解 【分析】根据同位角相等，可得两直线平行，根据同位角不相等，两直线相交．本题考查了相交线，在同一个平面内不平行的直线相交． 【详解】证明：， 直线与不平行， 在一个平面内，不平行的两条直线相交， 直线与相交． 易错必刷题十四、两点确定一条直线 40．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，值日生小东和小明两人共同拉着一根细线对课桌进行对齐，这样做所蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查直线的性质，解题的关键是理解并运用直线的相关公理． 通过小东和小明两人拉细线这一行为，分析其对应的数学原理． 【详解】小东和小明相当于两个点，他们共同拉着一根细线，这根细线就可以看作是一条直线，体现了两点确定一条直线的数学道理． 故选：C． 41．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握经过两点有且仅有一条直线是解答本题的关键． 由直线公理：两点确定一条直线，由此得到答案． 【详解】解：因为木板两端即为两点， 所以用墨盒弹一根墨线即为：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 42．（23-24七年级下·上海松江·期末）小明和小亮在讨论“射击时为什么枪管上要准星？” 小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星． 小亮：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这不就有三点了吗？多了一个点呀！ 请你说说你的观点． 【答案】两点确定一条直线 【详解】试题分析：此题根据直线的性质两点确定一条直线进行解答即可． 试题解析：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线，应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即达到看到哪打到哪儿． 换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上． 易错必刷题十五、两直线平行同位角、内错角相等 43．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，点是射线上一点，请用尺规作图，过点作直线． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角及平行线的判定；用尺规作平行线是解题的关键．以点B为圆心作圆弧，分别交和于点M、N，以点O为圆心，为半径作圆弧，交于点F，再点F为圆心，为半径作圆弧，圆弧交点为Q，作直线即为所求． 【详解】解：如图所示，作， ∴． ∴即为所求． 44．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图所示，，， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和为180度结合已知条件求出的度数，再结合平行线的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分交于点F，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义， （1）根据角平分线的概念得到，，然后求出，即可证明出； （2）由，求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵平分，平分交于F， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得， 又∵ ∴解得， ∴ ∵ ∴． 易错必刷题十六、垂直于同一直线的两直线平行 46．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．平行或垂直 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵过直线外一点作的垂线， ∴ ∵过点作的垂线， ∴ ∴ 故选：C． 47．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．    【答案】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答． 【详解】解：由图2可知：,由图3可知：, ∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）． 故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键． 48．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，点E在上，．    (1)求证：； (2)如果，且，求得度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出答案； （2）先根据已知条件判断出DG∥BC，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【详解】（1）证明：与平行．理由如下： ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理及性质是解答此题的关键． 易错必刷题十七、反证法证明中的假设 49．（23-24七年级下·上海长宁·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”， 第一步应是假设， 故选：A． 50．（23-24七年级下·上海宝山·期末）利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“ 直角三角形”（填“是”或“不是”）. 【答案】是 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可，解题的关键是正确理解反证法的意义及步骤． 【详解】利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“是直角三角形”， 故答案为：是． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 易错必刷题十八、等边对等角 52．（2025·上海松江·一模）如图，将绕点顺时针旋转，得（与为对应点），若点刚好落在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，，则可得，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得，，，， ， ． 故选：C． 53．（2025·上海静安·一模）如图， ， 为矩形 的对角线， 于点 ， ，则 的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 根据题意得出，由矩形的性质可求，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， 故答案为：． 54．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在和中，和交于点E，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键； 证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在与中， ， ， 易错必刷题十九、三角形角平分线的定义 55．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，继而得到，，即可得解．掌握等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的长为． 故选：C． 56．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 57．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，已知，． (1)作图：在图1中，延长和，相交于点M； (2)在图1中，求证： (3)如图2，连，若同时平分和，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了平行线的性质，角的等量代换，角平分线的定义，正确作出符合题意的辅助线是解题的关键． （1）直接根据题意作图，即可作答． （2）根据平行线的性质，得同旁内角互补，因为，所以进行角的等量代换，即可作答． （3）因为同时平分和，得，根据四边形内角和360°列式计算，再进行角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如上图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：如图： ∵同时平分和， ∴， 在四边形中，， 在四边形中，， ∵，， ∴． 易错必刷题二十、三角形的外角的定义及性质 58．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在中，外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：由三角形的外角性质，得． 因为，， 所以． 故选B． 59．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，，，，则四边形外的角 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是作出辅助性构造出三角形的外角．连接并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长， 则，， ， ，，， ． 故答案为：． 60．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形外角的性质得到．由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， v， ∴． 易错必刷题二十一、根据三线合一证明 61．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 62．（23-24七年级下·上海松江·期中）地震过后，某中学数学实践小组的同学用下面的方法检测教室的房梁MN是否水平：他们在一等腰三角尺的斜边中点处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，检验时，把这块等腰三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过等腰三角尺的直角顶点，他们就判断这根房梁是水平的．他们的判断对吗？ ；为什么： ． 【答案】 对 等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合 【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC=BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论． 【详解】解：他们的判断正确．理由如下： ∵△ABC是个等腰三角形， ∴AC=BC， ∵点O是AB的中点， ∴AO=BO， ∴OC⊥AB． ∴等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合， 故答案为：对，等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．等腰三角形底边上的中线、底边上的高以及顶角的角平分线重合． 63．（2024七年级下·上海青浦·模拟预测）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 易错必刷题二十二、用SSS证明三角形全等（SSS） 64．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴不需要添加条件， 故选：D． 65．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．对应的三边相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ． 故答案为：． 66．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图所示，在和中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，结合线段的和差关系，推出，利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中 ， ∴． 易错必刷题二十三、用SAS证明三角形全等（SAS） 67．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是的距离．我们可以证明出，进而得出，那么判定和全等的依据是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意即可判断求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴判定和全等的依据是， 故选：． 68．（23-24七年级下·上海金山·期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测量的长度即可知道的长度．此方法用到了一个重要的和两个三角形有关的数学知识是 ；这个数学知识成立的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用；根据题意，由可得，从而即可完成． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 即测量的长度即可知道的长度． 故答案为：， 69．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由得到，根据“”即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 易错必刷题二十四、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 70．（24-25七年级下·上海松江·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，可以确定唯一三角形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据，可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形， 故选D． 71．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 72．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，点E为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据平行线的性质可得 ，由点E为的中点得，根据可证明． 【详解】证明：， ， ∵点E为的中点， ， 在和中， ． 易错必刷题二十五、与三角形的高有关的计算问题 73．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，，垂足为，垂足为F，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积公式，连接，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 故选C． 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：因为， 所以的边上的高为线段， 因为， 所以边上的高为线段， 因为 所以， 故答案为：，，． 75．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，边上的高，点为上一点，于点，于点．求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积，与高有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为边上的高，则，结合，故，因为，得，即可作答． 【详解】解：如图，连结． 边上的高， ∴， ∵于点，于点． ∴，， ∵， ． 又， ， ． 易错必刷题二十六、与平行线、角平分线有关的三角形内角和问题 76．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图在中，，，平分，于点E，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 又∵平分， ∴． ∴， 又∵ ∴· ∴． 77．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，，，点D，E分别在AB和AC上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据三角形内角和定理求得，根据平行线的性质求得，进而即可证明． 【详解】在中， ∵， （已知）， ∴（三角形内角和定理）． 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 78．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 易错必刷题二十七、全等三角形的性质 79．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，结合，，即可求解． 【详解】解：， ， ，即， ，， ， 故选：A． 80．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能求出符合题意的所有情况是解题的关键；由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， 则， ∴； ②当时， 则， ∴ 综上，的长为或， 故答案为：或． 81．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 【答案】(1) (2)33.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 易错必刷题二十八、等腰三角形的性质和判定 82．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边的中点，与交于点G．如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 先根据题意得，再根据等腰三角形的性质， 然后结合已知条件得，，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得点D是的中点，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，． 故选：D． 83．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在等腰三角形中，，点E、M、F分别是上的点，，，则四边形的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质得到 ，因此，判定，同理，得到四边形的周长等于即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，． ∴， 同理， ∵， ∴四边形的周长 故答案为：10． 84．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，D、E是上两点，且，，、分别平分、，、交于O点，求证：点O到的三个顶点的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．连接、、，设与相交于点M，与相交于点N，由等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，是的垂直平分线，进而可得，据此即可求证． 【详解】证明：如图，连接、、，设与相交于点M，与相交于点N， ， 为等腰三角形． 平分， ，． 是的垂直平分线． ． 同理，，平分， ，． ． ，即点O到的三个顶点的距离相等． 易错必刷题二十九、等边三角形的判定和性质 85．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在菱形中，，，则对角线的长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，其中等边三角形的判定是关键．由菱形的性质及已知可知是等边三角形，则可得． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D 86．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，进而得出即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故答案为：3． 87．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，是等边三角形，过点C作，且，连接交于点O．      (1)如图1，试说明：垂直平分； (2)如图2，点M在的延长线上，点N在线段上，且，连接．试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，三线合一的性质判定即可求解； （2）由（1）知垂直平分，则，等量代换即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）解：由（1）知垂直平分， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题三十、根据平行线判定与性质求角度 88．（2024·上海宝山·模拟预测）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，先证明，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 89．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，由得到，从而，进而有，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 90．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （）先证明，则，所以，再由平行线的判定即可求证； （）根据平行线的性质得出，由角度和差得出，最后再由对顶角相等即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 易错必刷题三十一、一元一次不等式组实际综合应用 91．（24-25七年级下·上海崇明·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分旧城区进行改造，在改造施工现场有大量的建筑垃圾需要运输出去，某车队有载重量为7吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则购进载重量为10吨的卡车至少多少辆？    【答案】购进载重量为10吨的卡车至少5辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设购进载重量为10吨的卡车辆，购进载重量为7吨的卡车辆，再结合该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，新购进这两种卡车共6辆，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设购进载重量为10吨的卡车辆， 则购进载重量为7吨的卡车辆， 根据题意可列不等式为：， 解得：， 取正整数， 的最小值为5． 答：购进载重量为10吨的卡车至少5辆． 92．（2025七年级下·全国·专题练习）某超市规定：凡一次购买大米以上可以按原价打折出售，购买（包括）以下只能按原价出售．某采购员到超市买大米，原计划买的大米只能按原价付款，需要500元，若多买，则按打折价格付款，恰好也需要500元． (1)求该采购员原计划购买大米的质量范围： (2)若按原价购买大米与按打折价购买大米的金额相同，则该采购员原计划购买多少大米？ 【答案】(1) (2)大米 【分析】本题主要考查不等式，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据原计划购买和多买的情况，列不等式即可； （2）设该采购员原计划购买大米，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：原计划买的大米只能按原价付款，需要500元， ∴， 若多买，则按打折价格付款，恰好也需要500元， ∴， 解得，． （2）解：设该采购员原计划购买大米， 可列方程， 解得， 经检验是原方程的根， 故该采购员原计划购买大米． 93．（2025·上海宝山·模拟预测）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)小时，小时 (2)小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； （2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 易错必刷题三十二、平行线的性质在生活中的应用 94．（2024·上海长宁·一模）如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，俯角、仰角的定义，解题关键是能正确理解俯角、仰角的定义． 根据平行线的性质，俯角、仰角的定义求解即可； 【详解】解：俯角和仰角都是视线与水平线的夹角，视线在水平线之上的是仰角，视线在水平线之下的是俯角， 根据题意可得：水平线互相平行，热气球上的明明看地面上的琪琪时视线在水平线之下， 故视线与水平线夹角为，故为俯角． 故选：C． 95．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，在A、B两地之间修建一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东．如果两地同时施工，那么 °时，才能使公路准确接通． 【答案】134 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线性质的实际应用．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 96．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）图1是一款少儿自行车，其U型车架如图2所示，已知，，，求出∠BED的度数． 【答案】130° 【分析】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠ABE+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°，再根据角的和差可得结果． 【详解】解：如图，过点E作EF∥AB， 则AB∥EF∥CD， ∴∠ABE+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°， ∵∠ABE=110°，∠CDE=120°， ∴∠BEF=70°，∠DEF=60°， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=130°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是是解题的关键． 找到未知数系数为负数，并且不等式的解即可． 【详解】解：由数轴可得不等式组的解集为， A．不等式，根据不等式基本性质2，两边同时除以不等号方向不变，得到，不符合求解过程中需改变不等号方向这一条件，所以该选项错误，不符合题意； B．不等式 ，依据不等式基本性质2，两边同时除以，不等号方向不变，得到，不满足求解时要改变不等号方向的要求，所以该选项错误，不符合题意； C．不等式，根据不等式基本性质3，两边同时除以，不等号方向改变，得到，既满足求解过程中改变不等号方向，解集也符合数轴所表示的 ，所以该选项正确，符合题意； D．不等式，根据不等式基本性质3，两边同时除以（，不等号方向改变，得到，与数轴表示的解集以及求解需改变不等号方向的条件不相符，所以该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（山西省大同市部分学校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试题）早在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．如图，木杆秤在称物时，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 依题意，， 故选D． 3．（2025·上海松江·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 先根据平行线的性质得出，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（2024七年级下·上海长宁·模拟预测）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形判定与性质是解题的关键 根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 5．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，要测量水池两岸相对的两点的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，使，再画出的垂线，使与在一条直线上，得到，所以测得的长就是的长．这里判定的理由可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据证明，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 6．（2025·上海徐汇·一模）要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）已知关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得：， 解得：， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得：， 则“”表示的数为6， 故答案为：6． 8．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（，为小路端点）和一棵小树（为小树位置）．测得的相关数据为：，，米，则 米． 【答案】15 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴米， 故答案为：15． 9．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：24． 10．（2025七年级下·上海虹口·模拟预测）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想是解题关键． 分两种情况进行讨论，①，②，根据题意得出和即可求解． 【详解】解： 四边形是长方形， ，， ， 或， 或． ①如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； ②如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； 当或时，与全等． 故答案为：或． 11．（23-24七年级下·上海静安·期中）解下列不等式（或不等式组），并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 (3)，数轴表示见解析 (4)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确计算是解题的关键： （1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可，再将解集表示在数轴上； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可，再将解集表示在数轴上； （3）先求出每个不等式的解，再得出不等式组的解，最后将解集表示在数轴上； （4）先求出每个不等式的解，再得出不等式组的解，最后将解集表示在数轴上； 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边同除以，得． 把不等式的解集表示在数轴上如下： （2）解：， 不等式的两边同乘以6，得， 移项，得， 合并同类项，得． 把不等式的解集表示在数轴上如下： （3）解：， 由①得，，，解得， 由②得，，，， 解得， 所以不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来如下： （4）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 13．（23-24七年级下·上海金山·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． 【答案】(1)A，B两种材质的围棋每套的售价分别为250元，210元 (2)A种材质的围棋最多能采购12套 (3)在（2）的条件下，商店不能实现利润为1030元的目标 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用， （1）设A，B两种材质的围棋每套的售价分别为x元，y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）令，解得，即可作答． 【详解】（1）设A，B两种材质的围棋每套的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得， 答：A，B两种材质的围棋每套的售价分别为250元，210元； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套， 根据题意，得， 解得 答：A种材质的围棋最多能采购12套； （3）根据题意，得， 解得， ∵， ∴在（2）的条件下，商店不能实现利润为1030元的目标． 14．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，射线在的内部，点D在上． (1)现有3个选项：①，②，③．请从3个选项中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，得到一个真命题，并证明其正确性． 你选择的两个条件是 ，结论是 （只要填写序号） (2)在（1）的条件下，若与相交于点E，，求的度数． 【答案】(1)①②，③；证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质及判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质及判定及三角形内角和是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质可进行选择条件，进而求证即可； （2）由等腰三角形的性质可得，然后根据（1）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：当我选择的两个条件是①②，结论是③，证明如下： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当我选择的两个条件是①③，结论是②，证明如下： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当我选择的两个条件是②③，结论是①，证明如下： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 15．（2024七年级下·上海·专题练习）问题提出（1）如图1，已知：，，探究：和的数量关系并加以证明； 问题探究（2）如图2，在中，，过点C作射线，连结交边于点E，点D在边上，连接，若，探究和的数量关系并加以证明； 问题拓展（3）如图3，锐角中，，过点C 作直线，点E为边上一点，连接并延长交直线l于点F，点D在边上，若，直接写出和的数量关系．________________． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 对于（1），由“角边角”可证，可得； 对于（2），由“角角边”可证，可得，可得结论； 对于（3），由“边角边”可证，可得，，分两种情况讨论，由角的数量关系可求解． 【详解】解：（1），理由如下：如图1，连接， ∵， . 又， ∴， ； （2），理由如下： 如图2，过点C作，交于， ，， ∴. ∵， ∴. 又，， ∴， ， ∴； （3）在上截取，连接，交于点O， ，，， ∴ ，. ∵， ∴. ， ∴， 当时，则， ∴； 当不平行，则四边形是等腰梯形， ∴. ∵， ∴. 故答案为：相等或互补． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（111题32个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、图形的全等 1．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 易错必刷题二、求一元一次不等式与不等式组的解集 4．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：并写出它的非负整数解． 5．（23-24七年级下·上海金山·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 6．（23-24七年级下·上海宝山·期中）阅读下面解题过程，再解答后面的问题． 学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式的解集． 小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式知集为或． 请你仿照上述方法，求不等式的的解集． 易错必刷题三、在数轴上表示不等式的解集 7．（23-24七年级下·上海崇明·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·上海青浦·期末）若关于x的不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集为 ．    9．（24-25七年级下·全国·课后作业）分别写出下列数轴表示的不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 易错必刷题四、求一元一次不等式的整数解 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式)非负整数解是（   ） A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．0，1，2，3，4，5 11．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 12．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 0 4 (1)求、的值； (2)若的值大于，求的最大整数值． 易错必刷题五、求一元一次不等式组的整数解 13．（23-24七年级下·上海宝山·期末）不等式组的最大整数解是（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 14．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 15．（24-25七年级下·上海金山·期中）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 易错必刷题六、利用一元一次不等式组求参数 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示如图，则式子的值为（   ） A． B．0 C．4 D．6 17．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 18．（24-25七年级下·上海静安·期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如： (1)求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解都是（1）中不等式的解，求的取值范围． (3)若关于的不等式组有解，求的取值范围． 易错必刷题七、不等式组有解无解问题 19．（23-24七年级下·上海闵行·期中）在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解． (1)当时，求出此时不等式组的解集和整数解； (2)要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围． 20．（2024七年级下·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 21．（23-24七年级下·上海虹口·期中）问读：解不等式． 解：根据乘法法则，和异号，时，或者时，即由题意得到不等式组①和② 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解 ∴原不等式的解集为：． 试解不等式． 易错必刷题八、同位角、内错角、同旁内角 22．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，与是同旁内角的是 ． 24．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 易错必刷题九、对顶角相等 25．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，直线与相交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）如图，直线相交于点O，，，则 °． 27．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，已知．求证：． 证明：（已知），（___________） （__________） __________（同位角相等，两直线平行） __________（____________） （已知） _________（___________） （__________） （__________） 易错必刷题十、垂线段最短 28．（24-25七年级下·上海静安·阶段练习）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（　　） A．6 B． C． D．8 29．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，其理由为 ． 30．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 易错必刷题十一、构成三角形的条件 31．（23-24七年级下·上海宝山·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8 32．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果等腰三角形的一边的长是，另一边的长是，那么这个等腰三角形的腰长是 cm． 33．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 易错必刷题十二、确定第三边的取值范围 34．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级下·上海青浦·期中）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边长是奇数，则是 ． 36．（23-24七年级下·上海金山·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 易错必刷题十三、相交线 37．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·上海虹口·期末）观察图形，并阅读相关的文字，回答：10条直线相交，最多有 交点． 39．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线a、b被c所截，求证：直线a与b相交． 易错必刷题十四、两点确定一条直线 40．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，值日生小东和小明两人共同拉着一根细线对课桌进行对齐，这样做所蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 41．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是 ． 42．（23-24七年级下·上海松江·期末）小明和小亮在讨论“射击时为什么枪管上要准星？” 小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星． 小亮：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这不就有三点了吗？多了一个点呀！ 请你说说你的观点． 易错必刷题十五、两直线平行同位角、内错角相等 43．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，点是射线上一点，请用尺规作图，过点作直线． 44．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图所示，，， ．求证：． 45．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分交于点F，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 易错必刷题十六、垂直于同一直线的两直线平行 46．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．平行或垂直 47．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．    48．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，点E在上，．    (1)求证：； (2)如果，且，求得度数． 易错必刷题十七、反证法证明中的假设 49．（23-24七年级下·上海长宁·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·上海宝山·期末）利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“ 直角三角形”（填“是”或“不是”）. 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 易错必刷题十八、等边对等角 52．（2025·上海松江·一模）如图，将绕点顺时针旋转，得（与为对应点），若点刚好落在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 53．（2025·上海静安·一模）如图， ， 为矩形 的对角线， 于点 ， ，则 的度数为 ． 54．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在和中，和交于点E，，，求证：． 易错必刷题十九、三角形角平分线的定义 55．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 56．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 57．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，已知，． (1)作图：在图1中，延长和，相交于点M； (2)在图1中，求证： (3)如图2，连，若同时平分和，求证：． 易错必刷题二十、三角形的外角的定义及性质 58．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在中，外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，，，，则四边形外的角 ． 60．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 易错必刷题二十一、根据三线合一证明 61．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 62．（23-24七年级下·上海松江·期中）地震过后，某中学数学实践小组的同学用下面的方法检测教室的房梁MN是否水平：他们在一等腰三角尺的斜边中点处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，检验时，把这块等腰三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过等腰三角尺的直角顶点，他们就判断这根房梁是水平的．他们的判断对吗？ ；为什么： ． 63．（2024七年级下·上海青浦·模拟预测）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 易错必刷题二十二、用SSS证明三角形全等（SSS） 64．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 65．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 66．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图所示，在和中，，，，求证：． 易错必刷题二十三、用SAS证明三角形全等（SAS） 67．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是的距离．我们可以证明出，进而得出，那么判定和全等的依据是（    ）． A． B． C． D． 68．（23-24七年级下·上海金山·期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测量的长度即可知道的长度．此方法用到了一个重要的和两个三角形有关的数学知识是 ；这个数学知识成立的依据是 ． 69．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，，，．求证：． 易错必刷题二十四、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 70．（24-25七年级下·上海松江·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 71．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 72．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，点E为的中点．求证：． 易错必刷题二十五、与三角形的高有关的计算问题 73．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，，垂足为，垂足为F，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ． 75．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，边上的高，点为上一点，于点，于点．求的值． 易错必刷题二十六、与平行线、角平分线有关的三角形内角和问题 76．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图在中，，，平分，于点E，求的度数． 77．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，，，点D，E分别在AB和AC上，且．求证：． 78．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 易错必刷题二十七、全等三角形的性质 79．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，，，则为（    ） A． B． C． D． 80．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为 ． 81．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 易错必刷题二十八、等腰三角形的性质和判定 82．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边的中点，与交于点G．如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 83．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在等腰三角形中，，点E、M、F分别是上的点，，，则四边形的周长是 ． 84．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，D、E是上两点，且，，、分别平分、，、交于O点，求证：点O到的三个顶点的距离相等． 易错必刷题二十九、等边三角形的判定和性质 85．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在菱形中，，，则对角线的长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 86．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 87．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，是等边三角形，过点C作，且，连接交于点O．      (1)如图1，试说明：垂直平分； (2)如图2，点M在的延长线上，点N在线段上，且，连接．试说明：． 易错必刷题三十、根据平行线判定与性质求角度 88．（2024·上海宝山·模拟预测）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 89．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，，，，则的度数为 ． 90．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错必刷题三十一、一元一次不等式组实际综合应用 91．（24-25七年级下·上海崇明·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分旧城区进行改造，在改造施工现场有大量的建筑垃圾需要运输出去，某车队有载重量为7吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则购进载重量为10吨的卡车至少多少辆？    92．（2025七年级下·全国·专题练习）某超市规定：凡一次购买大米以上可以按原价打折出售，购买（包括）以下只能按原价出售．某采购员到超市买大米，原计划买的大米只能按原价付款，需要500元，若多买，则按打折价格付款，恰好也需要500元． (1)求该采购员原计划购买大米的质量范围： (2)若按原价购买大米与按打折价购买大米的金额相同，则该采购员原计划购买多少大米？ 93．（2025·上海宝山·模拟预测）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 易错必刷题三十二、平行线的性质在生活中的应用 94．（2024·上海长宁·一模）如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 95．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，在A、B两地之间修建一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东．如果两地同时施工，那么 °时，才能使公路准确接通． 96．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）图1是一款少儿自行车，其U型车架如图2所示，已知，，，求出∠BED的度数． 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 2．（山西省大同市部分学校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试题）早在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．如图，木杆秤在称物时，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海松江·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·上海长宁·模拟预测）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，要测量水池两岸相对的两点的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，使，再画出的垂线，使与在一条直线上，得到，所以测得的长就是的长．这里判定的理由可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海徐汇·一模）要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ． 7．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）已知关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为 ． 8．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（，为小路端点）和一棵小树（为小树位置）．测得的相关数据为：，，米，则 米． 9．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（2025七年级下·上海虹口·模拟预测）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 11．（23-24七年级下·上海静安·期中）解下列不等式（或不等式组），并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 13．（23-24七年级下·上海金山·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． 14．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，射线在的内部，点D在上． (1)现有3个选项：①，②，③．请从3个选项中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，得到一个真命题，并证明其正确性． 你选择的两个条件是 ，结论是 （只要填写序号） (2)在（1）的条件下，若与相交于点E，，求的度数． 15．（2024七年级下·上海·专题练习）问题提出（1）如图1，已知：，，探究：和的数量关系并加以证明； 问题探究（2）如图2，在中，，过点C作射线，连结交边于点E，点D在边上，连接，若，探究和的数量关系并加以证明； 问题拓展（3）如图3，锐角中，，过点C 作直线，点E为边上一点，连接并延长交直线l于点F，点D在边上，若，直接写出和的数量关系．________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$