精品解析：天津市滨海新区田家炳中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

滨海新区田家炳中学2024-2025-2高二年级期中考试 数学 试卷 一、单选题（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知全集，集合 ，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意，∴． 故选：A． 2. 下列求导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确 故选：B 3. 已知函数，则函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以， 又，故函数在点处的切线方程为，化简得. 故选：C. 4. 二项式 展开式的第项的系数是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式的展开式的通项公式求第四项系数即可. 【详解】二项式的展开式的第项是：， 所以第项的系数是：. 故选：C. 5. 四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ） A. 24 B. 120 C. 625 D. 1024 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】对于甲来说，有种借阅可能，同理，每人都有种借阅可能， 根据分步乘法计数原理可得共有种可能. 故选：D 6. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5， 当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数， 当末位数字为5时，此时有个符合条件三位数， 因此一共有个， 故选：B 7. 第四届中国基础教育论坛于2024年11月30日至12月1日在天津举行.大会期间从A大学的3名志愿者、B大学的1名志愿者和C大学的2名志愿者中，随机抽取2人到会务接待组服务，抽取的2名志愿者均来自A校的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数公式求出基本事件总数以及符合题意的基本事件数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由题意从6个人中随机抽取两个人，共有种结果， 抽取的2名志愿者均来自校的有种结果， 所以抽取的2名志愿者均来自校的概率. 故选：C． 8. 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用条件概率公式求解即可. 【详解】设事件表示选到团员，事件表示选到男生，则． 故选：A. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D. 【详解】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，可得①，故B错误； 对于C：令，可得②， 联立①②可得，故C错误； 对于D：由题意可知展开式共有项，则第项的二项式系数最大，故D错误． 故选：A． 10. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又，， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 11. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数的图象，可得 当时，，则，则单调递增； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递增； 则单调递增区间为，；单调递减区间为 故仅选项C符合要求. 故选：C 12. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，可得， 原题意等价于在上恒成立， 因为开口向下，对称轴， 可得在上单调递减， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 故选：A. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用二次不等式解法解之即可. 【详解】因为，所以，故，解得或， 所以的解集是或. 故答案为：或. 14. 若随机变量，且，则__________. 【答案】0.1 【解析】 【分析】 直接利用正态分布的对称性得到答案. 【详解】随机变量，故， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用正态分布求概率，意在考查学生对于正态分布性质的灵活运用. 15. 已知随机变量，若，则__________. _________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式求出，再由方差公式计算可得. 【详解】因为且，所以，解得， 则，所以. 故答案为：； 16. 在 的二项展开式中的系数为_______，所有项的二项式系数和为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项求出二项展开式中的系数，所有项的二项式系数和为. 【详解】二项式展开式的通项为（）， 令，解得， 所以，所以二项展开式中的系数为， 所有项的二项式系数和为. 故答案为：； 17. 展开式中的系数为 __________. 【答案】 【解析】 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为（）， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 18. 在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】记事件表示“第1次抽到选择题”，事件表示“第2次抽到选择题”，分别求出，，根据条件概率公式即可求出结果. 【详解】记事件表示“第1次抽到填空题”，事件表示“第2次抽到选择题”， 则，， 所以在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率， 第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为. 故答案为：； 19. 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_______________. 【答案】0.054 【解析】 【分析】记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市,记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市，求出,,,,,,根据全概率公式可得答案 【详解】记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市, 记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市，,且彼此互斥, 依题意，,,, ,,, 由全概率公式得 ， 所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. 故答案为：0.054 20. 若函数的单调减区间是则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设知上，利用根与系数关系有，即可求. 详解】由题设，， ∴上，即是的两个根， ∴，可得. 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点，平面，. （1）求证：平面； （2）求证：平面 . 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，与相交于，连接，即可证明，从而得证； （2）由线面垂直的性质得到，再由，即可得证. 【小问1详解】 连接，与相交于，连接， ∵是平行四边形， ∴是的中点，又点是的中点， ∴， 又平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 22. 袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. （1）若从袋中任取3球， （i）其中有白球的概率； （ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差 （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列 【答案】（1）（i）；（ii）分布列见解析，期望为2，方差为 （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）（i）先求出从袋中任取3球，共有情况数，并得到有白球的情况数，求出概率； （ii）X的可能取值为1,2,3，并得到相应的概率，得到分布列，利用期望和方差公式求出答案； （2）的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列. 【小问1详解】 （i）从袋中任取3球，共有种情况， 其中全为黑球的情况为种情况，故有白球的情况为种， 故有白球的概率为； （ii）X的可能取值为1,2,3， ，即任取3球，有1个黑球，2个白球，故， ，即任取3球，有2个黑球，1个白球，故， ，即任取3球，有3个黑球，0个白球，故， 所以X的分布列如下： 1 2 3 期望为， 方差为. 【小问2详解】 若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的概率为， 取到黑球的个数的可能取值为0,1,2， 则，， ， 故的分布列为 0 1 2 23. 已知函数，满足. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. （3）方程无实数根， 求实数的范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后根据求解即可； （2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可. （3）由（2）可得的最小值及取值情况，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，又，解得； 【小问2详解】 由（1）定义域为，且为增函数. 令可得， 故当时，，即在单调递减； 当时，，即在单调递增. 故在处有极小值，无极大值. 综上可得单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. 【小问3详解】 由（2）可得在单调递减，在单调递增， 在处有极小值，即， 且当时， 因为方程无实数根， 所以与无交点， 所以，即，所以实数的取值范围为. 24. 已知函数，且在处取得极值． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）若当时，恒成立，求c的取值范围； （Ⅲ）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）c的取值范围是．（Ⅲ）成立，证明见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意得f（x）在x＝1处取得极值所以f′（1）＝3﹣1+b＝0所以b＝﹣2． （Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c2＞2+c，解得：c＞2或c＜﹣1． （Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min． 【详解】（Ⅰ）∵f（x）＝x3x2+bx+c， ∴f′（x）＝3x2﹣x+b． ∵f（x）在x＝1处取得极值， ∴f′（1）＝3﹣1+b＝0． ∴b＝﹣2． 经检验，符合题意． （Ⅱ）f（x）＝x3x2﹣2x+c． ∵f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1）， 当x∈（﹣1，）时，f′（x）＞0 当x∈（，1）时，f′（x）＜0 当x∈（1，2）时，f′（x）＞0 ∴当x时，f（x）有极大值c． 又f（2）＝2+cc，f（﹣1）cc ∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最大值为f（2）＝2+c． ∴c2＞2+c．∴c＜﹣1或c＞2． （Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立． 由（Ⅱ）可知，当x＝1时，f（x）有极小值c． 又f（﹣1）cc ∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最小值为c． ∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，故结论成立． 【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f（x1）﹣f（x2）|≤a恒成立等价为f（x）max﹣f（x）min≤a 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨海新区田家炳中学2024-2025-2高二年级期中考试 数学 试卷 一、单选题（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知全集，集合 ，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列求导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 二项式 展开式的第项的系数是（） A. B. C. D. 5. 四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ） A. 24 B. 120 C. 625 D. 1024 6. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 7个 7. 第四届中国基础教育论坛于2024年11月30日至12月1日在天津举行.大会期间从A大学的3名志愿者、B大学的1名志愿者和C大学的2名志愿者中，随机抽取2人到会务接待组服务，抽取的2名志愿者均来自A校的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（ ） A B. C. D. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 10. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 11. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 若函数在上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 不等式的解集为______． 14. 若随机变量，且，则__________. 15. 已知随机变量，若，则__________. _________. 16. 在 的二项展开式中的系数为_______，所有项的二项式系数和为________. 17. 展开式中系数为 __________. 18. 在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________. 19. 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_______________. 20. 若函数的单调减区间是则实数________． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点，平面，. （1）求证：平面； （2）求证：平面 . 22. 袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. （1）若从袋中任取3球， （i）其中有白球的概率； （ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差 （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列 23. 已知函数，满足. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. （3）方程无实数根， 求实数的范围. 24. 已知函数，且处取得极值． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）若当时，恒成立，求c的取值范围； （Ⅲ）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$