精品解析：新疆乌鲁木齐市第十一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第十一中学 2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学学科问卷 试卷分值：150分 答题时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，则可能取值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为，则或，解得或. 故选：D. 2. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论． 【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确； 根据函数的导数图象，函数在时，， 故函数在区间上单调递减，故正确； 由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误； 根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，故正确， 故选： 3. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，再令，求出，从而可得的解析式，进而可求出 【详解】解：由，得， 令，得， 所以 所以. 故选：D 4. 已知随机变量，且，则=（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由期望的性质有，结合二项分布期望公式求参数，再由其方差公式求. 【详解】由题设，，则， 所以. 故选：D 5. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 6. 若某射击手每次射击击中目标的概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用次相互独立重复试验恰好发生次的概率公式，即可求出结果. 【详解】因为射击手每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果相互独立， 由题可得，即，解得或（舍）， 故选：D. 7. 若函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】求导得到，再利用，求出的值. 【详解】因为，所以，故 又，所以． 故选：B 8. 函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围． 【详解】解：令得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在，上单调递增， 作出与的函数图象如图所示： 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得，，，或，，， 有两个不同的零点， 与的函数图象有两个交点， 或，即． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. . C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 10. 下列关于展开式的判断中正确的有（ ） A. 第四项的系数是160 B. 各项系数之和等于64 C. 各二项式系数之和等于64 D. 常数项等于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项为可判断A、D，利用赋值法判断B，根据二项式系数和的性质判断C. 【详解】二项式展开式的通项为（其中且），则第四项的系数为，故A正确； 令可得展开式各项系数和等于，故B不正确； 各二项式系数之和等于，故C正确； 令，即，所以展开式中常数项为，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量等可能取、、、、，如果，则 B. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率 C. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则 D. 已知随机变量，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分布列的性质可判断AC选项；利用两点分布可判断B选项；利用二项分布的期望公式以及期望的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，设随机变量等可能取、、、、， 如果，即，解得，A对； 对于B选项，设随机变量服从两点分布，若， 即，解得，B对； 对于C选项，若随机变量的概率分布为， 由分布列的性质可得，解得，C错； 对于D选项，因为随机变量，则， 由期望的性质可得，D对. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量.若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 因此，. 故答案为：. 13. 若函数与函数有相等的极小值，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出的极小值，根据题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令可得，列表如下： 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，函数的极小值为， 函数的定义域为，则， 当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，无极值； 当时，由可得， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的极小值为，解得. 故答案为：. 14. 现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选．已知这一堆橙子中大果与小果比为3：2，这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02，将小果筛选为大果的概率为0.05．经过一轮筛选后，从筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据题意，记事件“放入水果筛选机的橙子为大果”，事件“放入水果筛选机的橙子为小果”，事件“水果筛选机筛选的橙子为大果”， 可得且， 则, ， 所以， 即筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，可求出的值，再结合极值点的定义验证即可； （2）利用导数分析函数在上的单调性，即可得出函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 函数，求导得， 由在处取得极值，得，即，解得， 此时， 当时，，当时，， 即函数在处取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 【答案】（1）18 （2）15 （3）84 【解析】 【分析】（1）根据排列组合求解即可． （2）按甲乙是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案． （3）先求男生甲和女生乙同时被选中的选法，再根据间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根据分步乘法计数原理求解即可． 【小问1详解】 根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人， 男生有种选法，女生有种选法， 故选法有种； 【小问2详解】 根据题意，分3种情况讨论： 男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种． 男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种， 男生甲和女生乙被选中，有种， 则共有种选法. 【小问3详解】 男生甲和女生乙同时被选中的选法为种， 4人参加百米接力赛的总安排方法为种， 甲跑第一棒的安排方法为种， 乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种． 17. 已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求值及二项式系数最大项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答）. 【答案】（1）； （2）6561 （3）3281 【解析】 【分析】（1）根据题意结合二项式系数最大时求出的值，再计算即可； （2）利用赋值法，令，求出即可； （3）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得. 【小问1详解】 因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 当为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即，所以， 故. 即，二项式系数最大项为第5项：； 【小问2详解】 令，得， 所以. 【小问3详解】 令，得， 令，得. 两式相加可得. 18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 ， （3）13个工时 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【小问1详解】 设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第十一中学 2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学学科问卷 试卷分值：150分 答题时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，则可能取值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 3. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 1 4. 已知随机变量，且，则=（　　） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若某射击手每次射击击中目标的概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. e 8. 函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. . C. D. 10. 下列关于展开式的判断中正确的有（ ） A. 第四项的系数是160 B. 各项系数之和等于64 C. 各二项式系数之和等于64 D. 常数项等于1 11. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量等可能取、、、、，如果，则 B. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率 C. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则 D. 已知随机变量，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量.若，则__________. 13. 若函数与函数有相等的极小值，则实数__________. 14. 现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选．已知这一堆橙子中大果与小果比为3：2，这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02，将小果筛选为大果的概率为0.05．经过一轮筛选后，从筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 16. 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 17. 已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求值及二项式系数最大项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答）. 18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $