精品解析：北京市育才学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年北京市育才学校高二（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 袋中共有个球，其中个白球，个黑球．从袋中抽取个球，其中恰有一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，若，则（ ） A. 17 B. 16 C. 14 D. 13 6. 已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则(　　) A. B. C. D. 9. 等比数列中，，记，则数列（　　） A. 无最大项，无最小项 B. 有最大项，有最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 有最大项，无最小项 10. 已知是等差数列的前项和，且.以下有四个命题：①数列中的最大项为；②数列的公差；③；④.其中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 若函数，则________． 12. 一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9，0.8，0.8，在一小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率 _____． 13. 已知为等差数列，为其前n项和．若，则公差 ____ ，数列的前5项和为 ___________． 14. 是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不存在，说明理由． 15. 已知数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的，为递增数列； ③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有正确结论的序号是_______________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式，前n项和； （2）是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 17. 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． （1）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； （2）分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； （3）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 19. 已知在数列中，，，_____，其中． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答． ①数列的前项和； ②； ③且． 20. 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. （1）试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； （2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； （3）地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 21. 已知数列满足，，数列的前n项和为, ，其中． （1）求的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市育才学校高二（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代值计算可得结果. 【详解】因为，则，因此，. 故选：C. 2. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接运用导数运算公式求解即可． 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 3. 袋中共有个球，其中个白球，个黑球．从袋中抽取个球，其中恰有一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数的知识，结合古典概型概率公式可得结果. 【详解】从袋中任取个球，共有种取法；其中恰有一个白球的取法有种， 所求概率. 故选：A. 4. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】由图象可知，函数在上的增长越来越快， 故函数图象在点（）的切线的斜率越来越大， 因为，所以. 故选：B. 5. 在等比数列中，，若，则（ ） A. 17 B. 16 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】计算公比，然后按照通项公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因此，所以，即，因此 故选：A 6. 已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式以及函数性质，分别对首项和公比分类讨论举反例可得结论. 【详解】当首项时，若，此时数列单调递减， 如，因此充分性不成立； 若数列单调递增，当首项，时，满足题意， 如，可知必要性不成立； 综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D 7. 若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意和等差数列的性质可得的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论． 【详解】解：等差数列满足， ， ，，则， 等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数， 当的前项和最大时的值为8. 故选：B. 8. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30， 事件B:出现一个5点，有10种， ∴， 本题选择A选项. 点睛：条件概率的计算方法： (1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算； (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值. 9. 等比数列中，，记，则数列（　　） A. 无最大项，无最小项 B. 有最大项，有最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 有最大项，无最小项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知等比数列的公比，由此结合|an|的变化规律进行分析，即可得到本题的答案． 【详解】设等比数列的公比为q，则，即，解得． 由且，可得：的各项正负交替出现，且|随n的增大而减小． 所以恒成立，且随着n的增大，变小． 因此，当时，最小，且时，，无最大值． 故选：C． 10. 已知是等差数列的前项和，且.以下有四个命题：①数列中的最大项为；②数列的公差；③；④.其中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】，可得，，，，再利用等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质逐一分析判断即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，故②正确； 数列中的最大项为，故①错误； ，故③正确； ，故④正确. 因此有②③④正确． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 若函数，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数进行求导，然后运用代入法进行求解即可. 【详解】. 故答案为：1 【点睛】本题考查导数的运算法则，考查了数学运算能力，属于基础题． 12. 一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9，0.8，0.8，在一小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率 _____． 【答案】0.424 【解析】 【分析】根据题意，设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件，设“至少有一台机床需要照顾”为事件B，由相互独立事件的概率公式求出，由对立事件的性质计算可得答案． 【详解】根据题意，设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件， 设“至少有一台机床需要照顾”为事件B，则为“三台机床都不需要照顾”， 由题意相互独立，且， 则． 则． 故答案为：． 13. 已知为等差数列，为其前n项和．