期末重难点真题特训之压轴满分题型（90题15个考点）-2024-2025学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（90题15个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、二元一次方程组与三元一次方程组的解 1．（24-25六年级下·上海长宁·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)方程组的解与具有“友好关系”，理由见解析 (2)；，或， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，熟知解二元一次方程组和解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）把方程组中两个方程相减即可证明，据此可得结论； （2）根据题意可得，解方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入方程中，并解方程求出a、b的正整数值即可得到答案． 【详解】（1）解：方程组的解与具有“友好关系”，理由如下： 得， ∴方程组的解与具有“友好关系”； （2）解：∵方程组中方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是正整数，即b为正偶数， ∴当时，；当，； 2．（24-25六年级下·上海虹口·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 3．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）下图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图． 将方程组中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…方程组n． (1)方程组1的解是________； (2)请依据方程组和它的解变化规律，直接写出方程组n______和它的解是______． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 【答案】(1) (2)， (3)，不符合 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是通过方程组集合及对应的方程组的解的集合得出具体的规律，从而解答问题． （1）用加减消元法消去项，得出的值，然后再用代入法求出的值； （2）根据方程组及其解的集合找出规律并解方程； （3）把方程组的解代入方程即可求的的值． 【详解】（1）， 得， ， 把代入①，得， ； （2）解得，；解得，； ∴第n个方程组为， 解得：； （3）将代入得， 解得， ∴该方程组为，它不符合（2）中的规律． 4．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 5．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【答案】（1）18；（3）3；（3）5分 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）由整体思想求值即可； （2）由整体思想求值即可； （3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 得：， 得：， ∴的值为18； （2）， 得，， ∴， 得，， ∴； （3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， 由于总分不变，得：， 由①得： ， 将②代入③得：， 解得：， 则原来一等奖比二等奖平均分多6分， 又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分， 则调整后一等奖比二等奖平均分数多（分）． 压轴满分题二、二元一次方程组的错解复原问题 6．（23-24六年级下·上海静安·期末）在解方程组时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的，而得到解为，乙同学看错了方程组中的，而得到解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组；把 代入方程组的第二个方程，把 代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于，的方程组，解方程得出，的值，然后代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：将代入得，， 解得： 将代入得，， 解得： ∴， ∴原方程组为： 得： ③ 得， ∴ 将代入②得， 所以原方程组的解为 7．（23-24六年级下·上海金山·期中）甲、乙两同学同时解关于x，y的方程组，甲看错了m，解出的结果是，乙看错了n，解出的结果是，你能确定m，n的值和原方程组的解吗？ 【答案】，，原方程组的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用：把代入，得，求得；把代入，得，求出，得出方程组为，求出方程组的解即可． 【详解】解：能． 把代入，得， 解得． 把代入，得， 解得． ∴原方程组为 ，得． 把代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 8．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． （1）由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值； （2）将a，b的值代入，利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 9．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 10．（2024·上海宝山·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 压轴满分题三、二元一次方程组的特殊解法 11．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 12．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，4，1， (2)； (3)． 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 13．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确理解题中消元的方法是解题的关键； （1）仿照题中消元方法解方程组即可； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 得：，即③， 得：④， 得：， 把代入③得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：当时，． 14．（24-25六年级下·上海长宁·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 【答案】[模仿应用]；[解决问题]30元；[拓展延伸] 【分析】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键． [模仿应用]根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值； [解决问题] 设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，列出方程组，由先求出，再求出，即可得出答案； [拓展延伸]根据题意得出方程组，由求出，即可求出的值． 【详解】[模仿应用]解： 由，得； [解决问题] 解：设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，根据题意，得 ，得，所以． 所以购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需要30元． [拓展延伸] 因为， 所以①，② ①②组成方程组得， ，得． 15．（24-25六年级下·上海崇明·阶段练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 压轴满分题四、百分数的计算综合应用 16．（2025六年级下·上海·专题练习）淘气的爸爸要出差，他购买了一张12月15日晚上的火车票，票价500元．12月14日下午5：00他接到通知出差任务取消，于是他在当天晚上办理了退票．按照规定，火车票退票需要扣除手续费，规定如下表： 退票时间 开车前48小时以上 开车前小时 开车前24小时以内 手续费占票价的百分比 (1)淘气的爸爸退票后可以拿回多少元？ (2)你还有更好的退票方案吗？把你的思考过程写出来． 【答案】(1)400元 (2)见详解 【分析】本题考查求一个数的百分之几是多少，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据题意，淘气的爸爸在开车前24小时以内退票，需要扣除退票手续费，把原来票价看作单位“1”，扣除手续费的，还剩，再用原来的票价乘．就是淘气爸爸退票后可以拿回的钱数． （2）由题可知，越早退票，拿回的钱数越多，据此解答． 【详解】（1）解：12月14日晚上到12月15日晚上是24小时，火车票发车时间是12月15日晚上，开车前时间为： （小时） （元） 答：淘气的爸爸退票后可以拿回400元． （2）解：他接到出差通知就办理退票，12月14日下午到12月15日下午是24小时，从12月15日下午到12月15日晚上，经过时间是： 20时时时 则开车前时间为：（小时） 开车前27小时在开车前24至48小时范围内，所以手续费占票价的百分比是， 拿回的钱数为： （元） 答：淘气的爸爸接到出差通知就退票可以拿回450元． 17．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）有四种计算机装置： 装置A：将输入的数乘以；装置B：将输入的数加上3； 装置C：将输入的数除以；装置D：将输入的数减去6．这些装置可以连接． 例如：装置A后面连接装置B，就写成，输入4，它的结果是；装置B后面连接A，就写成，输入4，其结果是． (1)装置连接，输入20，结果是多少？ (2)装置连接，输入什么数，结果是100？ 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题主要考查了与百分数有关的计算，正确理解各个装置的定义是解题的关键． （1）根据定义可得算式，计算出对应的结果即可得到答案； （2）根据题意结合加减互为逆运算，乘除互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴装置连接，输入，结果是100． 18．（2025六年级下·上海·专题练习）阳光小学数学思维社团进行了一次测试，这次测试成绩的统计图表损坏了（如图），请利用图表中仅存的数据信息解答下列各题． (1)数学思维社团一共有多少人参加了这次测试？ (2)数学思维社团这次测试成绩的优秀率是多少？ (3)考试时，如果社团中一个同学因病请假，第二天这位同学进行了补考，他考了94分，那么这次测试的平均分约（填“提高”或“降低”）（ ）分．（保留一位小数） 【答案】(1)50人； (2)； (3)提高约0.2分 【分析】本题主要考查已知一个数的百分之几是多少，求这个数、求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题）、平均数的意义及求法． （1）从成绩统计表和统计图中可知，及格的人数占总人数的，将总人数看成单位“1”，则不及格的人数占总人数的，不及格的人数是2人，即已知一个数的百分之几是多少，求这个是数用除法得出总人数． （2）优秀率＝优秀的人数÷总人数． （3）根据题目中可知，本次测试的平均分是83.5分，这位同学补考的成绩高于平均分，则最后的平均分会提高；反之这位同学补考的成绩高于平均分，则最后的平均分会降低． 根据总分=平均分×人数得出50人的总分，再加上94得出现在的总分，最后用总分除以现在的人数（51人）得出平均分．再将前后两个平均分相减即可． 【详解】（1）解： （人）， 答：数学思维社团一共有50人参加了这次测试． （2）解：， 答：数学思维社团这次测试成绩的优秀率是． （3）解：（分）， （分）， （分）， （分）； 则这次测试的平均分提高约0.2分． 19．（2025六年级下·上海·专题练习）2023年9月21日下午，面向全国青少年的中国空间站天宫课堂第四课在梦天实验舱开课，这次授课呈现了四个实验．小刚对同学们最感兴趣的实验情况进行了调查，并将部分调查结果记录在了下面的统计图表中． 实验 感兴趣人数 A（球形火焰实验） 24人 B（奇妙“乒乓球”实验） 42人 C（动量守恒实验） 18人 D（观陀螺实验） （ ）人 (1)把不完整的统计表和统计图补充完整，并在下面写出思考过程． (2)先把下面的问题补充完整，再解答出来． 对（ ）实验最感兴趣的学生人数比对（ ）实验最感兴趣的学生人数多百分之几？ 【答案】(1)见详解 (2)观陀螺，动量守恒； 【分析】本题考查了扇形统计图的特点及绘制、求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题）、已知一个数的百分之几是多少，求这个数，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． （1）从图中可知：以参加调查的总人数为单位“1”，已知A（球形火焰实验）有24人，占参加调查的总人数的，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，用即可求出参加调查的总人数．D（观陀螺实验）占参加调查的总人数的，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用参加调查的总人数，即可求出D（观陀螺实验）的人数．已知B（奇妙“乒乓球”实验）有42人，根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，用B（奇妙“乒乓球”实验）人数÷参加调查的总人数即可．再根据数据把不完整的统计表和统计图补充完整即可． （2）提出问题为：对观陀螺实验最感兴趣的学生人数比对动量守恒实验最感兴趣的学生人数多百分之几？对动量守恒实验最感兴趣的学生人数为单位“1”，根据求一个数比另一个数多百分之几，用除法计算，用观陀螺实验和动量守恒实验的人数差÷动量守恒实验的人数即可． 【详解】（1）参加调查的总人数：（人） B（奇妙“乒乓球”实验）： D（观陀螺实验）人数：（人） 实验 感兴趣人数 A（球形火焰实验） 24人 B（奇妙“乒乓球”实验） 42人 C（动量守恒实验） 18人 D（观陀螺实验） 36人 （2）解：对观陀螺实验最感兴趣的学生人数比对动量守恒实验最感兴趣的学生人数多百分之几？ 答：对观陀螺实验最感兴趣的学生人数比对动量守恒实验最感兴趣的学生人数多100%． 20．（24-25六年级下·上海·阶段练习）我国的个人所得税中的工资、薪金所得，适用超额累进7级税率，税率情况见下表 税率表：工资、薪金所得适用个人所得税累进税率表 级数 全月应纳税所得额 税率 速算扣除数（元） 1 不超过1500元的 0 2 超过1500元至4500元的部分 105 3 超过4500元至9000元的部分 4 超过9000元至35000元的部分 1005 6 超过35000元至55000元的部分 2755 6 超过55000元至80000元的部分 35% 5505 7 超过80000元的部分 13505 说明：本表只含了由纳税人负担的工资、薪金所得部分 一般按照以下的原则计算税后工资、薪金收入； 应纳税所得额应发工资、薪金四金起征点； 四金应发工资、薪金； 起征点元； 应纳税额有两种计算的方法： 方法一：按级数超额累进税率计算； 方法二：应纳税额应纳税所得额适用税率速算扣除数． 税后工资、薪金应发工资、薪金四金应纳税额 举例：应发工资、薪金为8000元． 四金（元） 应纳税所得额（元） 应纳税额 方法一：（元） 方法二：（元） 税后工资、薪金（元） (1)请根据表格所给的信息求出第3级的“速算扣除数”； (2)某公司小陈现在每月缴纳四金1680元，下月起应发工资、薪金将提高，请求出下月起小陈每月的税后工资、薪金数额． 【答案】(1)555元 (2)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，有关税率的百分数计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速算扣除数上一级最高应纳税所得额（本级税率上一级税率）上一级速算扣除数即可求解； （2）分别计算下月应发工资，四金，应纳税所得额，应纳税额，即可计算税后工资． 【详解】（1）解：元； （2）解：本月工资为：元， 下月工资为： (元)， 四金：元， 应纳税所得额：元 应纳税额：元 税后工资：元． 压轴满分题五、统计图表的综合应用 21．（23-24六年级下·上海长宁·期末）如图是某班学生三种上学方式的人数统计图（两图均不完整），如果步行的学生中女生和男生的人数比是，那么步行的男生有多少人？ 【答案】步行的男生有6人 【分析】此题考查了统计图和比例，首先求出总人数，然后减去乘车和骑车的人数即可求出步行的人数，然后乘以男生所占的比例即可求解．解题的关键是正确列出算式． 【详解】解： （人） （人） 答：步行的男生有6人． 22．（2025六年级下·上海·专题练习）“双减”政策实施后，某校的课外托管服务工作开展得有声有色．该校六年（1）班老师根据学生选择的课外服务项目情况（每人只选一个项目），绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据下面信息把统计表填写完整．（写出计算过程） 小组 人数 占总人数的百分比 体育小组 音乐小组 8 美术小组 10 【答案】见详解 【分析】本题考查了扇形统计图，根据样本数量以及所占比例求得总量，以及根据样本数量除以总数量求得相应比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出音乐小组和美术小组所占比例，然后利用音乐和美术小组的人数对应百分率总人数，再利用总人数减去美术音乐小组的人数得到体育小组的人数，再利用音乐小组的人数总人数得到音乐小组对应百分率；美术小组人数总人数得到美术小组对应百分率，据此计算后填表即可． 【详解】解：音乐小组和美术小组所占比例为：， 那么总人数为：（人）， 那么体育小组人数为：（人）， 音乐小组人数所占比例：， 美术小组人数所占比例： 小组 人数 占总人数的百分比 体育小组 32 音乐小组 8 美术小组 10 统计表填写如下． 23．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）实验小学开展以“绿色出行，关爱健康”为主题的教育活动．为了解师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了老师和学生共90人，并制成两种统计图（如图）．图中部分信息被遮挡住了，请根据已有信息，回答下面问题． (1)如果实验小学全校共有师生1800人，请你推算：全校步行出行的师生共多少人？ (2)根据图1和图2，随机抽查的教师有几人？ 【答案】(1)300人 (2)30人 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图： （1）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （2）用抽查的总人数减去抽查的学生的人数，进行求解即可． 【详解】（1）解：（人）； （2）（人）． 24．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）为了解人们平时最喜欢哪种支付方式，某公司每年都随机调查本公司固定数量的员工，统计他们平时最喜欢使用的支付方式（每人选择1项）．下面是相关的统计情况，请仔细观察下面两个统计图并回答问题． (1)公司2023年调查的总人数是_____人． (2)观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈____趋势． (3)2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多百分之几？ (4)淘淘的妈妈在微信平台支付账单明细中显示表示进账元，则支出元应显示______元． 【答案】(1)300 (2)上升 (3) (4) 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图、相反意义的量等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1））利用2023年最喜欢微信支付的人数除以其所占的百分比即可得； （2）观察折线统计图即可得； （3）先根据扇形统计图求出2023年最喜欢使用支付宝平台支付的人数，再利用2023年最喜欢使用微信平台支付的人数减去最喜欢使用支付宝平台支付的人数，然后除以最喜欢使用支付宝平台支付的人数即可得； （4）根据进账与支出是一对具有相反意义的量，由此即可得． 【详解】（1）解：（人）， 即公司2023年调查的总人数是300人， 故答案为：300． （2）解：观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈上升趋势． 故答案为：上升． （3）解：（人）， ， 答：2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多． （4）解：∵进账与支出是一对具有相反意义的量， ∴显示表示进账元，则支出元应显示元． 故答案为：． 25．（23-24六年级下·上海静安·期末）笑笑想比较自己所在六（1）班的男生和女生跳绳成绩．体育课上，笑笑随机记录了六（1）班男生和女生各20名同学一分钟跳绳的个数．（单位：个/1分钟） 男生：89，96，103，92，77，87，109，97，45，92，76，128，98，57，112，79，91，104，164，198； 女生：132，120，118，97，102，127，91，115，104，114，131，56，165，98，72，137，150，98，159，148． (1)请按分数段整理数据表，并补全条形统计图．（注：这里的60～80表示大于等于60同时小于80） 个数/1分钟 60个以下 60～80 80～100 100～120 120～140 140个以上 男生 2                          1 2 女生 1                                5       (2)如果一分钟跳绳在140个以上（含140个/1分钟）算优秀，那么男生和女生的优秀率分别是多少？ (3)你认为男生和女生的跳绳成绩哪一个更好一些，请说明理由． (4)如何提高跳绳成绩，你有什么建议吗？ 【答案】(1)3，8，4，1，4，5，4 (2)男生和女生的优秀率分别是10%、20% (3)女生跳绳成绩更好一些，理由见解析 (4)坚持跳绳训练；注重节奏和基础技巧；强化核心肌肉 【分析】本题考查的是从统计表与统计图中获取信息，理解关联信息是解本题的关键； （1）观察数据可得，男生60～80、80～100、100～120有多少个，女生60～80、80～100、100～120、140以上有多少个； （2）根据优秀率优秀人数总人数即可得到答案； （3）可根据优秀率判断男生和女生的跳绳成绩哪一个更好一些； （4）写出合理建议即可． 【详解】（1）解：观察数据可得，男生：60～80有3个，80～100有8个，100～120有4个， 女生：60～80有1个，80～100有4个，100～120有5个，140以上有4个， ， （2）观察表格可得，一分钟跳绳在140个以上（含140个/1分钟）的男生有2人、女生有4人， 男生的优秀率， 女生的优秀率， 答：男生和女生的优秀率分别是10%、20%； （3）∵女生的优秀率比男生的优秀率高 ∴女生跳绳成绩更好一些； （4）①坚持跳绳训练，②注重节奏和基础技巧，③强化核心肌肉． 压轴满分题六、比与比例的应用 26．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）许多食物中含有蛋白质，如鸡蛋、牛肉、花生、黄豆等，根据下表中提供的信息，利用比的知识判断：这四种食物中，哪种食物的蛋白质含量最高，哪种食物的蛋白质含量最低． 食物 鸡蛋 牛肉 花生 黄豆 蛋白质含量 【答案】这四种食物中，黄豆的蛋白质含量最高，鸡蛋的蛋白质含量最低 【分析】本题考查了比的性质，熟练掌握比的性质是解题关键．将这四种食物中，蛋白质含量的比值的比例后项化成相同的数，再进行比较即可得． 【详解】解：鸡蛋的蛋白质含量为， 牛肉的蛋白质含量为， 花生的蛋白质含量为， 黄豆的蛋白质含量为， 因为， 所以这四种食物中，黄豆的蛋白质含量最高，鸡蛋的蛋白质含量最低． 27．（23-24六年级下·上海长宁·期末）六年级成立了英语兴趣小组，在这个小组中，是男生，女生有10人，这10人占六年级全体女生的，未参加英语兴趣小组的学生与六年级学生总数的比为． (1)这个英语兴趣小组共有男生多少人？ (2)六年级共有男生多少人？ (3)后来，未参加的同学中有部分女生也来参加英语兴趣小组，此时英语兴趣小组中男生人数比女生人数的3倍少4人，求参加英语兴趣小组的女生一共有多少人？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了比例的应用，一元一次方程的应用（其他问题）等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式或方程是解题的关键． （1）先求出该英语兴趣小组的总人数，减去该英语兴趣小组中女生的人数，即可求出该英语兴趣小组中男生的人数； （2）先求出六年级女生的总人数，再求出六年级的学生总数，用后者减去前者，即可求出六年级男生的总人数； （3）设后续参加英语兴趣小组的女生有人，依据题意可得，解方程即可求出的值，进而可求出参加英语兴趣小组的女生总人数． 【详解】（1）解：由题意得： 该英语兴趣小组的总人数为： （人）， 该英语兴趣小组中男生的人数为： （人）， 答：这个英语兴趣小组共有男生人； （2）解：由题意得： 六年级女生的总人数为： （人）， 六年级的学生总数为： （人）， 六年级男生的总人数为： （人）， 答：六年级共有男生人； （3）解：设后续参加英语兴趣小组的女生有人， 依据题意可得： ， 解得：， 此时英语兴趣小组中的女生人数为： （人）， 答：参加英语兴趣小组的女生一共有人． 28．（24-25六年级下·上海·阶段练习）一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：，．而在（2）中相应的比例是，．又知，长方形的宽减去D的宽所得到的差，与的长减去D的长所得到的差之比为．求大长方形的面积． 【答案】120平方厘米 【分析】本题考查了比的基本应用，能够读懂题意是解题关键； 设大长方形的长为x厘米，宽为厘米，进而得到的长，进而算出x，y，即可得解． 【详解】解：设大长方形的长为x厘米，宽为厘米， ∵在（1）中小长方形面积的比是：，． ∴A，B的长之比为，A，C的面积比为， ∴则C，D的宽之比为，A，C的长之比为， ∴D的宽为，D的长为， ∵在（2）中的面积比是，． ∴的长之比为，的面积比为， ∴则的宽之比为，的长之比为， ∴的宽为，的长为， 又∵长方形的宽减去D的宽所得到的差，与的长减去D的长所得到的差之比为． ∴， 解得，则大长方形的宽为厘米， ∴大长方形的面积为：平方厘米． 29．（24-25六年级下·全国·假期作业）公园里新建了一个“花鸟乐园”．如图，冬冬和小刚站在点处，打算绕“花鸟乐园”外围步行一圈．小刚说：“冬冬，我们背向而行，看看待会儿会在哪个地方相遇．”说完小刚就出发了．而冬冬观赏了一会儿小鸟，等小刚走到点，他才出发．已知小刚和冬冬的速度比是，当他俩相遇时，小刚和冬冬所走的路程比是．这个“花鸟乐园”一周的长度是多少米？（冬冬和小刚的速度不变） 【答案】378米 【分析】本题考查了比例的应用，相遇问题中，时间一定时，两人的速度比就是两人所走的路程比．将这个乐园的周长设为未知数，两人相遇时，两人恰好走完这个乐园的一周．同时，两人的速度比恰好等于小刚的路程减去70米比上冬冬的路程，据此列比例解比例即可． 【详解】解：设这个“花鸟乐园”一周的长度是米． ， 解得，． 答：这个“花鸟乐园”一周的长度是378米． 30．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．若齿轮的转速为7000圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率（精确到） 【答案】(1)1500圈/分 (2) 【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的反比例关系及降速率计算，解题关键是依据啮合齿轮同时间齿数转过相同列比例式，利用叠接齿轮转速相等过渡求解，准确用降速率公式计算． （1）根据齿轮传动原理，相互啮合的齿轮，其转速与齿数成反比例关系，即齿数越多，转速越慢，且转速与齿数的乘积是一个定值，列出比例解答即可； （2）根据降速率即可解答． 【详解】（1）解：设齿轮的转速为圈/分． 因为，齿轮与齿轮啮合， 所以，的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积，列比例式得： （圈/分） 因为，由于齿轮和齿轮叠接，它们的转速相同，所以齿轮的转速也是5000圈/分． 设齿轮的转速为圈/分．齿轮与齿轮啮合， 的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积，列比例式得： （圈/分）． （2）解：因为齿轮转速为7000圈/分，D转速为1500圈/分， 根据题意得： ． 压轴满分题七、求扇形的周长和面积 31．（24-25六年级下·上海·期中）如图，已知点B、C在线段上，四边形、四边形都是边长为4的正方形，其中，以A为圆心，正方形的边长4为半径画弧，再以B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，形成右下图． (1)求此阴影部分的周长：（取3.14） (2)求图中阴影部分面积与长方形面积的比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积公式，比的应用，正确理解图形是解题的关键． （1）阴影部分周长为，以及弧和弧的长度和； （2）先由长方形面积公式求出长方形面积，阴影部分面积为长方形的面积加上扇形的面积，再减去扇形的面积，根据扇形面积公式求解扇形面积，再求比． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为：， 答：阴影部分的周长为； （2）解：长方形的面积， 阴影部分的面积为：， ∴阴影部分面积与长方形面积的比为：， 答：阴影部分面积与长方形面积的比为． 32．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）（1）如图，四边形是长方形，长为10厘米，宽为6厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留） （2）如右图，正方形边长为2，为边上的中点，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）周长为；面积为 平方厘米；（2） 【分析】本题考查了组合图形的周长及面积，解题的关键是阴影部分之间的关系． （1）根据图得出周长为两个弧形的长与两条边的和；面积为两个扇形的面积减去长方形的面积； （2）取的中点E，连接，过点G作，，根据题意得出，四边形为正方形，结合图形找出各个三角形之间的关系求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：大扇形弧长：， 小扇形弧长： 阴影部分的周长； ， 平方厘米； （2）取的中点E，连接，过点G作，，如图所示： ∵正方形边长为2，为边上的中点， ∴，四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故阴影部分的面积为． 33．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、和． （1）请你直接写出__________．（结果保留） （2）请你直接将和的数量关系填在横线上：__________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得__________．（结果保留） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用半径是4圆心角是90°的扇形面积减去直角边长是4的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积； （2）用半径是2圆心角是90°的扇形面积减去直角边长是2的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得S甲和S乙的数量关系，进而可知阴影部分面积； （3）用半径是1圆心角是90°的扇形面积减去直角边长是1的等腰角三角形的面积可得阴影部分面积的十六分之一，进而可知丙的面积． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）∵ ， 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解本题的关键是能够熟练掌握扇形面积公式． 34．（23-24六年级下·上海奉贤·期末）顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） (1)这个花坛的周长是多少米？ (2)这个花坛的面积是多少平方米？ (3)如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 【答案】(1)40米 (2)128平方米 (3)3920元 【分析】（1）花坛的周长等于四个扇形的弧长加上4个正方形的边长； （2）花坛的面积等于5个正方形的面积加上4个扇形的面积； （3）分别求出阴影部分和空白部分的面积，即可得到花费的总费用． 【详解】（1）解：这个花坛的周长＝2π×4＋4×4＝8×3＋16＝40（米）； （2）解：这个花坛的面积＝π×4²＋5×4×4＝48＋80＝128（平方米）； （3）解：，， 阴影部分的面积：， 空白部分的面积：128-60＝68（平方米）， 购买花草的费用为：20×60＋40×68＝3920（元）， 答：学校购买花草的总费用为3920元． 【点睛】本题考查扇形的面积、扇形的弧长，解题的关键是综合运用相关知识解题． 35．（2024六年级下·上海·专题练习）正方形的边长为4厘米． (1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积． (2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积． (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积． 【答案】(1)3.44 (2)4.56 (3)4 【分析】（1）因为四边形为正方形，所以，可通过可求出阴影部分的面积；（2）如图2，连接，，交点为O，则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④，则通过可求出阴影部分的面积；（3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②，则，求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴ (平方厘米)； （2）解∶如图2，连接，，交点为O， 则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④， 则 (平方厘米)； （3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②， 则， ∵厘米， ∴（平方厘米）， ∴（平方厘米）． 【点睛】本题考查了与圆有关的计算，阴影部分的面积等，解题关键是能够将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的差或和等． 压轴满分题八、圆的周长与面积应用 36．（2025六年级下·上海·专题练习）中国园林的门洞是一道独特的风景，也是中国园林中充满诗意的点睛之笔，门洞起到使两个分隔的园景联系起来的妙用．如下图所示，花瓣状门洞的边是由个直径相等的半圆弧组成的．这个门洞的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长：米，面积：平方米 【分析】本题主要考查了圆的周长、圆的面积，这个图形的周长等于个直径是米的圆的周长之和，根据圆的周长公式：代入数据列式计算即可；这个图形的面积等于个直径是米的圆的面积加上一个边长是米的正方形的面积，据此结合正方形的面积边长边长，圆的面积公式代入数据列式计算即可． 【详解】解：周长： （米） 面积： （平方米） 答：这个门洞的周长是米，面积是平方米． 37．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）某运动场正在建设中，运动场两端是半圆形.中间是长方形，长方形的长是米，宽是米．（取） (1)求这个运动场的周长是多少米？ (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑塑胶跑道和草坪的面积比为，每平米塑胶的价格为元，比每平米草坪的价格高，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪共多少元？ 【答案】(1)米； (2)元． 【分析】（）周长等于直径为米的圆周长加上米即可； （）求出草坪的面积和草坪的单价即可； 本题考查认识平面图形，掌握圆周长和面积的计算方法是解题的关键． 【详解】（1） 答：运动场周长为米； （2）（元）， （元），（元）， （元） 答：一共要元． 38．（24-25六年级下·上海金山·阶段练习）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)能够浇灌的最大面积是平方米 (2)能够浇灌的最大面积是平方米． 【分析】本题考查不规则图形的面积，解题的关键是画出图形，掌握圆形面积公式的运用． （1）求出半径是11米的圆面积即可； （2）画出图形，由圆面积公式即可计算得到答案． 【详解】（1）解：某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”， 能够浇灌的最大面积是（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米； （2）解：喷头可在边长为20米的正方形的四条边上自由运动，能够浇灌的最大面积如图： “自动旋转喷头”射程为12米， 米， （平方米），（平方米），正方形（平方米）， 能够浇灌的最大面积是（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米． 39．（23-24六年级下·上海崇明·期中）小明房间窗户的装饰物如图1所示，它由两个四分之一圆组成． (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装饰物，如图2所示（由两个四分之一圆和一个半圆组成），请用代数式表示图2窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (3)比较（1）和（2）中哪种设计射进阳光的部分的面积更大，大多少？ 【答案】(1) (2) (3)图（2）设计射进阳光的部分的面积更大，大 【分析】本题考查组合图形的面积计算特别是长方形、圆的面积公式，仔细观察图形的特征是解决问题的关键． （1）根据长方形的面积减去半圆的面积即可求解； （2）根据长方形的面积减去一个圆的面积即可求解； （3）由（1）（2）所得代数式比较即可． 【详解】（1）解：由图可得：能射进阳光的部分的面积：； （2）解：由图可得：能射进阳光的部分的面积：； （3）解：由（1）；（2）； ， 故图（2）设计射进阳光的部分的面积更大，大． 40．（24-25六年级下·上海金山·阶段练习）李明家的一扇门，为了达到既美观又耐用，需要让装修公司装上形状如图所示的装饰木条（也包括围成阴影部分的木条，木条的宽度忽略不计，其他部分都安装上玻璃，阴影部分是在玻璃上喷上彩色的油漆．（，单位：） (1)求这扇木门所用木条的总长度是多少厘米？ (2)求喷色部分的面积是多少平方厘米？ (3)若木门安装的玻璃按每平方米400元，涂色部分的油漆按每平方米2000元，木条按每米100元，一个门的安装费用是木条用料费用的，李明的爸爸又与装修公司讨价还价后，装修公司又给了总费用减免的优惠，李明家这扇门安装完毕共需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了圆、扇形的面积与周长．解题的关键在于正确的计算各部分的周长与面积． （1）把各部分的木条相加求解即可； （2）用割补法求解即可； （3）根据计费方式，把各部分费用相加即可． 【详解】（1）解：木门的装饰条的长为：； 答：这扇木门所用装饰条的总长度是1350厘米． （2）解：如图，由题意知， （平方厘米）． 答：喷色部分的面积是1250平方厘米． （3）解：玻璃部分费用：元， 喷色部分费用：元， 木条及安装费：元， 优惠后费用：元， 答：李明家安装这扇门共需要元． 压轴满分题九、根据圆的周长解决路程问题 41．（23-24六年级下·上海静安·课后作业）一辆车的车轮直径是1米，那么： （1）它在地面上转一圈行了多少路程？ （2）如果它每分钟转200圈，那么它每分钟可以行驶多少路程？ （3）按上面的速度，小明从家到学校要5分钟，求小明家到学校的距离． 【答案】（1）米；（2）200米；（3）1000米 【分析】（1））它在地面上转一圈行的路程为车轮的周长,根据直径求出半径，再结合圆的周长公式求周长即可； （2）每分钟行驶的路程 = 每一圈的长度 × 圈数,根据（1）中结论，可求200圈总的路程； （3）根据路程 = 速度×时间解题即可. 【详解】（1）C = πd = ×1 = （米），所以它在地面上转一圈行了米。 （2）×200 = 200（米），所以每分钟可以行驶200米。 （2）路程 = 速度×时间 = 200×5 = 1000（米） 所以小明家到学校的距离为1000米。 【点睛】本题考查有关圆、路程的应用题，是重点考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键. 42．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，在直线l上有一个边长为8cm的正方形和一个直径为4cm的圆O，圆O紧贴着正方形的边． (1)如图（1），正方形保持不动，圆O沿直线l以每秒2厘米的速度向右匀速滚动．从初始位置到圆O恰好离开正方形时停止滚动（即到达圆的位置），在这个过程中圆O扫过的面积是多少？这个过程共用了多少秒？ (2)如图（2），圆O沿着正方形外侧按照的方向匀速滚动，碰到直线l停止滚动（即到达圆的位置）．从初始位置到停止滚动的过程，圆心O经过的路程是多少？ 【答案】(1)在这个过程中圆O扫过的面积是平方厘米；共用了6秒； (2)厘米 【分析】本题考查了圆的面积和周长． （1）根据题意画出图形，在这个过程中圆O扫过的面积是长方形的面积+两个半圆的面积，这个过程的距离为的长，据此求解即可； （2）根据题意画出图形，圆心O转过3条直边，2个90度角的圆弧，据此求解即可． 【详解】（1）解：在这个过程中圆O扫过的面积是(平方厘米)， 这个过程共用了（秒）； ； （2）解：如图，圆心O经过的路程是（厘米） ． 43．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图：两根0.9米长的绳子分别系着黑白两个重量大小完全相同的小球（直径为0.2米），现将黑色小球拉至图中位置放手，之后黑色小球与白色小球发生第一次碰撞，碰撞后黑色小球静止白色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与黑色小球发生第二次碰撞，碰撞后白色小球静止黑色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与白色小球发生第三次碰撞，…像这样运动．求：当第11次碰撞发生时，黑色小球荡过的路程．（已知每次碰撞后，被碰撞小球荡起的最大角度都变为碰撞前碰撞小球所达到最大角度的一半） 【答案】2.62米 【分析】根据题目中运动方式，每奇数次碰撞前后黑色小球发生运动且运动路径是为半径是1，圆心角为的弧长，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，绳长0.9米，小球直径0.2米 所以小球运动路径的路程半径为0.9+0.1=1米 第一次碰撞前黑色小球发生运动，其运动路程为： 第三次碰撞前后黑色小球发生运动，其运动路程为： 第五次碰撞前后黑色小球发生运动，其运动路程为： … 第11次碰撞前后黑色小球发生运动，其运动路程为： ∴黑色小球的运动路程为： = （米） 【点睛】本题考查弧长的计算，正确理解题意分析出小球运动路径的圆心角和半径，正确计算是解题关键． 44．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知圆O的半径为r，等边三角形的边长为．如下图，圆O按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． (1)当圆O第一次回到原来位置时，圆O绕圆心滚动了几圈？ (2)当圆O第三次回到原来位置时，圆心O走过的路程是多少？ (3)假设圆O从中点位置开始滚动，当圆心O走过的路程为时停止，问：圆O绕圆心滚动了多少圈？ 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）求出圆O的周长和等边三角形的周长即可解得． （2）圆O第三次回到原来位置时，走了三个等边三角形的周长． （3）求除以圆的周长即可解得． 【详解】（1）根据题意可得圆O的周长， ∵等边三角形的边长为， ∴等边三角形的周长为 ∴（圈） 答：圆O绕圆心滚动了3圈． （2）当圆O第三次回到原来位置时， 圆心O走过的路程是， （3）， 答：当圆心O走过的路程为时停止滚了圈． 【点睛】此题考查了圆的周长，解题的关键是熟悉圆的周长公式． 45．（24-25六年级下·上海普陀·期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）年龄； 肥胖程度的计算公式：． 一般的，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 (1)小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ (2)为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑8圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（取3.14）． (3)小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为550千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）体重（千克）跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量。他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 【答案】(1)是肥胖，属于轻度肥胖 (2)能满足减重条件 (3)至少要跑圈 【分析】本题考查了圆的周长公式，百分数的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先计算出标准体重，再由肥胖程度公式计算即可得解； （2）先求出跑道周长，再求出总路程，分别计算出第1个10分钟、第2个10分钟、第3个10分钟所跑的路程，结合题意判断即可； （3）先求出跑步距离，从而即可得出圈数． 【详解】（1）解：是肥胖，属于轻度肥胖， 标准体重为：（千克）， 肥胖程度为：，属于轻度肥胖； （2）解：跑道周长：（米）， 总路程为：（米）， 满足大于3千米， 第1个10分钟跑的路程：米， 第2个10分钟跑的路程：米， 第3个10分钟跑的路程：米， 米米， 故能满足减重条件； （3）解：跑步距离千米， 米， 圈， 故至少要跑圈． 压轴满分题十、求不规则图形的面积 46．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习）（组合图形求面积）如图，在边长为12的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是多少？（单位：）    【答案】阴影部分的面积是 【分析】本题考查了组合图形的面积，解题的关键是得出阴影部分面积与空白部分面积的关系．如图，正方形中去掉中心的长方形后，剩下的阴影部分的面积与空白部分的面积相等．据此解答即可． 【详解】解：如图：    平方厘米， 平方厘米， 答：阴影部分的面积是82平方厘米． 47．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）（1）求阴影部分的周长． （2）如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积．（，四舍五入，结果保留两位小数．）    【答案】（1），（2） 【分析】（1）首先求出，大半圆的半径，然后运用弧长公式直接计算即可解决问题； （2）阴影部分的面积正方形面积半圆面积的面积的面积． 【详解】解：（1）如图：    （2） 【点睛】该题主要考查了弧长公式及其应用问题、考查扇形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求出阴影部分的面积． 48．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，是某个运动场跑道图，每条跑道宽1米，共6个跑道，最里侧半圆的直径为18米，直跑道长90米． （1）若给6条跑道铺设塑胶，问所需塑胶的面积是多少平方米？ （2）若给运动场非跑道区域植上价格为每平方米100元的草皮，共需多少元？ 【答案】（1）所需塑胶的面积是平方米；（2）共需187434元 【分析】（1）根据所需塑胶的面积等于两个长方形面积加一个圆环的面积，利用长方形及圆环的面积公式即可得答案； （2）非跑道区域的面积是一个长方形与一个圆形的面积的和，利用面积公式可求出非跑道区域的面积，再根据草坪每平方米100元即可得答案． 【详解】（1）（平方米）， （平方米）， （平方米）． 答：所需塑胶的面积是平方米． （2） （元）． 答：共需187434元． 【点睛】本题考查长方形、圆环的面积及圆的面积，S长方形=ab（a、b为长方形的长和宽），S圆=（r为半径），S圆环=（R为大圆半径，r为小圆半径），熟练掌握常用图形的面积公式是解题关键． 49．（23-24六年级下·上海长宁·期末）阅读理解：对称添补法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形．原来图形的面积就是这个新图形面积的一半．例如：求图1阴影部分的面积，可以在图1下方作关于直线对称的扇形，那么图2阴影部分面积的一半就是所求阴影部分的面积． 请根据上述解题方法，解决下面的问题： 如图3，两个正方形、正方形并排放置，．以点为圆心，为半径画弧．图中，阴影部分的面积是5.7平方厘米，求正方形的面积．（取3.14） 【答案】20平方厘米 【分析】本题考查圆面积的计算．根据阅读理解的方法在下方作关于对称的扇形，根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积求解即可． 【详解】解：如图，在下方作关于对称的扇形， 则阴影部分面积平方厘米，，， 设正方形为对角线a，则面积为， ∴， 化简得， 即正方形的面积为20平方厘米． 50．（23-24六年级下·上海松江·期末）某小区要建造一个正方形小广场，其方案设计如图1所示，正方形小广场地面的边长是40m，中心建一直径为20m的圆形花坛，广场四角各建一个边长为10m的小正方形花坛，图中阴影部分铺设广场砖． (1)计算阴影部分的面积； (2)圆形花坛和小正方形花坛平均每平方米造价为200元，广场砖平均每平方米造价为50元，完成这个工程需要多少元？ (3)图2表示广场中心的圆形花坛的平面设计图，准备在四个区域分别种植4种不同颜色的花卉，并且各色花卉的种植面积相等．请求出中间小圆的半径为多少米？ 【答案】(1)886m2 (2)187100元 (3)5m 【分析】（1）根据大正方形的面积-4个小正方形的面积-圆的面积=阴影部分的面积，即可得出答案； （2）用圆形花坛和小正方形花坛的面积×200+阴影面积×50=需要的总钱数，即可得出答案； （3）因为四部分面积相等，所以中间小圆的面积就是圆的面积的，从而可以求得中间小圆的半径． 【详解】（1）根据图示得，阴影部分的面积为：402-4×102﹣3.14×（20÷2）2＝1600﹣400﹣314＝886（m2）， ∴阴影部分的面积是886m2． （2）根据题意得， [4×102+3.14×（20÷2）2]×200+886×50＝714×200+44300＝187100（元）， ∴完成这个工程需要187100元． （3）圆形花坛的面积为：3.14×（20÷2）2＝314（m2）， ∵图示中四个区域的面积相等， ∴中间小圆形的半径的平方为：314×÷3.14＝25（m2）， ∴中间小圆的半径为5m． 【点睛】本题主要考查求圆和正方形的面积，理解题目中的关系，掌握各种图形的面积公式是解题的关键． 压轴满分题十一、求组合图形的面积 51．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，已知两个正方形的边长分别为和，求阴影部分的面积．（单位：）    【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于两个正方形的面积减去大三角形的面积即可求解． 【详解】解：阴影部分面积 【点睛】本题考查了求阴影部分面积，根据阴影部分面积等于两个正方形的面积减去大三角形的面积是解题的关键． 52．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框．把五个这样的方框放在桌面上，成为图中所示的图案．问这些方框盖在桌面部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】172平方厘米 【分析】本题主要考查了图形面积的计算，正确计算一个方框的面积和重合部分的面积是解决本题的关键． 首先求得一个方框的面积，5个方框的面积的和减去重合部分的面积即为所求，重合部分的面积等于8个边长是1的正方形的面积的和． 【详解】解：方框的面积是平方厘米． 每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形．重叠部分共有8个． (平方厘米)． 故被盖住的面积是172平方厘米． 53．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）本题结果保留： (1)求阴影周长； (2)求阴影面积． 【答案】(1) (2)60 【分析】（1）根据圆的周长公式求解即可； （2）结合图形利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：大半圆的圆弧长， 中等半圆的圆弧长， 小半圆的圆弧长， 所以阴影周长； （2）解：由图可知阴影面积即为长方形面积， 所以阴影面积为． 【点睛】本题考查求不规则图形的周长和面积．掌握圆的周长公式和割补法是解题关键． 54．（23-24六年级·上海·假期作业）如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米．阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？    【答案】60平方厘米 【分析】阴影部分甲和阴影部分乙的面积差等于正方形的面积减去长方形的面积，从而可得答案． 【详解】解：由 ， 所以阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是（平方厘米） 【点睛】本题考查的是组合图形面积的计算，得出阴影部分甲和阴影部分乙的面积差等于正方形的面积减去长方形的面积是解本题的关键． 55．（23-24六年级下·上海虹口·阶段练习）一扇窗户要装上形状如图所示实线部分的装饰木条（取3）      (1)一共需要多长的木条？ (2)如果想买一些漂亮的玻璃安装在装饰木条围成的所有内部区域（不考虑木条宽度），且每平方米玻璃费用是65元，每米装饰木条2.5元，求完成这扇窗户共需要多少费用？ 【答案】(1) (2)465元 【分析】（1）需要的木条的长度就等于圆的周长的一半，再加上长方形的周长再加上2条长方形的长； （2）分别求出装饰木条和装饰木条围成的所有内部区域所需的费用，然后相加和即可． 【详解】（1） （2）装饰木条费用是：（元） 玻璃费用是：（元） 共需要费用：（元） 【点睛】本题考查了周长和面积的计算，解答此题的关键是：弄清楚围成图形的线段或曲线有哪几部分，围成的图形由哪些图形组成，从而求出其周长和面积． 压轴满分题十二、求圆柱的侧面积与表面积 56．（23-24六年级下·上海金山·期中）如果一个圆柱形的油桶，底面直径为4分米，高为6分米，那么制做这个油桶至少需用铁皮多少平方分米？    【答案】至少需要平方分米的铁皮 【分析】本题考查了求圆柱体的表面积，熟悉掌握圆柱体表面积公式是解题的关键．圆柱体表面积等于两个圆的底面积加上展开为矩形的侧面积，由此可求出所需的铁皮面积． 【详解】解： 圆柱体的表面积为：， （分米），（分米），（分米）， （平方分米） 答：至少需要平方分米的铁皮． 57．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）修建一个圆柱形的沼气池，底面直径3米，深2米．在沼气池的四周墙壁与底面抹上水泥． (1)这个沼气池的占地面积是多少？ (2)抹水泥的面积是多少平方米？ (3)这个沼气池的最大容量是多少立方米？ 【答案】(1)沼气池的占地面积是平方米 (2)抹水泥部分的面积是平方米 (3)这个沼气池可以容纳立方米的沼气 【分析】此题主要考查学生对圆柱体表面积和体积公式的掌握与运用情况． （1）求沼气池的占地面积，就是求其底面积，利用圆的面积公式即可求解； （2）首先分清抹水泥的部分是一个没有盖的圆柱形沼气池，需要计算侧面面积与底面圆的面积，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法列式解答即可； （3）利用圆柱的体积公式即可求出所容纳的沼气的体积． 【详解】（1）解：占地面积：， （平方米）； 答：沼气池的占地面积是平方米． （2）解：沼气池的侧面积：（平方米）； 沼气池的底面积：平方米， 抹水泥部分的面积：（平方米）； 答：抹水泥部分的面积是平方米． （3）解：（立方米）； 答：这个沼气池可以容纳立方米的沼气． 58．（23-24六年级下·上海奉贤·阶段练习）阿基米德是历史上最杰出的数学家之一，按照他的生前遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形，为什么阿基米德希望在自己的墓碑上刻圆柱容球呢？这是因为在他众多的科学发现中，圆柱容球定理最令他满意． 圆柱容球定理：当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积是圆柱表面积的三分之二． (1)圆柱的底面半径是3厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (2)如果圆柱的底面半径是r厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (3)判断：圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积．（写出推导过程） 【答案】(1)，； (2)，； (3)说法正确，圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积；推导过程见解析． 【分析】（1）根据题意，圆柱的高和底面半径均为3厘米，球的表面积公式，球的体积公式，分别代入数据计算求出球的表面积和体积； （2）根据题意，圆柱的高和底面半径均为r厘米，球的表面积公式，球的体积公式，分别代入数据计算求出球的表面积和体积； （3）利用公式计算比较即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）说法正确，推导过程如下： ，， ， 说法正确，圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积． 【点睛】本题考查的是圆柱的面积公式和体积公式，以及比例的应用，熟记公式是解题的关键． 59．（23-24六年级·上海·假期作业）如图，一个圆柱的底面半径为，高为．小明将圆柱表面展开(图1)，得到圆柱表面积不同的计算方法．    (1)你能将这种方法用字母公式补充完整吗？ (2)当厘米，厘米时，用这种方法：圆柱表面积＝长方形面积，求出圆柱表面积（      ）． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）由图可知：将圆柱的两个底面的圆切分并拼成近似的长方形，拼成的小长方形的长即为底面圆周长，宽为圆柱的底面半径加上圆柱的高，与侧面展开的长方形拼成的大长方形面积即为圆柱表面积，得出圆柱表面积底面周长； （2）将厘米，厘米，代入公式计算出结果即可． 【详解】（1）如图：    （2） ， ， （平方厘米） ∴圆柱的表面积是平方厘米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆柱表面展开图，解题的关键是从图中得到长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的底面半径和高组成的． 60．（24-25六年级下·上海金山·期中）聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图方式探索新的计算方法．请你根据图示尝试理解并回答问题，借助他的方法解题． (1)聪聪把圆柱的两个底面、转化成两个近似的长方形、，再把、拼接成一个较长的近似长方形，这个近似长方形（图①中、两部分）的长相当于圆柱底面的___________，宽相当于底面的___________． (2)由图①可知，聪聪把整个圆柱的表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的底面___________，宽相当于圆柱的___________与___________的和，因此，利用聪聪的方法我们就得到了圆柱的表面积的另外一种求解方法，即圆柱的表面积＝___________ (3)请你利用聪聪的方法计算如图②中的圆柱的表面积． 【答案】(1)圆的周长，圆的半径 (2)圆的周长，高，底面圆的半径，近似大长方形的面积 (3) 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图，认识立体图形，几何体的表面积，解题的关键是等积转化的应用． （1）这个近似长方形的长相当于圆柱底面圆的周长，宽相当于底面的圆的半径； （2）这个近似长方形的长相当于圆柱的底面圆的周长，宽相当于圆柱的高和底面圆的半径的和，则圆柱的表面积＝近似大长方形的面积； （3）根据圆柱的表面积＝近似大长方形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形的变换可知， 这个近似长方形的长相当于圆柱底面圆的周长，宽相当于底面的圆的半径， 故答案为：圆的周长，圆的半径； （2）解：根据图形的变换可知， 这个近似长方形的长相当于圆柱的底面圆的周长，宽相当于圆柱的高和底面圆的半径的和，则圆柱的表面积＝近似大长方形的面积， 故答案为：圆的周长，高，底面圆的半径，近似大长方形的面积； （3）解：圆柱的表面积为：， 所以，圆柱的表面积为． 压轴满分题十三、圆锥的侧面积与底面半径 61．（23-24六年级下·全国·课后作业）如图①，已知圆锥的母线长，若以顶点为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角．    (1)求圆锥的底面半径； (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥底面圆周长的3倍＝扇形的弧长，构建方程求解即可． （2）根据表面积＝底面积＋侧面积，计算即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴cm． （2）圆锥的全面积． 【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 62．（2024·上海杨浦·模拟预测）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【答案】不认同，理由见详解 【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案． 【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，， 乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，， ∵， ∴， 故不认同小亮的说法． 【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式． 63．（23-24六年级下·上海虹口·期末）如图，在矩形纸片中，，，若以点B为圆心，为半径，剪出扇形． (1)求图中阴影部分的面积；（结果保留） (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题主要考查不规则图形的面积以及弧长的计算： （1）根据求解即可； （2）设圆锥底面圆的半径为r，根据弧长计算即可． 【详解】（1）解：， 故阴影部分的面积为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为r， 根据题意，得，解得， 故圆锥的底面圆的半径为1． 64．（23-24六年级下·上海崇明·期中）有一个直径为2m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．    （1）求图中阴影部分的面积； （2）若将扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径最大是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）BC是圆O的直径，求出AC的值，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出弧BC的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【详解】解：（1）连接BC，AO， ∵∠BAC=90°，OB=OC， ∴BC是圆O的直径，AO⊥BC， ∵圆的直径为2， ∴AO=OC=1， 则AC=m， 故S扇形==πm2． ∴S阴影=π-π=π（m2）． （2）弧BC的长l==πm， 则2πR=π， 解得：R=， 故该圆锥的底面圆的半径是m.    【点睛】本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟练掌握扇形的面积计算公式及弧长的计算公式是解答本题的关键． 65．（23-24六年级下·上海长宁·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 【答案】(1)被剪掉的阴影部分的面积 (2)圆锥的底面圆的半径是 (3)圆锥的全面积是 【分析】本题需灵活掌握扇形的面积公式，结合勾股定理即可解决问题． （1）因为扇形的圆心角是，所以为的直径，是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出即扇形的半径，然后利用扇形面积=，再求出圆的面积即可求出答案； （2）利用扇形的底面圆的周长=展开图的弧长即可求解； （3）利用（2）的所求，圆锥的全面积=展开图中扇形的面积+底面圆的面积． 【详解】（1）解：连接， ， 为的直径． 在中，，且， ， ， ； 答：被剪掉的阴影部分的面积； （2）解：设圆锥底面半径为，则长为， ， ； 答：圆锥的底面圆的半径是； （3）解：． 答：圆锥的全面积是． 压轴满分题十四、圆柱与圆锥的综合应用 66．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）计算说理． 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得两个立体图形． (1)你同意谁的说法，请将名字填在括号里．（ ） (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程） 【答案】(1)小红 (2)，见解析 【分析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． （1）我同意小红的说法，分别计算甲乙的体积，比较即可． （2）根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，分别求出两个立体图形的体积，进而求出它们体积的比． 【详解】（1）解：两图中立体图形分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形的体积不相等． 甲以梯形的上底为轴旋转得到是高为6厘米，底面半径是3厘米的圆柱内有一个空心圆锥；其体积为： 乙以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱．其体积为： ， ∵， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法. 故答案为：小红． （2）解：甲、乙两个立体图形的体积比是． 思考过程： 甲的体积： 乙的体积： ∴． 67．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）如图，图中是一张长方形铁皮，按图示，宽为，以下阴影部分刚好能做成一个圆柱形铁桶． (1)求做成的圆柱形铁桶的体积； (2)一个装满水的圆锥形容器，底面半径为，高为，将这些水全部倒入（1）中的圆柱形铁桶中，（圆柱形铁桶放在水平桌面上），求这个圆柱形铁桶中水的深度； (3)在（2）的条件下，如果把一个底面半径为的圆柱形铁块垂直放入圆柱形铁桶中，当它的一个底面在水中与圆柱形铁桶底面完全接触时，铁块高出水面上的部分与水面下的部分高度之比为，求此时铁块高出水面多少分米？ 【答案】(1) (2) (3)所以铁块高出水面上的部分与水面下的部分高度分别为、． 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面积与体积、圆柱与圆锥、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先说出圆柱的底面半径和高，然后根据圆柱的体积公式求解即可； （2）先求出圆锥的体积公式，然后根据圆柱的体积公式求水的深度即可解答； （3）设圆柱形铁块的高为h，则铁块高出水面上的部分与水面下的部分高度分别为、，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：做成的圆柱形铁桶的底面半径为：，高为， 所以做成的圆柱形铁桶的体积为： （2）解：该圆锥体的容积为：， 圆柱形铁桶中水的深度为． （3）解：设圆柱形铁块的高为h，则铁块高出水面上的部分与水面下的部分高度分别为、， 由题意可得：，解得：， 所以铁块高出水面上的部分与水面下的部分高度分别为、． 68．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，侧面积为．（取） (1)如图1，求该圆柱形容器的高为多少厘米． (2)如图2，有一实心铁圆柱体，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱体的底面半径比圆柱形容器的底面半径小，求该实心铁圆柱体的体积． (3)在（2）的条件下，现有底面半径为、高为的实心冰圆锥若干，水变成冰体积会增加，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，如图3，将冰圆锥化成的水注入圆柱形容器内，注入的水将实心铁圆柱体全部浸没，求至少需要多少个冰圆锥（整数个），并求此时水面与容器口的距离为多少厘米？ 【答案】(1)该圆柱形容器的高为 (2)该实心铁圆柱体的体积为 (3)至少需要个冰圆锥（整数个），并求此时水面与容器口的距离厘米 【分析】本题主要考查圆的周长，圆柱的体积，圆锥的体积等公式的计算，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据圆柱侧面积的计算方法“底面周长乘以高”求解即可； （2）根据题意得到实心铁圆柱的高和底面圆的半径，根据圆柱体积的计算公式即可求解； （3）根据圆锥体积公式得到实心冰的体积，注入的水将实心铁圆柱体全部浸没，则水的高度为实心铁圆柱的高，即，此时与实心铁圆柱的水体积为：，得到所需水的体积，由此即可求解． 【详解】（1）解：圆柱形容器，该容器的底面半径为，侧面积为， ∴底面周长为， ∴， ∴该圆柱形容器的高为； （2）解：实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱体的底面半径比圆柱形容器的底面半径小， ∴实心铁圆柱的高为，实心铁圆柱体的底面半径为， ∴， ∴该实心铁圆柱体的体积为； （3）解：圆柱形容器的体积为：， 一个实心冰圆锥底面半径为、高为的实心冰圆锥的体积为， 一个实心冰圆锥化成水的体积：， 注入的水将实心铁圆柱体全部浸没，则水的高度为实心铁圆柱的高，即， ∴此时与实心铁圆柱的水体积为：， ∴所需水的体积为：， ∴需要冰圆锥的个数为：（个）， ∴水面的高度为： ， ∴， ∴至少需要个冰圆锥（整数个），并求此时水面与容器口的距离厘米． 【点睛】 69．（24-25六年级下·上海闵行·期中）同学们，你做过“鸡蛋、鸭蛋浮起来”的实验吗？这个实验中有许多数学问题．请根据实验所得数据，解答下面问题．（取3.14） 实验名称 鸡蛋、鸭蛋浮起来 准备材料 一个半径的圆柱形杯，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大）、一些盐水． 实验过程 （1）往杯子里加盐水，测量盐水的高度是；（2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到；（3）再放入1个鸭蛋，测量水面高度．（图1） 观察记录 鸡蛋和鸭蛋都悬浮且浸没在水中，水面高度变化（图2）和三种物体体积情况（图3） (1)鸭蛋的体积占三种物体总体积的________． (2)鸡蛋的体积是多少立方厘米？ (3)放入鸭蛋后水面上升了多少厘米？ 【答案】(1)10 (2)立方厘米 (3)1厘米 【分析】本题考查百分数的应用，比例的应用，圆柱的体积．解题的关键是掌握浸入在液体中的物体的体积等于它排开液体的体积． （1）鸭蛋的体积所占百分数等于1减去鸡蛋、盐水体积所占百分数； （2）鸡蛋的体积等于水面上升高度与杯子底面积的乘积； （3）加入鸡蛋、鸭蛋后，水面上升高度之比等于鸡蛋与鸭蛋体积之比． 【详解】（1）解：鸭蛋的体积占三种物体总体积的：， 故答案为：10； （2）解：（立方厘米） 答：鸡蛋的体积是立方厘米； （3）解：（厘米） 答：放入鸭蛋后水面上升了1厘米． 70．（23-24六年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在正方形里画了一个最大的圆，请回答下面问题． (1)这个圆的直径等于正方形的（    ）． (2)这个圆与正方形面积的比是（    ）（    ）． 请你写出的思路．（可以借助假设、画图等方法） (3)如图中，大正方形的边长是20cm，阴影部分的面积是多少平方厘米？ (4)把一个体积为的正方体钢坯切削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)边长 (2)　4 (3)阴影部分的面积为86cm2； (4)这个圆锥的体积为． 【分析】本题考查几何体、正方体、圆、圆锥． （1）由图可得出答案． （2）设圆的半径为，则正方形的边长为，根据圆和正方形的面积公式可得答案． （3）阴影部分的面积正方形的面积圆的面积． （4）最大的圆锥的高等于正方体的棱长，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，由此计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，这个圆的直径等于正方形的边长． 故答案为：边长； （2）解：设圆的半径为，则正方形的边长为， 这个圆的面积为，正方形的面积为， 这个圆与正方形面积的比是． 故答案为：；4； （3）解：阴影部分的面积为； （4）解：设正方体钢坯的边长为， 则最大的圆锥的高为，圆锥底面半径为， 正方体钢坯的体积为， ， 这个圆锥的体积为． 答：这个圆锥的体积为． 压轴满分题十五、二元一次方程组的综合应用 71．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下表： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据表格中的1台A，3台B的总费用为260万元，3台A，2台B的总费用为360万元建立方程求解即可． 【详解】解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元． 72．（24-25六年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【答案】(1)是 (2)② (3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 73．（24-25六年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 74．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 75．（24-25六年级下·上海普陀·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 “以体树人”是以身体为媒介，将教育回归到“人”的全面发展．它让学生在奔跑中理解坚持的意义，在合作中领悟共情的力量，在竞争中学会优雅地接受输赢． 素材1 某体育用品商场销售A、两款足球，A款、款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 由于各校“以体树人”系列活动的开展，足球生意火爆．该商场决定4月份再购进一批A、款足球（A、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款4400元不变．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、款足球各多少个？ 任务2 若4月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，则4月份该商场购进A、、款足球各多少个？ 【答案】任务1：3月该商场购进A款足球20个、款足球40个； 任务2：方案1该商场购进A、、款足球分别为45、15、25个；方案2该商场购进A、、款足球分别为24、30、28个；方案3该商场购进A、、款足球分别为3、45、31个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：熟练掌握总价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程． 任务1：设3月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“A款、款足球的进价分别为60元、80元，购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设4月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“总进货款4400元不变．买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，赋值即可得出结论． 【详解】解：任务1：设3月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据题意，得， 解得． 答：3月该商场购进A款足球20个、款足球40个． 任务2：设4月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球， ∵4月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进款足球个． 根据题意，得， 化简，得． ∵A、两款足球都需要购买，、均为正整数， ∴解得，，． 答：方案1该商场购进A、、款足球分别为45、15、25个； 方案2该商场购进A、、款足球分别为24、30、28个； 方案3该商场购进A、、款足球分别为3、45、31个． 1．（2025六年级下·上海·专题练习）如图，平行四边形a边上的高是b，c边上的高是d．根据这些信息，下列式子中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质和平行四边形的面积公式，根据平行四边形面积公式：面积底高，由此可知，平行四边形的面积：；再根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答． 【详解】A．；可得，式子成立； B．，可得，式子不成立； C．，可得，式子成立； D．，可得，式子成立． 式子中不成立的是． 故答案为：B． 2．（2025六年级下·上海·专题练习）下面是某兴趣小组的同学参加数学素养大赛的成绩． 分数段/分 100 60以下 人数 3 3 4 3 2 1 从上表可以看出来这次比赛的优秀率（80分及80分以上）为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了百分数的应用，从上表可以求出总人数和优秀人数，根据优秀率优秀人数比赛总人数，理解对应公式是解题的关键． 【详解】解：， 则这次比赛的优秀率（80分及80分以上）为． 故答案为：D． 3．（24-25六年级下·上海长宁·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 4．（23-24六年级下·上海闵行·期中）如图，正方形的边长是1厘米，4个弓形面积之和是（    ）平方厘米（取）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质和扇形面积计算，分别用四个扇形的面积减去四个等腰直角三角形的面积，再求和即可．能求出各个扇形的半径是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （平方厘米）， 故4个弓形（阴影部分）面积之和是平方厘米． 故选：B． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·阶段练习）下图圆锥形玻璃容器内装满了水，将这些水倒入（    ）圆柱形玻璃容器中正好倒满． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是圆柱、圆锥体积公式，熟记圆柱、圆锥的体积公式是解答关键． 根据圆锥体积=×底面积×高、圆柱体积=底面积×高，然后代入数值计算判断即可． 【详解】解：（立方厘米）； A.（立方厘米），与圆锥体积不相等，不符合题意； B. （立方厘米），与圆锥体积相等，符合题意； C. （立方厘米），与圆锥体积不相等，不符合题意； D. （立方厘米），与圆锥体积不相等，不符合题意． 故选：B． 6．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习） ① ③ ④ 折． ① ，② ，③ ，④ 【答案】 20 24 60 六 【分析】根据分数与除法的关系以及分数的基本性质解答即可． 本题考查了分数的基本性质以及百分数的互化，掌握分数的基本性质是解答本题的关键． 【详解】解：六折． 故答案为：20，24，60，六． 7．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）只列综合算式，不计算． ①北峰林场去年实际造林20公顷，比计划造林多4公顷，实际比计划多造林百分之几？ 列式：______________________________________________________________________ ②某商场参加财物保险，保险金额为4000万元，保险费率为．由于事故，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，这样商场实际损失了多少万元？（注：应交保费保险金额保险费率） 列式：______________________________________________________________________ 【答案】①；② 【分析】①根据实际造林比计划造林多4公顷，求出计划造林数，用多出造林数除以计划造林数，即可解答； ②根据商场实际损失商场损失物品的价值公司所交保费保险公司赔偿金额，即可解答． 【详解】①由题意可列式子：； ②根据商场实际损失商场损失物品的价值公司所交保费保险公司赔偿金额， 可得式子：， 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了百分数的应用，找到正确的等量关系是解题的关键． 8．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，已知与是公路弯道的外，内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，、，在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内例边线多 米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是关键．用弧的长减去弧的长即可． 【详解】解：弧的长为， 弧的长为， 米． 故答案为：． 9．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）把一个底面直径和高都是的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ：如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板 （接头部分40计算）． 【答案】 【分析】解答本题需熟练掌握圆柱的侧面积公式及正方体的表面积公式．由图可知，这个不规则图形的面积等于圆柱的侧面积；如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，则纸盒的棱长为6厘米，据此求出纸盒的表面积，再加上接头部分的面积即可． 【详解】解： （平方厘米） （平方厘米） 所以这个不规则图形的面积是；如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板． 故答案为：；256． 10．（24-25六年级下·上海虹口·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二元一次方程以及二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．由乙、丙两位同学三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分列二元一次方程，可判断①说法；根据题意得出乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分，列二元一次方程组求解，可判断②说法；在②的基础上，计算出甲的折算后总分，可判断③说法． 【详解】解：由题意可知，乙、丙两位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，但折合后总分相差分，即三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分， 设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和， 则， 即，①说法正确； 若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和， 则乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分， 由题意得：，解得：， 每个项目得分的折算百分比之和为1， 七巧拼图和数独比拼两项的折算百分比之和为，②说法错误； 由②可知，，， 则， 即甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖，③说法正确； 故答案为：①③ 11．（24-25六年级下·上海·阶段练习）（1）计算：； （2）求x的值：； （3）已知：，，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解比例，比例的基本性质． （1）先将转化为，转化为，再利用有理数的四则运算法则计算即可； （2）运用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）来解答即可； （3）先求出的整数比，再把b的份数化成一样即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 解得：； （3）∵，， ∴，， ∴． 12．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 13．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）中国目录学之祖刘向说：“书犹药也，善读之可以医愚．”某兴趣小组为了了解本校八年级学生们最喜欢的课外阅读书籍类型（科普类、文学类、历史类、其他），对八年级n名学生进行了问卷调查．并将收集的数据整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： (1)下列是本次调查的步骤： ①从统计图中分析出最受学生喜欢的课外阅读书籍类型及相关信息； ②分发、收集这n名学生填写的调查问卷； ③绘制条形统计图和扇形统计图； ④整理n份调查问卷的数据，绘制频数分布表． 将以上步骤按照统计步骤的正确顺序排列应为______________（填序号）． (2)求本次调查的学生总数n的值． (3)将条形统计图补充完整． (4)扇形统计图中，科普类所在扇形区域的圆心角是_______度． 【答案】(1)②④③① (2)400 (3)见解析 (4)108 【分析】本题考查的是频数分布表，条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）根据统计步骤排列即可； （2）从两个统计图中可以得到喜欢文学类的有160人，占调查人数的，可求出调查人数； （3）求出历史类的人数即可补全条形统计图； （4）求出科普类的人数占调查人数的百分比，用乘以“科普类”的占比即可． 【详解】（1）解：按照统计步骤的正确顺序排列应为②④③①． 故答案为：②④③①； （2）解：， 答：本次调查的学生总数的值为400； （3）解：历史类的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． （4）解：， 故答案为：108． 14．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）小明有一辆前后车轮直径都是厘米的自行车，如图，图是图中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为（齿数是齿轮的尖齿数量），后齿轮的齿数为．（结果保留）    小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程．自行车的行进原理和小明的估算方法如下：小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动（前齿轮转动的齿数等于后齿轮转动的齿数），那么后齿轮相应的转动圈，也就是后车轮的转动圈数．通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进米，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了．如果小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了______米． (1)补全上面空格中的内容； (2)如图3，小明学校有一个四跑道的操场，每条跑道的宽度都相等，跑道从内向外编号分别为到．已知操场的左右两侧分别是以和为直径的半圆，中间部分是长方形．记号跑道和号跑道的面积之和为，号和号条跑道的面积总和为，小明认为和有一定的数量关系，但他手边没有其它测量工具，因此他打算用上述用自行车估算行进路程的方法进行测量和探究． ①小明首先沿着号跑道最外侧边线骑行一圈（忽路行进和转弯时产生的误差），发现自己正好踩了圈脚蹬，随后小明从点处沿直线骑行到点处，发现需要踩圈脚蹬．请帮助小明计算出直径的长度； ②小明又沿着号跑道最内侧边线骑行一圈，发现自己正好踩了圈脚蹬．请帮助小明计算与的比值． 【答案】(1)；； (2)①直径的长度是32米；② 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． （1）根据圆的周长公式，大齿轮和小齿轮数列式计算即可； （2）①先求出以为直径的圆的长，再求出圆的直径即可； ②分别求出，，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：每踩一圈脚蹬，后齿轮相应的转动的圈数为： ； 每踩一圈脚蹬，后车轮就前进的距离为： （米）， 小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了： （米）． 故答案为：；；． （2）解：①（圈）， （米）， 答：直径的长度是32米． ②（圈）， （米）， （平方米）， （平方米）， ∴； （平方米）， （米）， （米）， （平方米）， ∴（平方米）， ∴． 15．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)平方厘米 (2)，， (3)立方厘米 【分析】（1）求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出结果即可； （2）由（1）可知拼成的长方体的长、宽，再根据长方体体积的计算公式进行计算即可； （3）求出圆柱的底面半径，再根据截后的体积底面半径为2，高为2的圆柱体体积的一半底面半径为2，高为3的圆柱体的体积进行计算即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得， ， 解得， 圆的面积为（平方厘米）， 答：这个圆的面积是28.26平方厘米； （2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径， 由于长方体的体积为长宽高， 所以圆柱的体积为， 故答案为：，，； （3）设圆柱底面半径为厘米，则， 解得， 所以截后的体积为 （立方厘米）， 答：截后的体积为50.24立方厘米． 【点睛】本题考查认识立体图形，截一个几何体，掌握圆面积、圆周长、长方体体积、圆柱体积的计算方法是正确解答的前提． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（90题15个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、二元一次方程组与三元一次方程组的解 1．（24-25六年级下·上海长宁·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 2．（24-25六年级下·上海虹口·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 3．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）下图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图． 将方程组中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…方程组n． (1)方程组1的解是________； (2)请依据方程组和它的解变化规律，直接写出方程组n______和它的解是______． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 4．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 5．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 压轴满分题二、二元一次方程组的错解复原问题 6．（23-24六年级下·上海静安·期末）在解方程组时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的，而得到解为，乙同学看错了方程组中的，而得到解为，求原方程组的解． 7．（23-24六年级下·上海金山·期中）甲、乙两同学同时解关于x，y的方程组，甲看错了m，解出的结果是，乙看错了n，解出的结果是，你能确定m，n的值和原方程组的解吗？ 8．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 9．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 10．（2024·上海宝山·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 压轴满分题三、二元一次方程组的特殊解法 11．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 12．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 13．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 14．（24-25六年级下·上海长宁·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 15．（24-25六年级下·上海崇明·阶段练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________． 压轴满分题四、百分数的计算综合应用 16．（2025六年级下·上海·专题练习）淘气的爸爸要出差，他购买了一张12月15日晚上的火车票，票价500元．12月14日下午5：00他接到通知出差任务取消，于是他在当天晚上办理了退票．按照规定，火车票退票需要扣除手续费，规定如下表： 退票时间 开车前48小时以上 开车前小时 开车前24小时以内 手续费占票价的百分比 (1)淘气的爸爸退票后可以拿回多少元？ (2)你还有更好的退票方案吗？把你的思考过程写出来． 17．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）有四种计算机装置： 装置A：将输入的数乘以；装置B：将输入的数加上3； 装置C：将输入的数除以；装置D：将输入的数减去6．这些装置可以连接． 例如：装置A后面连接装置B，就写成，输入4，它的结果是；装置B后面连接A，就写成，输入4，其结果是． (1)装置连接，输入20，结果是多少？ (2)装置连接，输入什么数，结果是100？ 18．（2025六年级下·上海·专题练习）阳光小学数学思维社团进行了一次测试，这次测试成绩的统计图表损坏了（如图），请利用图表中仅存的数据信息解答下列各题． (1)数学思维社团一共有多少人参加了这次测试？ (2)数学思维社团这次测试成绩的优秀率是多少？ (3)考试时，如果社团中一个同学因病请假，第二天这位同学进行了补考，他考了94分，那么这次测试的平均分约（填“提高”或“降低”）（ ）分．（保留一位小数） 19．（2025六年级下·上海·专题练习）2023年9月21日下午，面向全国青少年的中国空间站天宫课堂第四课在梦天实验舱开课，这次授课呈现了四个实验．小刚对同学们最感兴趣的实验情况进行了调查，并将部分调查结果记录在了下面的统计图表中． 实验 感兴趣人数 A（球形火焰实验） 24人 B（奇妙“乒乓球”实验） 42人 C（动量守恒实验） 18人 D（观陀螺实验） （ ）人 (1)把不完整的统计表和统计图补充完整，并在下面写出思考过程． (2)先把下面的问题补充完整，再解答出来． 对（ ）实验最感兴趣的学生人数比对（ ）实验最感兴趣的学生人数多百分之几？ 20．（24-25六年级下·上海·阶段练习）我国的个人所得税中的工资、薪金所得，适用超额累进7级税率，税率情况见下表 税率表：工资、薪金所得适用个人所得税累进税率表 级数 全月应纳税所得额 税率 速算扣除数（元） 1 不超过1500元的 0 2 超过1500元至4500元的部分 105 3 超过4500元至9000元的部分 4 超过9000元至35000元的部分 1005 6 超过35000元至55000元的部分 2755 6 超过55000元至80000元的部分 35% 5505 7 超过80000元的部分 13505 说明：本表只含了由纳税人负担的工资、薪金所得部分 一般按照以下的原则计算税后工资、薪金收入； 应纳税所得额应发工资、薪金四金起征点； 四金应发工资、薪金； 起征点元； 应纳税额有两种计算的方法： 方法一：按级数超额累进税率计算； 方法二：应纳税额应纳税所得额适用税率速算扣除数． 税后工资、薪金应发工资、薪金四金应纳税额 举例：应发工资、薪金为8000元． 四金（元） 应纳税所得额（元） 应纳税额 方法一：（元） 方法二：（元） 税后工资、薪金（元） (1)请根据表格所给的信息求出第3级的“速算扣除数”； (2)某公司小陈现在每月缴纳四金1680元，下月起应发工资、薪金将提高，请求出下月起小陈每月的税后工资、薪金数额． 压轴满分题五、统计图表的综合应用 21．（23-24六年级下·上海长宁·期末）如图是某班学生三种上学方式的人数统计图（两图均不完整），如果步行的学生中女生和男生的人数比是，那么步行的男生有多少人？ 22．（2025六年级下·上海·专题练习）“双减”政策实施后，某校的课外托管服务工作开展得有声有色．该校六年（1）班老师根据学生选择的课外服务项目情况（每人只选一个项目），绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据下面信息把统计表填写完整．（写出计算过程） 小组 人数 占总人数的百分比 体育小组 音乐小组 8 美术小组 10 小组 人数 占总人数的百分比 体育小组 32 音乐小组 8 美术小组 10 统计表填写如下． 23．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）实验小学开展以“绿色出行，关爱健康”为主题的教育活动．为了解师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了老师和学生共90人，并制成两种统计图（如图）．图中部分信息被遮挡住了，请根据已有信息，回答下面问题． (1)如果实验小学全校共有师生1800人，请你推算：全校步行出行的师生共多少人？ (2)根据图1和图2，随机抽查的教师有几人？ 24．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）为了解人们平时最喜欢哪种支付方式，某公司每年都随机调查本公司固定数量的员工，统计他们平时最喜欢使用的支付方式（每人选择1项）．下面是相关的统计情况，请仔细观察下面两个统计图并回答问题． (1)公司2023年调查的总人数是_____人． (2)观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈____趋势． (3)2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多百分之几？ (4)淘淘的妈妈在微信平台支付账单明细中显示表示进账元，则支出元应显示______元． 25．（23-24六年级下·上海静安·期末）笑笑想比较自己所在六（1）班的男生和女生跳绳成绩．体育课上，笑笑随机记录了六（1）班男生和女生各20名同学一分钟跳绳的个数．（单位：个/1分钟） 男生：89，96，103，92，77，87，109，97，45，92，76，128，98，57，112，79，91，104，164，198； 女生：132，120，118，97，102，127，91，115，104，114，131，56，165，98，72，137，150，98，159，148． (1)请按分数段整理数据表，并补全条形统计图．（注：这里的60～80表示大于等于60同时小于80） 个数/1分钟 60个以下 60～80 80～100 100～120 120～140 140个以上 男生 2                          1 2 女生 1                                5       (2)如果一分钟跳绳在140个以上（含140个/1分钟）算优秀，那么男生和女生的优秀率分别是多少？ (3)你认为男生和女生的跳绳成绩哪一个更好一些，请说明理由． (4)如何提高跳绳成绩，你有什么建议吗？ 压轴满分题六、比与比例的应用 26．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）许多食物中含有蛋白质，如鸡蛋、牛肉、花生、黄豆等，根据下表中提供的信息，利用比的知识判断：这四种食物中，哪种食物的蛋白质含量最高，哪种食物的蛋白质含量最低． 食物 鸡蛋 牛肉 花生 黄豆 蛋白质含量 27．（23-24六年级下·上海长宁·期末）六年级成立了英语兴趣小组，在这个小组中，是男生，女生有10人，这10人占六年级全体女生的，未参加英语兴趣小组的学生与六年级学生总数的比为． (1)这个英语兴趣小组共有男生多少人？ (2)六年级共有男生多少人？ (3)后来，未参加的同学中有部分女生也来参加英语兴趣小组，此时英语兴趣小组中男生人数比女生人数的3倍少4人，求参加英语兴趣小组的女生一共有多少人？ 28．（24-25六年级下·上海·阶段练习）一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：，．而在（2）中相应的比例是，．又知，长方形的宽减去D的宽所得到的差，与的长减去D的长所得到的差之比为．求大长方形的面积． 29．（24-25六年级下·全国·假期作业）公园里新建了一个“花鸟乐园”．如图，冬冬和小刚站在点处，打算绕“花鸟乐园”外围步行一圈．小刚说：“冬冬，我们背向而行，看看待会儿会在哪个地方相遇．”说完小刚就出发了．而冬冬观赏了一会儿小鸟，等小刚走到点，他才出发．已知小刚和冬冬的速度比是，当他俩相遇时，小刚和冬冬所走的路程比是．这个“花鸟乐园”一周的长度是多少米？（冬冬和小刚的速度不变） 30．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．若齿轮的转速为7000圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率（精确到） 压轴满分题七、求扇形的周长和面积 31．（24-25六年级下·上海·期中）如图，已知点B、C在线段上，四边形、四边形都是边长为4的正方形，其中，以A为圆心，正方形的边长4为半径画弧，再以B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，形成右下图． (1)求此阴影部分的周长：（取3.14） (2)求图中阴影部分面积与长方形面积的比． 32．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）（1）如图，四边形是长方形，长为10厘米，宽为6厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留） （2）如右图，正方形边长为2，为边上的中点，求图中阴影部分面积． 33．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、和． （1）请你直接写出__________．（结果保留） （2）请你直接将和的数量关系填在横线上：__________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得__________．（结果保留） 34．（23-24六年级下·上海奉贤·期末）顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） (1)这个花坛的周长是多少米？ (2)这个花坛的面积是多少平方米？ (3)如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 35．（2024六年级下·上海·专题练习）正方形的边长为4厘米． (1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积． (2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积． (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积． 压轴满分题八、圆的周长与面积应用 36．（2025六年级下·上海·专题练习）中国园林的门洞是一道独特的风景，也是中国园林中充满诗意的点睛之笔，门洞起到使两个分隔的园景联系起来的妙用．如下图所示，花瓣状门洞的边是由个直径相等的半圆弧组成的．这个门洞的周长和面积分别是多少？ 37．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）某运动场正在建设中，运动场两端是半圆形.中间是长方形，长方形的长是米，宽是米．（取） (1)求这个运动场的周长是多少米？ (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑塑胶跑道和草坪的面积比为，每平米塑胶的价格为元，比每平米草坪的价格高，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪共多少元？ 38．（24-25六年级下·上海金山·阶段练习）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 39．（23-24六年级下·上海崇明·期中）小明房间窗户的装饰物如图1所示，它由两个四分之一圆组成． (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装饰物，如图2所示（由两个四分之一圆和一个半圆组成），请用代数式表示图2窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (3)比较（1）和（2）中哪种设计射进阳光的部分的面积更大，大多少？ 40．（24-25六年级下·上海金山·阶段练习）李明家的一扇门，为了达到既美观又耐用，需要让装修公司装上形状如图所示的装饰木条（也包括围成阴影部分的木条，木条的宽度忽略不计，其他部分都安装上玻璃，阴影部分是在玻璃上喷上彩色的油漆．（，单位：） (1)求这扇木门所用木条的总长度是多少厘米？ (2)求喷色部分的面积是多少平方厘米？ (3)若木门安装的玻璃按每平方米400元，涂色部分的油漆按每平方米2000元，木条按每米100元，一个门的安装费用是木条用料费用的，李明的爸爸又与装修公司讨价还价后，装修公司又给了总费用减免的优惠，李明家这扇门安装完毕共需要多少元？ 压轴满分题九、根据圆的周长解决路程问题 41．（23-24六年级下·上海静安·课后作业）一辆车的车轮直径是1米，那么： （1）它在地面上转一圈行了多少路程？ （2）如果它每分钟转200圈，那么它每分钟可以行驶多少路程？ （3）按上面的速度，小明从家到学校要5分钟，求小明家到学校的距离． 42．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，在直线l上有一个边长为8cm的正方形和一个直径为4cm的圆O，圆O紧贴着正方形的边． (1)如图（1），正方形保持不动，圆O沿直线l以每秒2厘米的速度向右匀速滚动．从初始位置到圆O恰好离开正方形时停止滚动（即到达圆的位置），在这个过程中圆O扫过的面积是多少？这个过程共用了多少秒？ (2)如图（2），圆O沿着正方形外侧按照的方向匀速滚动，碰到直线l停止滚动（即到达圆的位置）．从初始位置到停止滚动的过程，圆心O经过的路程是多少？ 43．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图：两根0.9米长的绳子分别系着黑白两个重量大小完全相同的小球（直径为0.2米），现将黑色小球拉至图中位置放手，之后黑色小球与白色小球发生第一次碰撞，碰撞后黑色小球静止白色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与黑色小球发生第二次碰撞，碰撞后白色小球静止黑色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与白色小球发生第三次碰撞，…像这样运动．求：当第11次碰撞发生时，黑色小球荡过的路程．（已知每次碰撞后，被碰撞小球荡起的最大角度都变为碰撞前碰撞小球所达到最大角度的一半） 44．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知圆O的半径为r，等边三角形的边长为．如下图，圆O按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． (1)当圆O第一次回到原来位置时，圆O绕圆心滚动了几圈？ (2)当圆O第三次回到原来位置时，圆心O走过的路程是多少？ (3)假设圆O从中点位置开始滚动，当圆心O走过的路程为时停止，问：圆O绕圆心滚动了多少圈？ 45．（24-25六年级下·上海普陀·期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）年龄； 肥胖程度的计算公式：． 一般的，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 (1)小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ (2)为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑8圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（取3.14）． (3)小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为550千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）体重（千克）跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量。他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 压轴满分题十、求不规则图形的面积 46．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习）（组合图形求面积）如图，在边长为12的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是多少？（单位：）    47．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）（1）求阴影部分的周长． （2）如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积．（，四舍五入，结果保留两位小数．）    48．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，是某个运动场跑道图，每条跑道宽1米，共6个跑道，最里侧半圆的直径为18米，直跑道长90米． （1）若给6条跑道铺设塑胶，问所需塑胶的面积是多少平方米？ （2）若给运动场非跑道区域植上价格为每平方米100元的草皮，共需多少元？ 49．（23-24六年级下·上海长宁·期末）阅读理解：对称添补法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形．原来图形的面积就是这个新图形面积的一半．例如：求图1阴影部分的面积，可以在图1下方作关于直线对称的扇形，那么图2阴影部分面积的一半就是所求阴影部分的面积． 请根据上述解题方法，解决下面的问题： 如图3，两个正方形、正方形并排放置，．以点为圆心，为半径画弧．图中，阴影部分的面积是5.7平方厘米，求正方形的面积．（取3.14） 50．（23-24六年级下·上海松江·期末）某小区要建造一个正方形小广场，其方案设计如图1所示，正方形小广场地面的边长是40m，中心建一直径为20m的圆形花坛，广场四角各建一个边长为10m的小正方形花坛，图中阴影部分铺设广场砖． (1)计算阴影部分的面积； (2)圆形花坛和小正方形花坛平均每平方米造价为200元，广场砖平均每平方米造价为50元，完成这个工程需要多少元？ (3)图2表示广场中心的圆形花坛的平面设计图，准备在四个区域分别种植4种不同颜色的花卉，并且各色花卉的种植面积相等．请求出中间小圆的半径为多少米？ 压轴满分题十一、求组合图形的面积 51．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，已知两个正方形的边长分别为和，求阴影部分的面积．（单位：）    52．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框．把五个这样的方框放在桌面上，成为图中所示的图案．问这些方框盖在桌面部分的面积是多少平方厘米？ 53．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）本题结果保留： (1)求阴影周长； (2)求阴影面积． 54．（23-24六年级·上海·假期作业）如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米．阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？    55．（23-24六年级下·上海虹口·阶段练习）一扇窗户要装上形状如图所示实线部分的装饰木条（取3）      (1)一共需要多长的木条？ (2)如果想买一些漂亮的玻璃安装在装饰木条围成的所有内部区域（不考虑木条宽度），且每平方米玻璃费用是65元，每米装饰木条2.5元，求完成这扇窗户共需要多少费用？ 压轴满分题十二、求圆柱的侧面积与表面积 56．（23-24六年级下·上海金山·期中）如果一个圆柱形的油桶，底面直径为4分米，高为6分米，那么制做这个油桶至少需用铁皮多少平方分米？    57．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）修建一个圆柱形的沼气池，底面直径3米，深2米．在沼气池的四周墙壁与底面抹上水泥． (1)这个沼气池的占地面积是多少？ (2)抹水泥的面积是多少平方米？ (3)这个沼气池的最大容量是多少立方米？ 58．（23-24六年级下·上海奉贤·阶段练习）阿基米德是历史上最杰出的数学家之一，按照他的生前遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形，为什么阿基米德希望在自己的墓碑上刻圆柱容球呢？这是因为在他众多的科学发现中，圆柱容球定理最令他满意． 圆柱容球定理：当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积是圆柱表面积的三分之二． (1)圆柱的底面半径是3厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (2)如果圆柱的底面半径是r厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (3)判断：圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积．（写出推导过程） 59．（23-24六年级·上海·假期作业）如图，一个圆柱的底面半径为，高为．小明将圆柱表面展开(图1)，得到圆柱表面积不同的计算方法．    (1)你能将这种方法用字母公式补充完整吗？ (2)当厘米，厘米时，用这种方法：圆柱表面积＝长方形面积，求出圆柱表面积（      ）． 60．（24-25六年级下·上海金山·期中）聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图方式探索新的计算方法．请你根据图示尝试理解并回答问题，借助他的方法解题． (1)聪聪把圆柱的两个底面、转化成两个近似的长方形、，再把、拼接成一个较长的近似长方形，这个近似长方形（图①中、两部分）的长相当于圆柱底面的___________，宽相当于底面的___________． (2)由图①可知，聪聪把整个圆柱的表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的底面___________，宽相当于圆柱的___________与___________的和，因此，利用聪聪的方法我们就得到了圆柱的表面积的另外一种求解方法，即圆柱的表面积＝___________ (3)请你利用聪聪的方法计算如图②中的圆柱的表面积． 压轴满分题十三、圆锥的侧面积与底面半径 61．（23-24六年级下·全国·课后作业）如图①，已知圆锥的母线长，若以顶点为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角．    (1)求圆锥的底面半径； (2)求圆锥的全面积． 62．（2024·上海杨浦·模拟预测）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 63．（23-24六年级下·上海虹口·期末）如图，在矩形纸片中，，，若以点B为圆心，为半径，剪出扇形． (1)求图中阴影部分的面积；（结果保留） (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径． 64．（23-24六年级下·上海崇明·期中）有一个直径为2m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．    （1）求图中阴影部分的面积； （2）若将扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径最大是多少？ 65．（23-24六年级下·上海长宁·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 压轴满分题十四、圆柱与圆锥的综合应用 66．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）计算说理． 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得两个立体图形． (1)你同意谁的说法，请将名字填在括号里．（ ） (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程） 67．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）如图，图中是一张长方形铁皮，按图示，宽为，以下阴影部分刚好能做成一个圆柱形铁桶． (1)求做成的圆柱形铁桶的体积； (2)一个装满水的圆锥形容器，底面半径为，高为，将这些水全部倒入（1）中的圆柱形铁桶中，（圆柱形铁桶放在水平桌面上），求这个圆柱形铁桶中水的深度； (3)在（2）的条件下，如果把一个底面半径为的圆柱形铁块垂直放入圆柱形铁桶中，当它的一个底面在水中与圆柱形铁桶底面完全接触时，铁块高出水面上的部分与水面下的部分高度之比为，求此时铁块高出水面多少分米？ 68．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，侧面积为．（取） (1)如图1，求该圆柱形容器的高为多少厘米． (2)如图2，有一实心铁圆柱体，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱体的底面半径比圆柱形容器的底面半径小，求该实心铁圆柱体的体积． (3)在（2）的条件下，现有底面半径为、高为的实心冰圆锥若干，水变成冰体积会增加，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，如图3，将冰圆锥化成的水注入圆柱形容器内，注入的水将实心铁圆柱体全部浸没，求至少需要多少个冰圆锥（整数个），并求此时水面与容器口的距离为多少厘米？ 69．（24-25六年级下·上海闵行·期中）同学们，你做过“鸡蛋、鸭蛋浮起来”的实验吗？这个实验中有许多数学问题．请根据实验所得数据，解答下面问题．（取3.14） 实验名称 鸡蛋、鸭蛋浮起来 准备材料 一个半径的圆柱形杯，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大）、一些盐水． 实验过程 （1）往杯子里加盐水，测量盐水的高度是；（2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到；（3）再放入1个鸭蛋，测量水面高度．（图1） 观察记录 鸡蛋和鸭蛋都悬浮且浸没在水中，水面高度变化（图2）和三种物体体积情况（图3） (1)鸭蛋的体积占三种物体总体积的________． (2)鸡蛋的体积是多少立方厘米？ (3)放入鸭蛋后水面上升了多少厘米？ 70．（23-24六年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在正方形里画了一个最大的圆，请回答下面问题． (1)这个圆的直径等于正方形的（    ）． (2)这个圆与正方形面积的比是（    ）（    ）． 请你写出的思路．（可以借助假设、画图等方法） (3)如图中，大正方形的边长是20cm，阴影部分的面积是多少平方厘米？ (4)把一个体积为的正方体钢坯切削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 压轴满分题十五、二元一次方程组的综合应用 71．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下表： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 求A、B两种型号智能机器人的单价． 72．（24-25六年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 73．（24-25六年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 74．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 75．（24-25六年级下·上海普陀·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 “以体树人”是以身体为媒介，将教育回归到“人”的全面发展．它让学生在奔跑中理解坚持的意义，在合作中领悟共情的力量，在竞争中学会优雅地接受输赢． 素材1 某体育用品商场销售A、两款足球，A款、款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 由于各校“以体树人”系列活动的开展，足球生意火爆．该商场决定4月份再购进一批A、款足球（A、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款4400元不变．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、款足球各多少个？ 任务2 若4月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，则4月份该商场购进A、、款足球各多少个？ 1．（2025六年级下·上海·专题练习）如图，平行四边形a边上的高是b，c边上的高是d．根据这些信息，下列式子中不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025六年级下·上海·专题练习）下面是某兴趣小组的同学参加数学素养大赛的成绩． 分数段/分 100 60以下 人数 3 3 4 3 2 1 从上表可以看出来这次比赛的优秀率（80分及80分以上）为（ ）． A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海长宁·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（23-24六年级下·上海闵行·期中）如图，正方形的边长是1厘米，4个弓形面积之和是（    ）平方厘米（取）    A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·阶段练习）下图圆锥形玻璃容器内装满了水，将这些水倒入（    ）圆柱形玻璃容器中正好倒满． A． B． C． D． 6．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习） ① ③ ④ 折． ① ，② ，③ ，④ 7．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）只列综合算式，不计算． ①北峰林场去年实际造林20公顷，比计划造林多4公顷，实际比计划多造林百分之几？ 列式：______________________________________________________________________ ②某商场参加财物保险，保险金额为4000万元，保险费率为．由于事故，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，这样商场实际损失了多少万元？（注：应交保费保险金额保险费率） 列式：______________________________________________________________________ 8．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，已知与是公路弯道的外，内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，、，在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内例边线多 米（结果保留）． 9．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）把一个底面直径和高都是的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ：如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板 （接头部分40计算）． 10．（24-25六年级下·上海虹口·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 11．（24-25六年级下·上海·阶段练习）（1）计算：； （2）求x的值：； （3）已知：，，求． 12．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 13．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）中国目录学之祖刘向说：“书犹药也，善读之可以医愚．”某兴趣小组为了了解本校八年级学生们最喜欢的课外阅读书籍类型（科普类、文学类、历史类、其他），对八年级n名学生进行了问卷调查．并将收集的数据整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： (1)下列是本次调查的步骤： ①从统计图中分析出最受学生喜欢的课外阅读书籍类型及相关信息； ②分发、收集这n名学生填写的调查问卷； ③绘制条形统计图和扇形统计图； ④整理n份调查问卷的数据，绘制频数分布表． 将以上步骤按照统计步骤的正确顺序排列应为______________（填序号）． (2)求本次调查的学生总数n的值． (3)将条形统计图补充完整． (4)扇形统计图中，科普类所在扇形区域的圆心角是_______度． 14．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）小明有一辆前后车轮直径都是厘米的自行车，如图，图是图中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为（齿数是齿轮的尖齿数量），后齿轮的齿数为．（结果保留）    小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程．自行车的行进原理和小明的估算方法如下：小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动（前齿轮转动的齿数等于后齿轮转动的齿数），那么后齿轮相应的转动圈，也就是后车轮的转动圈数．通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进米，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了．如果小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了______米． (1)补全上面空格中的内容； (2)如图3，小明学校有一个四跑道的操场，每条跑道的宽度都相等，跑道从内向外编号分别为到．已知操场的左右两侧分别是以和为直径的半圆，中间部分是长方形．记号跑道和号跑道的面积之和为，号和号条跑道的面积总和为，小明认为和有一定的数量关系，但他手边没有其它测量工具，因此他打算用上述用自行车估算行进路程的方法进行测量和探究． ①小明首先沿着号跑道最外侧边线骑行一圈（忽路行进和转弯时产生的误差），发现自己正好踩了圈脚蹬，随后小明从点处沿直线骑行到点处，发现需要踩圈脚蹬．请帮助小明计算出直径的长度； ②小明又沿着号跑道最内侧边线骑行一圈，发现自己正好踩了圈脚蹬．请帮助小明计算与的比值． 15．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$