精品解析：天津市第二十五中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

2024-2025第二学期高二数学期中测试 一、单选题 1. 一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有（ ）个 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 设，则（ ） A -2 B. -1 C. 0 D. 1 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，已知，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 7. 某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用列联表进行检验，零假设：两种药物的疗效无差异，计算出，根据下面的小概率值的独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数的定义域为______． 12. 当函数取极小值时，则_____． 13. 在的二项展开式中，含的项的系数是________.（用数字作答） 14. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 15. 已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为______，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为______． 三、解答题 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知箱中装有2个白球， 2个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球， （1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率； （2）记随机变量为取出3 球中白球的个数，求的分布列及期望． 18. 已知二次函数的两个零点分别是和3. （1）求b、c值； （2）判断函数在上单调性，并用定义法证明； （3）求函数在内的值域. 19. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲至少有1次未击中目标的概率； （2）记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 20. 已知函数 （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025第二学期高二数学期中测试 一、单选题 1. 一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有（ ）个 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合组合数运算求解即可. 【详解】根据题意可知：集合的含有3个元素的子集有个. 故选：A. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：C 3. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断. 【详解】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 4. 设，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分别令和代入计算即可. 【详解】令易知， 令可得，， 所以. 故选：A. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则. 故选：B. 6. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，已知，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用回归直线方程过样本中心点，可求的值. 【详解】因为，，所以样本中心点， 因为回归方程过样本中心点，所以，解得. 故选：C. 7. 某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用列联表进行检验，零假设：两种药物的疗效无差异，计算出，根据下面的小概率值的独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得到犯错误的概率不超过. 【详解】，， 故“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过. 故选：A 8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可得结论. 【详解】因为为减函数，所以， 又因为为增函数，所以， 所以． 故选：A． 9. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和的正负，排除错误选项，得到正确选项. 【详解】的定义域是， 因为，所以是奇函数，排除CD， 因为，排除B， 故选：A. 10. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】图象如图所示： ∵方程有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得． 故选：D． 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 二、填空题 11. 函数的定义域为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得． 【详解】由题意得：，解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 12. 当函数取极小值时，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性和极值点，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的极小值点为. 故答案为：. 13. 在的二项展开式中，含的项的系数是________.（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可. 【详解】根据二项式定理,的通项为: ， 当时,即时,可得. 即项的系数为. 故答案为：. 14. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则.  表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .  根据条件概率公式 ，可得 .   随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  根据期望公式 可得 .   故答案：；. 15. 已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为______，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】由有三个零点，则有两个不相等的实数根，即可求解的取值范围；由题得，得出，根据导数的几何意义计算即可． 【详解】因为有三个零点，且， 所以有两个不相等的实数根， 所以，解得， 故a取值范围为． 由题得， 所以， 同理，， 故 ． 故答案为：，0． 三、解答题 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 17. 已知箱中装有2个白球， 2个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球， （1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率； （2）记随机变量为取出3 球中白球的个数，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率公式计算即得； （2）确定随机变量X的所有可能取值，求出它们对应的概率，列出分布列并计算期望. 【小问1详解】 设取出的三个球的颜色互不相同的事件为，则； 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为0，1，2． 则，， ． 所以X的分布列为: 0 1 2 随机变量的数学期望：． 18. 已知二次函数的两个零点分别是和3. （1）求b、c的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在内的值域. 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用根与系数关系求参数值； （2）由单调性定义，令，应用作差法比较的大小，即可证； （3）根据二次函数的性质求区间值域即可. 【小问1详解】 由题意得，解得； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 由（1）知，令， 所以 ， 而，则，所以， 综上，在上单调递增. 【小问3详解】 由，则在上单调递减，在上单调递增， 且，，故在的值域为. 19. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲至少有1次未击中目标的概率； （2）记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果． （2）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列． （3）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果． 小问1详解】 记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件， 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响， 射击3次，相当于3次独立重复试验，故； 【小问2详解】 依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且， 即，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件， 则，、为互斥事件，， ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. 20. 已知函数 （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）利用导数，讨论，求出的单调区间作答. （3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答. 【小问1详解】 当时，函数， 求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是. 【小问2详解】 ， 当时，，恒成立，函数在定义域单调递减； 当时，由，可得：，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增； 综上：当时，在定义域单调递减，无增区间， 当时，在单调递减，在单调递增； 【小问3详解】 ，， 令，求导得， 由（2）知，在上单调递增，，， 因此存在唯一，使得，即， 当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，则， 所以整数的最大值是3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$