若，则公差 ____ ，数列的前5项和为 ___________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求出第一空答案，求出Sn的表达式，结合裂项相消法计算可得第二空答案． 【详解】根据题意，设数列的前5项和为T， 为等差数列，若，则有， 解可得， 又由，则， 故，所以， 则． 故答案为：1；． 14. 是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不存在，说明理由． 【答案】存在，.（答案不唯一） 【解析】 【分析】先确定这样的数列，如，再证明这个数列符合题意即可. 【详解】解：存在，如， 因为，所以， 又函数在上递增， 所以数列是无穷递增数列， 所以存在各项都小于5的无穷递增数列. 15. 已知数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的，为递增数列； ③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有正确结论的序号是_______________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④./ 【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式， 可得，进而可得，解得，又， 故不存在，使得为常数列，故①错误； 对于②，对于，由递推公式，可得， 所以，，所以， 所以数列是递增数列，结论②正确； 对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数， 则可得是常数数列，则，与矛盾， 故对任意的，既不是等差数列， 若是等比数列，则为常数。根据递推公式， 即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾， 所以对任意的，不是等比数列； 综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确； 对于④，由，两边平方得，故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式，前n项和； （2）是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 当时，，； 当时，，． （2）存在，n＝41 【解析】 【分析】（1）由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和； （2）把Sn分类代入，求解得答案． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由，且成等比数列， 得，解得或， 当时，，； 当时，，． 【小问2详解】 当时，，此时不存在正整数n，使得成立； 当时，由，得，解得或． 此时存在正整数，使得成立． 17. 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． （1）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； （2）分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； （3）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）利用频率估计概率即可求解，结合相互独立事件的概率公式求解即可； （3）求出，，比较大小即可. 【小问1详解】 从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为 ， 因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为． 【小问2详解】 设事件：抽取的高一学生选择去B地， 事件：抽取的高二学生选择去B地， 事件：抽取的高三学生选择去B地， 事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，， 事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地． 从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高二年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高三年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 因为， 所以 ． 所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为 ． 【小问3详解】 在三个年级去A地研学旅行的学生中， 调查结果为满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为满意的学生人数的方差为， 调查结果为不满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为不满意的学生人数的方差为， 则. 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，建立方程，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以所求切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 设过原点的切线切于点， 则切线方程为：，又其过原点， 所以，所以， 所以切线l的方程为，即为． 19. 已知在数列中，，，_____，其中． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答． ①数列的前项和； ②； ③且． 【答案】（1） 若选择①：前n项和， 则时，， 当时，，也适合上述式子， 综上所述，数列的通项公式为； 若选择②：，则（常数）， 可知数列构成公差为的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； 若选择③：且，则， 可知数列是等差数列， 设公差为，则由，得，解得． 所以数列的通项公式为． （2）证明如下： 若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为，且公比的等比数列； （3）. 【解析】 【分析】（1）若选择①，根据与的递推关系列式算出的通项公式； 若选择②，先证出构成公差为的等差数列，然后根据等差数列的通项公式算出答案； 若选择③，先证出构成等差数列，然后根据、求出公差，结合等差数列的通项公式算出答案． （2）根据的通项公式，可得，然后根据等比数列的定义证出所求结论； （3）根据等差数列与等比数列的前项和公式加以计算，化简即得的表达式． 【19题详解】 略 【20题详解】 略 【21题详解】 由（1）和（2）得， 所以 ＝． 即． 20. 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. （1）试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； （2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； （3）地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 【答案】（1） （2）的分布列如下表所示： ， （3） 建议农科所推广该项技术改良， 设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知， 所以，增产的会产生增加的收益为， 故建议农科所推广该项技术改良. 【解析】 【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：由图可知，亩产量是的概率约为， 亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为， 估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为 【小问2详解】 解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、， ，， ， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： . 【小问3详解】 略 21. 已知数列满足，，数列的前n项和为, ，其中． （1）求的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：, 所以. 又， 故数列是首项为1，公比为－2的等比数列． （3）存在唯一的，使得成立． 【解析】 【分析】（1）由，根据递推公式可求得，所以有． （2）由题设知： ，由此可证数列为等比数列； （3）由 （2）知，所以． 由于，则令由题设中的递推公式易得：由此求出求出的表达式，将原问题转化为函数方程问题． 【详解】（1）因为，， 所以，所以． （2）略 （3）由（2）知， 所以． 设， 又 ． 则由，得， 设， 则， ，所以在上单调递增， ，即，所以在上单调递增 又因为， 所以仅存在唯一的，使得成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $