期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、根据一元一次不等式（组）的解求参数 1．（23-24七年级下·上海松江·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则k的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； (3)若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 3．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 5．（23-24七年级下·上海闵行·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“关联方程”是_________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 压轴满分题二、一元一次不等式（组）的新定义计算 6．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 7．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 8．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）对m．n定义一种新运算“※”，规定：m※n=am-bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3※4=3a-4b+5．已知2※3=1，3※（-1）=10． (1)求a．b的值； (2)若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围． 9．（23-24七年级下·上海松江·期末）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的取值范围． 10．（24-25七年级下·上海青浦·期中）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 压轴满分题三、一元一次不等式（组）与数轴问题 11．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 12．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 去分母，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 两边都除以7，得．        第五步 任务一：以上解题过程中，第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 13．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 14．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 15．（24-25七年级下·上海宝山·期中）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值． (3)已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值． 压轴满分题四、平行线中的动点问题 16．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 17．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 18．（23-24七年级下·上海虹口·期中）已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 19．（23-24七年级下·上海崇明·期末）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，. (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若于点，平分，求证：； (3)如图，若点是直线、之间的动点，连接、，若，请探究、和之间的数量关系（直接写出结论，不需要说理由）. 20．（23-24七年级下·上海静安·期中）综合与实践： 【问题情境】 （1）如图①，为平角，，分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； 【拓展提升】 （2）如图②，，射线是内部任一射线，射线，分别平分，，则的大小为 （用含字母的代数式表示）； 【综合应用】 （3）如图③，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分，，分别交射线于点C，D．求与的差． 压轴满分题五、平行线中的翻折问题 21．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 22．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，直线，直线与直线分别交于点E，F，M是射线上的一个动点（不包括端点E），，连接，将沿折叠，使顶点E落在点N处． (1)求的度数． (2)当点N恰好落在上时，求的度数． (3)若，求的度数． 23．（23-24七年级下·上海宝山·期中）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ， （    ）（平行于同一条直线的两条直线平行） （______）（______）， ， （    ）， （辅助线作法）， ∴（______）， ， （    ）． 24．（23-24七年级下·上海长宁·期末）综合与实践：折纸中的数学 王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线；在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平． ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），得折痕，再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，折痕就是的平行线． (1)在上述过程中，______°； (2)王玲的说法正确吗？若不正确，请说明理由．若正确；请写出证明过程； (3)在折痕上任取一点M，连接，若记为，为，为，则，，之间的数量关系是______． 25．（23-24七年级下·上海青浦·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 压轴满分题六、根据平行线判定与性质证明 26．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 27．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）已知，，点为上方一点，、为上两点，连接，分别交于两点，． (1)如图1，，请写出说理过程（提示：过作） (2)如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，那么；请写出说理过程． 28．（24-25七年级下·上海闵行·期中）阅读下列材料，完成相应任务．台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 29．（24-25七年级下·上海宝山·期中）综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 30．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图①，，，，求的度数．小莉的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求的度数． 【问题解决】（1）按小莉的思路，求的度数． 【问题迁移】（2）如图②，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点P在直线上运动，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 压轴满分题七、根据平行线的性质探究角的关系 31．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 32．（23-24七年级下·上海宝山·期末）问题：如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 探究：（1）小明同学首先想到如图所示的图形，她发现这两个角应该相等，你知道其中的原因是什么吗？请写出来． （2）你是否还能发现其他图形？请画出来，并写出你所得的结论和原因． 归纳：通过上面的探究，你得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角 ． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 34．（24-25七年级下·上海闵行·期中）【阅读理解】 对于平行线的拐角问题，经常通过做第三条平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E、F分别在直线、上，点P在直线、之间，求证：． 证明：如图②，过点P作，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即． 可以运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 35．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 压轴满分题八、根据三角形中线求面积 36．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）已知：如图．求作： (1)线段，D在上，将分成两个面积相等的和； (2)作出中边上的高． 37．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找到一个格点 D，作射线 ，使平分 的面积； (2)在图②中，找到格点E、F，作直线，使 垂直平分； (3)在图③中，找到一个格点G，作射线，使 平分． 38．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 39．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）； (2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 40．（23-24七年级下·上海长宁·期末）定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点． (1)下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号） (2)在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数； (3)如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，， ①补全图形； ②求的长． 压轴满分题九、平行模型问题 41．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． 猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分． 42．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）（1）感知发现：在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当∥时，可以得到结论：在学习逆命题时，发现原命理是真命题，逆命题不一定是真命题，于是兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：∥，请写出证明过程． 利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题： （2）综合与实践:在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图已知两直线，且∥和直角三角形，，，创新小组的同学发现，说明理由． （3）实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出答案． 43．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2) 如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 44．（2024七年级下·全国·专题练习）问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 45．（24-25七年级下·上海长宁·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 压轴满分题十、线段垂直平分线判定和性质 46．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 47．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    48．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 49．（24-25七年级下·上海闵行·期中）数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和△BFO中， ∴． ∴ ∴． 50．（2025·上海松江·一模）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 压轴满分题十一、等边三角形的判定和性质 51．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 52．（24-25七年级下·全国·期中）如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 53．（24-25七年级下·上海静安·期中）在中，平分交于点D，点E在射线上运动，点 F在射线上运动，连接，且． (1)如图①，当时，线段和之间有何数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，当点E在延长线上，点F在上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由： 54．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 55．（23-24七年级下·上海宝山·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 压轴满分题十二、等腰三角形的存在性问题 56．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒时，、两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 57．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）【课本再现】 （1）如图1，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． 求证：． 【拓展】 （2）如图2，是等边三角形，点D在上，延长至点E，使． 求证：． 【探究】 （3）在等边中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由． 58．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 59．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 60．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）综合与实践 数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间． 探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，直接写出的度数； 类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与EF所夹锐角为，求的度数； 迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数． 压轴满分题十三、三角形旋转问题 61．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知等边三角形，现将一个含角的纸片顶点与点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片60°角的一边交直线AC于点D，在60°角的另一边上取一点E，使，连接AE． (1)如图1，当点D在线段AC上时，求证：； (2)如图2，当点D在线段CA的延长线上时，线段之间有怎样的数量关系？如图3，当点D在线段AC的延长线上时呢？请直接写出结论． 62．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 63．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图①，在中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． (3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③、在（3）的条件下，的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 64．（23-24七年级下·上海长宁·期末）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 65．（24-25七年级下·上海松江·期中）在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题： 问题提出： 如图①，已知是等边三角形，点在边上，以线段为边作等边，将绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． 猜想探究： （1）如图②，与相等吗？请说明理由； （2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形． 探究迁移： （3）如图④，若和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊的三角形？请证明你的结论． 压轴满分题十四、三角形折叠问题 66．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 67．（24-25七年级下·上海宝山·期中）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 68．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）图形变换可以帮助我们认识图形． (1)把图①中等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠得到图②，由与重合，可知：___________，___________； (2)如图③，将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点，再将绕点逆时针旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图④，中，，，点在上，过点作交于点，将所截沿过点的某射线翻折得到．直接写出当的某一边与平行时的大小．（只写出为锐角时的大小即可，结果用含用的代数式表示） 69．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 70．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 压轴满分题十五、全等三角形动点问题 71．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 72．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)线段的长=________（用含t的代数式表示）； (2)若，且点在边上时，若与全等，求和的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数 73．（24-25七年级下·上海静安·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当______时，的面积等于面积的三分之二； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 74．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明） 75．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． (1)直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； (2)如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 压轴满分题十六、一元一次不等式（组）的综合实际应用 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有1元硬币和5角硬币共20枚（两种硬币都有），这些硬币的总币值小于12元．根据此信息，小强和小刚分别列出不完整的不等式如下： 小强：________；小刚：________． (1)小强所列的不等式中，x表示________硬币的枚数；小刚所列的不等式中，x表示________硬币的枚数； (2)在横线上补全小强和小刚所列的不等式； (3)任选其中一个不等式，并求出可能有几枚5角硬币． 77．（23-24七年级下·上海闵行·期末）正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修，如果甲工程队修所用的天数是乙工程队修所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少？ (2)现计划再修建长度为的道路，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 78．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 79．（23-24七年级下·上海静安·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 80．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）[问题情景] 我们观看各种激烈的体育比赛时，总是对结果充满了期待，那么你能利用所学的知识预测比赛结果吗？例如：中国男子篮球队所在小组有六支球队，小组前4名出线，那么中国队要想小组出线，至少应该取得几场胜利？在现实生活中，有许多这样的比赛，那么怎样分析比赛呢？ [ 探索研究 ] 请研究如下问题：某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争夺一个出线权，火炬队目前的战绩是17胜13负（其中有1场以4分之差负于月亮队），后面还要比赛6场（其中包括再与月亮队比赛1场）；月亮队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场． (1)为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，那么它在后面的其他比赛中至少胜几场就一定能出线？ (3)如果月亮队在后面的比赛中3胜（包括胜火炬队1场）2负，那么火炬队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ (4)如果火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么月亮队在后面的比赛中的战果如何？ 压轴满分题十七、倍长中线模型问题 81．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 82．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 83．（24-25七年级下·上海闵行·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 84．（23-24七年级下·上海宝山·期中）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    85．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．7 3．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 5．（2024·上海嘉定·一模）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期中）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 8．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，点，，在同一条直线上，，且，，则 （用含的代数式表示）． 9．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 10．（2025·上海徐汇·一模）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）解不等式或不等式组： (1)． (2)． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 13．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 14．（24-25七年级下·上海青浦·期中）背景知识：如图，在中，，若，则：． (1)解决问题： 如图 （1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即 ，由此可得线段、、之间的数量关系是： ； (2)类比探究： 将图 （1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明； (3)拓展应用： 将图 （1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）． 15．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、根据一元一次不等式（组）的解求参数 1．（23-24七年级下·上海松江·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式这组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． （1）依据题意，根据所给关系代入计算即可得解； （2）依据题意，根据题目所给关系代入建立关于的不等式组，再由不等式组恰好由2个整数解，进而可以求出的取值范围． 【详解】解：（1）由题意，， ． 故答案为：1． （2）由题意，，， ． ． ，， ． ，． 原不等式组可以化为． 原不等式组的解集为． 原不等式组恰好有2个整数解， ． 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； (3)若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提供的信息列出关于x的不等式，解不等式即可； （2）先根据关于x的不等式的解集是，求出，然后把代入求不等式的解集即可； （3）解关于x的不等式组得出，根据关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，得出，求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， 解得：， 又∵关于x的不等式的解集是， ∴， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：， 解得：； （3）解：关于x的不等式组可变为： ， 解得：， ∵关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了新定义计算，解不等式和不等式组，根据不等式组解集清楚求参数，解题的关键是理解题意，列出相应的不等式或不等式组． 3．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程的解，再分和解不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：   解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是③． 故答案为：③； （2）解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴，解得：； （3）解：解方程，得：， 当时，解不等式组，得：， ∴不等式组得解集为， 则不在范围内，故不符合题意； 当时，解不等式组，得：， 由题意，得，解得， 则． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 【答案】(1)方程的解是的“理想解” (2) (3)M的值为19或或26 【分析】（1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论； （2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果； （3）先根据关于x的不等式组恰有7个整数解，得出，再根据关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，得出或或4，根据，，得出，再代入m的值，求出结果即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：，即方程的解为， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； ∴方程的解是的“理想解”； （2）解：把代入得， ∴， 把代入不等式组得， 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：由方程得：， 解不等式组得：， ∵关于x的不等式组恰有7个整数解， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数， ∴为整数，且为到7之间的整数， ∴或或4， ∵，， ∴， ∴ ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：M的值为19或或26． 【点睛】本题主要考查了不等式（组）的解法，一次方程的解法，新定义，解题的关键是根据新定义，正确建立新的不等式组． 5．（23-24七年级下·上海闵行·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“关联方程”是_________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式组． （1）分别解两个方程和不等式组，根据“关联方程”的定义，即可判断求解； （2）解不等式组和方程，将方程的解代入不等式组的解集，即可求解； （3）解不等式组和方程，根据“不等式组有4个整数解”，的到的范围，将方程的解代入不等式组的解集，得到的范围，两者取公共部分，即可求解， 【详解】（1）解：①， 解得：； ②， 解得：； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“关联方程”是：①． 故答案为：①． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ， 解得：， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：； （3）解：由关于的方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4， ∴， ∴， ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， ∴m的取值范围：． 压轴满分题二、一元一次不等式（组）的新定义计算 6．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）根据公式直接解答； （2）结合公式可得，求解即可； （3）分两种情况：①，②，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：； （3）由题意可知分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得 综上，x的取值范围为或． 【点睛】此题考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是解题的关键，尤其需要注意不等式两边乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 7．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 8．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）对m．n定义一种新运算“※”，规定：m※n=am-bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3※4=3a-4b+5．已知2※3=1，3※（-1）=10． (1)求a．b的值； (2)若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； （2）先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出解集即可． 【详解】（1）解：，， ， 解得：，； （2）解：， ，， ， ， 即， 解得：， 关于的不等式组，有且只有一个整数解， ， 解得：， 即字母的取值范围是； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键． 9．（23-24七年级下·上海松江·期末）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·上海青浦·期中）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断； （2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ； ③， ， ， ； 解不等式组，得， ∵， ∴不等式组的关联方程是③； （2）解：解不等式组，得． 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程， 得． 压轴满分题三、一元一次不等式（组）与数轴问题 11．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2）；所有整数解为 【分析】本题考查了解不等式（组），在数轴上表示不等式的解集，熟练计算是解题的关键． （1）先解不等式，再将解集在数轴上表示出来； （2）先解每个不等式，再写出不等式组的解集，最后得到整数解即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解集在数轴上表示如下： ； （2）, 解①得； 解②得， 故不等式组的解集为， 故不等式组的整数解为． 12．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 去分母，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 两边都除以7，得．        第五步 任务一：以上解题过程中，第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：一去分母时，常数项1漏乘10，任务二：，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 任务一：根据运算法则求解即可； 任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可． 【详解】任务一：解：∵去分母所有项乘后结果为：， 故第一步错误，去分母时，常数项漏乘； 故答案为：一；去分母时，常数项漏乘； 任务二： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得， 解集在数轴上表示如图： ． 13．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 14．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， （1）根据连动数的定义即可确定； （2）求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：①因为，，，，所以连动数的是，2.5， ②因为，，，，， 所以连动数的是，2.5， 故答案为①，2.5；②，2.5， （2）解：解关于的方程得，， 关于的方程的解满足是连动数， 或， 解得或； 故答案为或； （3）解： 由①得，； 由②得，， 不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时， 四个连动整数解为，，1，2， ， 的取值范围是． 15．（24-25七年级下·上海宝山·期中）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值． (3)已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值． 【答案】(1)；或 (2)1，2，3 (3)，，或，，0 【分析】本题考查了绝对值，二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解一元一次不等式组，理解绝对值的意义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． （1）根据题目提供的方法即可得出答案； （2）利用二元一次方程组的解法得到，再根据绝对值不等式的解法进行计算即可； （3）利用二元一次方程组的解法得到，再根据绝对值的非负性得到，即，解得，从而得到，，再代入求出x值即可． 【详解】（1）解：由题目所提供的方法可得， 不等式的解集为， 不等式的解集为或， 故答案为：；或； （2）解： ， 可得：，即， ，即， 是正整数 ，2，3． （3）解： 得，即 ∵，即， ∴ ∵为整数且≠0 ∴，， 当时，， ∴，； 当时，， ∴，0； ∴，，或，，0． 压轴满分题四、平行线中的动点问题 16．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （2）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得到、的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案． （4）分别过点M，P，N，作，运用平行线的判定与性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：过点作直线，    得， ， ， ， ， ； （2）解：过点作直线，    得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：当点在线段左侧时，如下图所示，   ，， ， ； 当点在线段右侧时，如下图所示，   ，， ， ， ； 的度数为或． （4）解：如图：分别过点M，P，N，作    ∵ ∴ 设 ∵平分，平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 同理的 ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论等知识点：两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 17．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 18．（23-24七年级下·上海虹口·期中）已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）①根据题意作图即可；②过点C作．则，由平行线的性质得到，，由垂直的定义得到，则，即； （2）分解析图中三种情况，根据平行线的性质和垂直的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 过点C作． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，当点E在点B右边时， 同（1）②可得 如图所示，当点E在点B左侧时，过点C作，则 ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点E在点B右侧时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或或． 19．（23-24七年级下·上海崇明·期末）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，. (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若于点，平分，求证：； (3)如图，若点是直线、之间的动点，连接、，若，请探究、和之间的数量关系（直接写出结论，不需要说理由）. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或． 【分析】（）利用平行线的性质即可求解； （）过作，则，再根据平行线的性质和角度和差即可求证； （）分当点在左侧时，当点在右侧时两种情况分析即可； 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，过作， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）如图，当点在左侧时， 过作， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 如图，当点在右侧时， 过作， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24七年级下·上海静安·期中）综合与实践： 【问题情境】 （1）如图①，为平角，，分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； 【拓展提升】 （2）如图②，，射线是内部任一射线，射线，分别平分，，则的大小为 （用含字母的代数式表示）； 【综合应用】 （3）如图③，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分，，分别交射线于点C，D．求与的差． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分的定义，余角和补角，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据为平角得出，再由、分别是和的平分线可得出的度数，据此得出结论； （2）根据可知，再由射线、分别平分、可得出的度数，据此得出结论； （3）先根据平行线的性质得出的度数，再由、分别平分、得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：（1）∵为平角， ∴ ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴的余角为：，； （2）， ， 射线、分别平分、， ， 即； 故答案为：； （3）∵，， ∴， 、分别平分、， 由（2）可得：， ∵，． ∴． 压轴满分题五、平行线中的翻折问题 21．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠，解题关键是根据平行线的性质和折叠得出角之间的关系，然后利用已知角求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，直线，直线与直线分别交于点E，F，M是射线上的一个动点（不包括端点E），，连接，将沿折叠，使顶点E落在点N处． (1)求的度数． (2)当点N恰好落在上时，求的度数． (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． （1）根据，同旁内角互补即可求解； （2）如图，点N落在上，根据折叠性质得出，根据，得出，算出．根据折叠性质，即可算出． （3）设．分为①当点N在平行线之间时．②当点N在下方时．分别画图计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． （2）如图，点N落在上， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）设． ①当点N在平行线之间时（如图）． ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， ∴； ②当点N在下方时（如图）． ∵， ∴． 由折叠可知， ∴， 解得， ∴． 综上所述，符合题意的的度数为或． 23．（23-24七年级下·上海宝山·期中）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ， （    ）（平行于同一条直线的两条直线平行） （______）（______）， ， （    ）， （辅助线作法）， ∴（______）， ， （    ）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， （平行于同一条直线的两条直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （辅助线作法）， ∴， ． 故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270． 24．（23-24七年级下·上海长宁·期末）综合与实践：折纸中的数学 王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线；在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平． ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），得折痕，再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，折痕就是的平行线． (1)在上述过程中，______°； (2)王玲的说法正确吗？若不正确，请说明理由．若正确；请写出证明过程； (3)在折痕上任取一点M，连接，若记为，为，为，则，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)90 (2)王玲的说法正确，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质求解即可； （2）同（1）理可得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （3）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点、、、共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 故答案为：90； （2）解：王玲的说法正确，证明如下： 由（1）得：， 同（1）理可得，， ， ； （3）解：． 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即． 25．（23-24七年级下·上海青浦·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴满分题六、根据平行线判定与性质证明 26．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）先由，得到，则，进而得到，由此即可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再证明，结合进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 27．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）已知，，点为上方一点，、为上两点，连接，分别交于两点，． (1)如图1，，请写出说理过程（提示：过作） (2)如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，那么；请写出说理过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等两直线平行得到，继而得到，即可得到． 【详解】（1）如图，过点作， ∴ ∵， ∴， ∴∠， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·上海闵行·期中）阅读下列材料，完成相应任务．台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解答的关键． （1）由，可得，再利用平角的定义可得，则； （2）同理（1）证明，进而即可说明结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ，， ， ； （2）解：．理由： 由题意可知，， ， ， ，， ， ． 29．（24-25七年级下·上海宝山·期中）综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），图见解析 【分析】本题考查作图-作角的平分线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．由平行线的性质得，，利用等角的补角相等证明； （2）结论：．利用平行线的判定和性质证明即可； （3）过点E作．证明得，由平分得，由得，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，过点P作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3中，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图①，，，，求的度数．小莉的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求的度数． 【问题解决】（1）按小莉的思路，求的度数． 【问题迁移】（2）如图②，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点P在直线上运动，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题考查的重点是平行线的判定与性质和角度的计算，可以利用猪蹄模型和铅笔模型的解题思路，很容易得出计算结果． （1）过点P作，可得，从而得到，即可解答； （2）过点P作，可得，从而得到， ，即可解答； （3）分两种情况讨论：点P在射线上时，点P在射线上，即可求解． 【详解】解：（1）过点P作， ， ， ，， ， ，  ， ， ∴； （2），理由： 过点P作，如图： ， ， ， ， ； （3）①点P在射线上时，如图，作， ， ， ， ， ，，， ； ②点P在射线上，如图，作， ， ， ， ， ，，， 压轴满分题七、根据平行线的性质探究角的关系 31．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过作，得到，推出，，求出，即可求解； （2）由（1）得到，推出． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， . ， ， ， ． （2）解： 理由：∵， ， . ， ， ， ， ． 32．（23-24七年级下·上海宝山·期末）问题：如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 探究：（1）小明同学首先想到如图所示的图形，她发现这两个角应该相等，你知道其中的原因是什么吗？请写出来． （2）你是否还能发现其他图形？请画出来，并写出你所得的结论和原因． 归纳：通过上面的探究，你得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角 ． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；归纳：相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）根据两直线平行，内错角相等，即可作答； （2）画出图形，根据两直线平行，内错角相；两直线平行，同旁内角互补，即可作答； （3）根据（1）、（2）结论直接归纳即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 如图， ∵， ， ∵， ， ； 归纳：根据（1）、（2）的结果可知：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； 33．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析 【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答； （2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答； ②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答． 【详解】（1）解：， 理由如下： 由平移性质可得，， 过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示： ，， 的面积为，的面积为，的面积为， ，，， ， ， ， （2）解：①如图，由平移性质可得， ， 直线， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ； ②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分， 理由如下： 由平移性质可得， ， ， 直线， ， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、把三等分， 时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分． 【点睛】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键． 34．（24-25七年级下·上海闵行·期中）【阅读理解】 对于平行线的拐角问题，经常通过做第三条平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E、F分别在直线、上，点P在直线、之间，求证：． 证明：如图②，过点P作，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即． 可以运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解； （3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过P点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴，即． 35．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 压轴满分题八、根据三角形中线求面积 36．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）已知：如图．求作： (1)线段，D在上，将分成两个面积相等的和； (2)作出中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线，熟知线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． （1）三角形中线平分三角形面积，据此可得是的中线，据此作图即可； （2）根据垂线的作法作于E即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 37．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找到一个格点 D，作射线 ，使平分 的面积； (2)在图②中，找到格点E、F，作直线，使 垂直平分； (3)在图③中，找到一个格点G，作射线，使 平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的中线，中垂线，等腰三角形的判断和性质： （1）根据三角形的中线平分面积，取的中点即可； （2）根据等腰三角形的性质，中垂线的定义，取的中点，取格点右侧格点，连接即为所求； （3）根据等腰三角形三线合一，取格点，连接，即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）如图②即为所求； （3）如图③，即为所求； 38．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）； (2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】（1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后再分类讨论，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵，cm，cm，cm，动点速度为，设运动时间为秒． 点在边上，，点在边上，， 故答案为：；； （2）解：①如图1.1，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴ ， ， ②当P在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ， ； t的值为或； （3）在中，，cm，cm，．设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，①时，， ， 解得； ②时， ， ， 解得； 当点P在上，点Q在上，①时，， ∴， 解得， ， ②时， ， ∴， 解得， ， 综上所述， 运动的速度为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 40．（23-24七年级下·上海长宁·期末）定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点． (1)下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号） (2)在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数； (3)如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，， ①补全图形； ②求的长． 【答案】(1)① (2) (3)①补图见解析  ② 【分析】（）根据均分点的定义判断即可求解； （）如图，连接并延长交于点，由均分点的定义和等腰三角形的性质可得为的垂直平分线，即得，再根据勾股定理的逆定理即可求解； （）①根据题意画出图形即可；②过点作交延长线于点，由均分点的定义可得，进而由勾股定理得，再证明，得到，，即得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴点是关于顶点的均分点； ②∵， ∴是的角平分线， ∴点到的距离相等，设为， 则，， ∵与不一定相等， ∴与也不一定相等， ∴点不一定是关于顶点的均分点； 故答案为：①； （2）解：如图，连接并延长交于点， ∵点是关于顶点的均分点， ∴， 即为的中线， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （3）解：①补全图形如下： ②过点作交延长线于点， ∴ ∵点是关于顶点的均分点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线和角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 压轴满分题九、平行模型问题 41．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． 猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分． 【答案】（1），理由见解答；（2）证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质； 问题情景：（1）过点作，利用猪脚模型即可解答； 问题解决：（2）延长交于点，利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，进而可得，最后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答． 【详解】问题情景：（1）解：， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； 问题解决：（2）证明：延长交于点， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 42．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）（1）感知发现：在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当∥时，可以得到结论：在学习逆命题时，发现原命理是真命题，逆命题不一定是真命题，于是兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：∥，请写出证明过程． 利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题： （2）综合与实践:在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图已知两直线，且∥和直角三角形，，，创新小组的同学发现，说明理由． （3）实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出答案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】过点作，想办法证明，可得结论； 利用中结论，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】证明：过点作， ， ， ，， ， ， ； 证明： 由可知，， ， ， ； 解：结论：． 理由：平分， ， ， ， ， 由可知，， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 43．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 44．（2024七年级下·全国·专题练习）问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 【答案】问题情境；问题情境2:；（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 问题情境1：过点作，根据平行线的性质，得到，，进而得出：； 问题情境2：过点作，再由平行线的性质即可得出结论； ②，③根据①中的方法可得出结论； 问题迁移： （1）如图4，根据角平分线定义得：，，由问题情境1得：，再根据四边形的内角和可得结论； （2）设，，则，，，，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论； （3）同（2）将3倍换为倍，同理可得结论． 【详解】解：问题情境 如图2，，理由是： 过作， ，， ∴， ，， ， 即， 故答案为：； 问题情境2： 如图3，，理由是： 过点作， ∵， ∴， ，， ， 即； 故答案为：； 问题迁移： （1）如图4，、分别是和的平分线， ，， 由问题情境1得：， ， ， ， ； （2）如图5，，理由是： 设，，则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ， ； （3）如图5，设，， 则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 45．（24-25七年级下·上海长宁·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    压轴满分题十、线段垂直平分线判定和性质 46．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图——线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 作线段的垂直平分线交于一点，即为点． 【详解】解：如图，点即为所求． 47．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图−-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点��，点��即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求．    48．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 49．（24-25七年级下·上海闵行·期中）数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和△BFO中， ∴． ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)平分；；；平角的定义 【分析】本题考查了基本作图——作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）证明得出，进而即可得到结论 【详解】（1）解：所求图形，如图所示： （2）证明：∵平分， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴（平角的定义） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 50．（2025·上海松江·一模）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 任务1：根据定义画出图形即可； 任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可； 【详解】解：【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分） 【任务2】 1、角的性质：筝形有一组对角相等． 2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线． 角的性质证明如下：连接， 在和中， ∵， ∴ ∴． 故筝形有一组对角相等得证． 对角线的性质证明如下：连接，交点为O 在和中， ∵， ∴ ∴，即是的角平分线． 又∵， ∴是的垂直平分线，即 压轴满分题十一、等边三角形的判定和性质 51．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）根据给出的条件判定出，得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ； （2）证明：， ，即， ，且由（1）得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 52．（24-25七年级下·全国·期中）如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见详解 (2)是直角三角形，理由见详解 (3)当或或时，则是等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，等腰三角形的性质，全等三角形的性质； （1）由旋转的性质得出、即可知是等边三角形； （2）由旋转可以得出，，就可以得出是等边三角形，就可以得出，从而得出，进而得出的形状； （3）由条件可以表示出就有，分当，或时分别求出的值即可． 【详解】（1）解： 绕点按顺时针方向旋转得， ，， ， 是等边三角形． （2）解：当时，是直角三角形．理由如下： 绕点按顺时针方向旋转得 ， ， 由（1）是等边三角形 ， ， 当时，是直角三角形． （3）解：， ． 是等边三角形， ， ，， ①当时， ， 解得： ②当时， ， 解得：， ③当时， ， 解得： 综上，当或或时，则是等腰三角形． 53．（24-25七年级下·上海静安·期中）在中，平分交于点D，点E在射线上运动，点 F在射线上运动，连接，且． (1)如图①，当时，线段和之间有何数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，当点E在延长线上，点F在上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由： 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而证得，即可解答； （2）过点D作，垂足分别为M，N，根据角平分线的性质可得，从而得到是等边三角形，进而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点D作，垂足分别为M，N， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 54．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，证明，得到即可； （2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果； （3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论． 【详解】证明：（1）和是等边三角形， ，，， ， ，， ∴， 是等边三角形， ． ． ， ， ∴； （2）如图2，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ， ，． 是等边三角形， ， ， ， ， ． ， ． ． （3）． 如图，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ． ，． 是等边三角形． ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 55．（23-24七年级下·上海宝山·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）4． 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，再证明，可得为等边三角形，从而，即可求解． 【详解】解：（1）①解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 压轴满分题十二、等腰三角形的存在性问题 56．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒时，、两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1) (2)点M、N运动秒时，可得到等边； (3)当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为秒． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得， 答：点M、N运动8秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即8秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 57．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）【课本再现】 （1）如图1，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． 求证：． 【拓展】 （2）如图2，是等边三角形，点D在上，延长至点E，使． 求证：． 【探究】 （3）在等边中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）与的等量关系不存在．证明见解析 【分析】（1）三线合一，等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证明为等边三角形，证明，即可得出结论； （3）分点在的延长线上，点在的延长线上和点在的延长线上，点在的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵是等边的中线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图1，过点作，交于点． ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）不存在 分为两种情况讨论． ①如图2，当点在的延长线上，点在的延长线上时，过点作，交于点． 又∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ②如图3，当点在的延长线上，点在的延长线上时． ∵是等边三角形的外角，故． ∵是的外角， ∴， 即是的最大内角， ∴，即与的等量关系不存在． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键． 58．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)（1）中①的结论仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据等边对等角得，结合三角形外角的性质得，再利用“”即可得证； ②由已知可得，，再根据全等三角形的对应边相等得，可得结论； （2）（1）中①的结论仍然成立，根据等边对等角得，由等角的补角相等得，继而得到，最后利用“”即可得证； （3）分两种情况：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴边的长为； （2）解：（1）中①的结论仍然成立． 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：①当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点．掌握全等三角形的判定和性质、等边对等角是解题的关键． 59．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知：, ； （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 60．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）综合与实践 数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间． 探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，直接写出的度数； 类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与EF所夹锐角为，求的度数； 迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】1）根据平行线的性质可得，即可求解． （2）过点E作，得到，求出的度数即可求解． （3）根据题意分两种情况进行讨论，点E在上方和在下方两种情况求解即可． 本题考查平行线的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题关键． 【详解】解：∵， ， ， ； （2）过点E作，如图， ∴， ， ， ， ； （3）存在，有两种情况； ①当点E在上方时，如图； ∴， ， ， 射线与所夹锐角的度数为； ②当点E在下方时，如图； ， ， 即， ， 射线与所夹锐角， 综上所述射线与所夹锐角的度数为或． 压轴满分题十三、三角形旋转问题 61．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知等边三角形，现将一个含角的纸片顶点与点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片60°角的一边交直线AC于点D，在60°角的另一边上取一点E，使，连接AE． (1)如图1，当点D在线段AC上时，求证：； (2)如图2，当点D在线段CA的延长线上时，线段之间有怎样的数量关系？如图3，当点D在线段AC的延长线上时呢？请直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)图②结论：．图③结论： 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，推出，证明，由此得到，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质推出，证明，由此得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：证明：∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）图②结论：． 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴； 图③结论：． 证明：∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 62．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80． 63．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图①，在中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． (3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③、在（3）的条件下，的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 【答案】(1)，5 (2) (3)．理由见解析 (4)4.5或6或12 【分析】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，一元一次方程，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的，列不等式组解题即可； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可． 【详解】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； 故答案为：，； （2）若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ，解得， 故答案为：； （3）解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， 又∵和时和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，或． 64．（23-24七年级下·上海长宁·期末）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 【答案】(1)不成立，，见解析 (2)，见解析 (3)①；②比大 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质的应用，掌握类比的方法解题是关键． （1）如图2，延长交于点．证明，再结合三角形的外角的性质可得； （2）如图3所示，连接并延长．再利用三角形的外角的性质与角的和差运算可得结论； （3）①由（2）的结论，得，结合，可得答案； ②由，，可得，结合，可得答案． 【详解】（1）解：不成立．应为． 证明：如图2，延长交于点．   ， ． 又， ． （2）解：． 证明：如图3所示，连接并延长．    ∴，， ∴． （3）解：①由（2）的结论，得：， ∵ ∴ ②∵，， ∴， ∵， ∴． 65．（24-25七年级下·上海松江·期中）在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题： 问题提出： 如图①，已知是等边三角形，点在边上，以线段为边作等边，将绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． 猜想探究： （1）如图②，与相等吗？请说明理由； （2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形． 探究迁移： （3）如图④，若和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊的三角形？请证明你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）等边；（3）是等腰直角三角形，证明见解析； 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，运用平移性质得，则，则代入，化简得出，即可作答． （2）与（1）同理得，再证明，，然后根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （3）与（2）同理证明，得，，故，因为为等腰直角三角形，，所以，即可作答． 【详解】解：（1）， 理由和为等边三角形, ， ， 平移， ， ， ， ， ； （2）是等边三角形，过程如下： 和为等边三角形, ，， ， 平移， ，， ，， ， ， ； ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （3）是等腰直角三角形，理由： 由（2）知， 平移， ， 又， ， ∵，，， ∴； ，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形． 压轴满分题十四、三角形折叠问题 66．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； （3）解：∵P，Q分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点H， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点H，设射线交于K，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 67．（24-25七年级下·上海宝山·期中）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，平行线中的折叠问题． （1）根据，得出，根据折叠可得，即可得，根据对顶角相等得出，即可求出． （2）根据，得出，根据折叠可得，即可得出． （3）根据，得出，根据折叠可得，结合得出，即可得，根据折叠可得，结合，即可得，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 根据折叠可得， ∴． （3）解：∵， ， 根据折叠可得， 根据折叠可得， ， ∵， ， ∴， ∴， ． 【点睛】 68．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）图形变换可以帮助我们认识图形． (1)把图①中等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠得到图②，由与重合，可知：___________，___________； (2)如图③，将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点，再将绕点逆时针旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图④，中，，，点在上，过点作交于点，将所截沿过点的某射线翻折得到．直接写出当的某一边与平行时的大小．（只写出为锐角时的大小即可，结果用含用的代数式表示） 【答案】(1)； (2)，，理由见解析； (3)或或或或． 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质及平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质即可求解； （2）结合题意画出图形，根据折叠的性质、旋转的性质即可得出边、角之间的关系，根据平行线的判定定理可得答案； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，结合题意画出图形，根据折叠的性质、旋转的性质逐一求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，； 故答案为：； ； （2）解：，， 理由：将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， 当点恰好落在的延长线上时，是等腰三角形， ， ， ； （3）解：①当时，如图： ， ，， ； ②Ⅰ当时，如图： 此时、共线， ，由折叠可得，， 中，， ， ； Ⅱ当时，如图： ； ③Ⅰ当时，如图： ， ， ， ， ， Ⅱ当时，如图： ， ， ， 综上所述，当的某一边与平行时的大小为 或或或或． 69．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 70．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，翻折的性质，三角形三边的关系，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）方法一利用翻折可以得到，然后比较角的大小；方法二、三由折叠可得，然后利用三角形的外角大于与它不相邻的内角解题；方法四、五截取，然后根据三角形的外角大于与它不相邻的内角解题； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上．然后得到点在线段上，再根据三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长到，使得，连接，则可得到，，然后证明解题即可． 【详解】（1）方法一：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法二：将沿边的高翻折， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴； 方法三：由折叠可得， ∵是的外角， ∴， ∴； 方法四：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； 方法五：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 则∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在线段上， 根据三角形的两边之和大于第三边可得， 又∵， ∴； （3）解：延长到，使得，连接， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题十五、全等三角形动点问题 71．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 【答案】3.5秒或6.5秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图， ①当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得: ， 所以； ②当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：，解得． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时，和全等． 72．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)线段的长=________（用含t的代数式表示）； (2)若，且点在边上时，若与全等，求和的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数 【答案】(1)； (2)，或，； (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论； （3）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成． 【详解】（1）解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上，； （2）解：中，，点为的中点，， ，， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，； （3）解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， 则； 当时，则， 则； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或． 73．（24-25七年级下·上海静安·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当______时，的面积等于面积的三分之二； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为； （2）分两种情况讨论：当点在上，当点在上，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的三分之二， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的三分之二； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：； 故答案为：或； （2）解：∵， ∴对应顶点为与，与，与； ①当点在上，如图所示：    此时，，， 点移动的速度为， ②当点在上，如图所示：    此时，，， 即，点移动的路程为，点移动的路程为， 点移动的速度为， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，点的运动速度为或． 74．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明） 【答案】(1)； (2)①见解析；②，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据非负性即可求解； （2）①根据，，由此即可求解；②如图所示，过点作的垂线交延长线于点，可证，得到，，再证，得到，由此即可求解； （3）第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点，可证，得到，，再证，得到，由即可求解；第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点，方法同第一种情况；由此即可求解． 【详解】（1）解：已知， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作的垂线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下， 第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点， 同理可证，，得到， 同理可证，，得到； 综上所述，或， 故答案为：或． 75．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． (1)直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； (2)如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】(1)①；②5 (2)或或6 【分析】本题考查三角形的面积、垂线段最短、三角形全等的性质、一元一次方程的几何应用，解答的关键是对动点所在位置分类讨论求解． （1）①利用三角形的面积公式，利用等面积法求解即可； ②由得到，当时，最小，此时最大，进而求解即可； （2）分①点D在边上，点E在边上时；②当点D在边上，点E在边上时；③当点D在边上，点E在边上时；④当点D在边上，点E在点A处时四种情况，利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在中，，，是的高， ∴，则； ②由题意，， ∴， 当时，最小，此时最大，最大值为； （2）解：由题意，点D在上用时，在上用时， 点E在上用时，在上用时， 故分以下几种情况： ①点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， ∴，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，又，， ∴，则，解得， ∵， ∴这种情况不可能，舍去； ②当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ③当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ④当点D在边上，点E在点A处时，如图， 则，， 由得，解得，符合题意， 综上，满足条件的t值为或或6． 压轴满分题十六、一元一次不等式（组）的综合实际应用 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有1元硬币和5角硬币共20枚（两种硬币都有），这些硬币的总币值小于12元．根据此信息，小强和小刚分别列出不完整的不等式如下： 小强：________；小刚：________． (1)小强所列的不等式中，x表示________硬币的枚数；小刚所列的不等式中，x表示________硬币的枚数； (2)在横线上补全小强和小刚所列的不等式； (3)任选其中一个不等式，并求出可能有几枚5角硬币． 【答案】(1)1元；5角 (2)、 (3)小刚可能有5角的硬币17枚，18枚，19枚 【分析】（1）根据小强所列的不等式，x表示1元硬币的枚数；小刚所列的不等式中，x表示5角硬币的枚数； （2）根据题意，5角硬币有个，币值为元；1元硬币有个，币值为元；解答即可； （3）根据解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了不等式的应用，不等式的整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：据小强所列的不等式，x表示1元硬币的枚数；小刚所列的不等式中，x表示5角硬币的枚数， 故答案为：1元，5角． （2）解：根据题意，5角硬币有个，币值为元； 故小强列不等式为：； 1元硬币有个，币值为元， 故小刚列不等式为：． （3）解：根据小强的思路：根据题意，得， 解得， 又硬币个数是正整数， 故x的值为1，2，3． 故5角硬币的个数为19个或18个或17个． 根据小刚的思路 根据题意，得， 解得， 又硬币个数是正整数， 故5角硬币的个数为19个或18个或17个． 77．（23-24七年级下·上海闵行·期末）正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修，如果甲工程队修所用的天数是乙工程队修所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少？ (2)现计划再修建长度为的道路，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天修，乙工程队每天修 (2)至少安排乙工程队施工天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排乙工程队施工天，则甲施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； （2）解：设安排乙工程队施工天，则甲施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排乙工程队施工天． 78．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【答案】(1)3，4 (2)可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个 (3)16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒即可得出答案； （2）设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知：1个横式无盖长方体纸盒需要3张A型和2张B型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张A型和1张B型； （2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个， 由题意得： 解得， 答：可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个； （3）解：由题意得， 解得：， ∴m的最大值为16． 79．（23-24七年级下·上海静安·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 【答案】(1)； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式． （1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，求解即可； 设每年行驶里程为千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：， 即新能源车的每千米行驶费用为元， 故答案为：； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为千米， 由题意，得， 解得， 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 80．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）[问题情景] 我们观看各种激烈的体育比赛时，总是对结果充满了期待，那么你能利用所学的知识预测比赛结果吗？例如：中国男子篮球队所在小组有六支球队，小组前4名出线，那么中国队要想小组出线，至少应该取得几场胜利？在现实生活中，有许多这样的比赛，那么怎样分析比赛呢？ [ 探索研究 ] 请研究如下问题：某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争夺一个出线权，火炬队目前的战绩是17胜13负（其中有1场以4分之差负于月亮队），后面还要比赛6场（其中包括再与月亮队比赛1场）；月亮队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场． (1)为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，那么它在后面的其他比赛中至少胜几场就一定能出线？ (3)如果月亮队在后面的比赛中3胜（包括胜火炬队1场）2负，那么火炬队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ (4)如果火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么月亮队在后面的比赛中的战果如何？ 【答案】(1)4场 (2)2场 (3)2场 (4)可能是5胜0负，可能是4胜1负（胜火炬队比赛），4胜1负（负火炬队少于3分） 【分析】题目主要考查一元一次不等式的应用及逻辑推理，理解题意是解题关键． （1）设火炬队在后面的比赛中要胜场，根据题意得出月亮队最多能胜20场，然后列出不等式求解即可； （2）设他在后面的比赛中胜场就一定能出线，根据题意得出月亮队还比赛（场），最多胜（场），然后列出不等式求解即可； （3）根据题意得出月亮队一共获胜15场，即可求解； （4）根据题意即可得出结果． 【详解】（1）解：为确保出线，设火炬队在后面的比赛中要胜场， 月亮队目前的战绩是15胜13负，后面还要比赛5场， 月亮队最多能胜20场， 为确保出线，设火炬队在后面的比赛中要获胜：， 解得；， 答：为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜4场； （2）设他在后面的比赛中胜场就一定能出线． 火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜高山队5分， 即火炬队15胜10负，月亮队12胜14负． 月亮队还比赛（场）， 最多胜（场）， ， 即． 为整数， 取2， 答：那么他在后面的比赛中至少胜2场就一定能出线． （3）月亮队在后面的比赛中3胜（包括胜火炬队1场）2负， 月亮队一共获胜15场， 火炬队在后面的比赛中至少要胜2场才能确保出线； （4）火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线， 月亮队在后面的比赛中战果可能是5胜0负，可能是4胜1负（胜火炬队比赛），4胜1负（负火炬队少于3分）． 压轴满分题十七、倍长中线模型问题 81．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键． （1）延长至E，使，连接则，证明，得出，进而判断出进而判断出，得出，即可得出结论； （2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长至E，使，连接 ∵点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． （2）解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 82．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 83．（24-25七年级下·上海闵行·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 84．（23-24七年级下·上海宝山·期中）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），．见解析 【分析】（1）根据即可求证； （2）设，延长至点，使，连接．证，在中利用三角形的三边关系即可求解； （3）延长至点，使得，连接，延长交于点．证、即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ． 在和中， ． （2）如图：设，延长至点，使，连接．   是的中线， ． 在和中， ， ， ，． 在中，， 即， ， 即． （3），． 证明：如图，延长至点，使得，连接，延长交于点．   是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ∴， ． ， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上，可得，． 【点睛】本题考查了全等三角形的常见模型―倍长中线模型，熟记模型的构成条件、求证过程及结论是解题关键． 85．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；②（2）见解析（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， 由外角定理得：， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，进而根据意义得到，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， ， ， ， 故选：B 2．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，先根据等边三角形性质得，，则，再根据得，，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，熟悉掌握不等式的运算法则是解题的关键． 根据心率的最高值和最低值列出不等式，再把年龄代入求解即可． 【详解】解：∵最佳燃脂心率最高值为，最低值为， ∴ ∴把年龄代入可得：， ∴， ∴不等式的解集为：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，熟知对顶角的性质是解题的关键．根据对顶角相等得出，进而求出的度数即可得解． 【详解】解：如图， ∵ ∵， ∴， ∴ 故选：C． 5．（2024·上海嘉定·一模）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的应用．甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离． 【详解】解：甲方案：在和中， ， ∴， ∴， 乙方案：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴甲、乙的方案均可行． 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和 对于，（是整数），有 真 【分析】本题考查对数字等式规律，命题和证明，解题关键是通过观察等式特征归纳出通用规律，再用代数方法化简等式两边证明规律成立． 观察题目中的等式，发现两个连续整数的平方差等于这两数的和，用符号表示该规律，并验证其正确性即可， 【详解】解：观察给出的例子，发现每个等式都是较大的数的平方减去较小的数的平方，结果等于这两个数的和．例如，，．因此，规律可以表述为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和． 设较大的数为，较小的数为，则规律可表示为：． 展开左边并简化：左边： ； 右边： ， ∵左边右边， ∴该命题是真命题； 故答案为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和；对于，（是整数），有；真． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期中）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 【答案】1 【分析】本题综合考查不等式组的整数解问题及分式方程的解的情况，首先解不等式组，确定x的范围，找到恰好包含2个奇数解的条件，确定a的范围，解方程并确保解为非负数，同时排 除使分母为零的情况，得到a的限制条件，求两个条件的交集，得到所有满足条件的整数a，求和即可． 【详解】解：，整理得：， 则不等式组的解为， 不等式组有且只有2个奇数解， ， ， 对应的整数a有：，，0，1，2，3， ，解得：， ， ， ，即， ， 则所有满足条件的整数的值有：，0，1，2， ， 故答案为：1． 8．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，点，，在同一条直线上，，且，，则 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，垂线，延长到，先根据垂直定义可得，利用角的和差可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】7或3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：7或3． 10．（2025·上海徐汇·一模）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ． 【答案】先变小后变大 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，由全等三角形的性质可得，，可得周长，即可求解． 【详解】解：∵点A与点F关于过点D的某条直线对称， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴周长， ∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大， ∴周长的变化规律是先变小后变大， 故答案为：先变小后变大． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）解不等式或不等式组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 13．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质， （1）根据可得答案； （2）延长至点G，使，连接，再证明，可得，进而证明，根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）将旋转至，可知，可证明，接下来可证，即可得出答案. 【详解】（1）解：. 故答案为：； （2）解：结论：.理由如下： 延长至点G，使，连接， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴； （3）解：将旋转至， 可知， ∴，， ∴， ∴， ∴. 14．（24-25七年级下·上海青浦·期中）背景知识：如图，在中，，若，则：． (1)解决问题： 如图 （1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即 ，由此可得线段、、之间的数量关系是： ； (2)类比探究： 将图 （1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明； (3)拓展应用： 将图 （1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）． 【答案】(1)，， (2)；证明见解析 (3)5 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键． （1）过点作，得到，判断出，确定为等腰直角三角形即可． （2）过点作于点，判断出，确定为等腰直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出，，得到为等腰直角三角形，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1过点作，与交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 如图（2）过点作，与交于点， 同（1）的方法得，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图（3）过点作，与交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：5． 15．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】； 张华的说法正确，理由见解析； 在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解． 根据折叠的性质可知； 根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前； 根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】解：根据折叠的性质可知， 故答案为：； 张华的说法正确， 证明：根据折叠的性质可知， 由可知， ， ； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 当灯转动秒时，灯转动了秒， 在灯P射线第一次到达之前，， 故答案为：； 解：灯的射线从转到需要的时间是秒， 在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒， 灯的射线转动的速度是每秒， 灯从转到需要的时间是秒， 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ∴ ， 解得：； 综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$