精品解析：广东省广州二中教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

广州二中教育集团2024学年第二学期期中考试 高一数学 一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，多选、错选均不得分． 1. 是复数为虚数的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C. 沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 3. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 5. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. 2 D. 6. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程的两个根，，则（ ） A. 12 B. C. 18 D. 7. 某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的模为5 C. 复数z的虚部为 D. 方程的另一个根为 10. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 11. 已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 直线、、三线共点 D. 过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量_______（用，表示向量） 13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则________． 14. 设是虚数，是实数．则的取值范围为________． 四、解答题，本题共5小题，共77分．要求必要步骤和答案必须填写在答题卡上指定区域的指定位置． 15. ，是夹角为的单位向量，设． （1）计算的大小； （2）设向量，若与共线，求实数m的值； （3）是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 16. 已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． （1）求B、C两地之间的距离； （2）求高铁站D到C地的距离． 17. 如图，正三棱柱中，D为棱的中点． （1）证明：平面； （2）令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 18. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积； （3）求的取值范围． 19. 法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立． （1）请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明； （2），求的最大值； （3）设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州二中教育集团2024学年第二学期期中考试 高一数学 一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，多选、错选均不得分． 1. 是复数为虚数的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合虚数的概念即可判断. 【详解】时，是虚数， 若是虚数，则， 所以是复数为虚数的充要条件， 故选：C. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C. 沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱柱、棱锥、圆锥的结构特征逐项判断即可. 【详解】对于A，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，A错误； 对于B，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，B错误； 对于C，沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，C错误； 对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确. 故选：D 3. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】，， 则，， 所以在上的投影向量的坐标为． 故选：D． 4. 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 5. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于 ，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解． 【详解】 连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以. 故选：A 6. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程的两个根，，则（ ） A. 12 B. C. 18 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算即得. 【详解】方程中，，则， 由余弦定理得. 故选：D 7. 某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求得圆锥的高和母线长，进而判断轴截面三角形为等边三角形，得出圆锥外接球球心位置，计算得出半径，得出结果. 【详解】作出如图所示轴截面，设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为， 由勾股定理可得 ， 因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1， 所以，轴截面三角形面积为， 解得 ，则圆锥的高 ， 所以母线， 三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为， 设外接球半径为，则， 根据球的表面积公式，可得. 所以该圆锥外接球的表面积为. 故选：B 8. 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形如图所示，设，，由题设知三角形 为等腰三角形，由可得，从而得出结论. 【详解】如图， 设，， 则， 由已知，有， 所以三角形 为等腰三角形. 设C为 的中点，则 ，且， 所以，即， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的模为5 C. 复数z的虚部为 D. 方程的另一个根为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根特征，结合韦达定理求解. 【详解】复数， 对于BC，，复数z的虚部为，BC错误； 对于AD，方程的另一个根为， ，AD正确. 故选：AD 10. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 直线、、三线共点 D. 过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；作出过点的正方体的截面，计算判断BD；借助三角形中位线性质判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点， 对于A，连接，，平面，平面，则平面，A正确； 对于B，直线与的延长线交于点，连接与分别交于点， 由，得，则，由，得， ，则直线与不平行，而平面，于是与必相交， 又平面，平面，即平面与平面有公共点，B错误； 对于C，由，令直线，则是的中点， 同理直线，是的中点，因此重合，C正确； 对于D，由选项B知，五边形是过三点的正方体截面， ，而，则，同理， 因此五边形周长等于，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量_______（用，表示向量） 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后根据中位线的性质，求得. 【详解】依题意，由于分别是线段的中点，故. 【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查三角形中位线，属于基础题. 13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，， 由正弦定理，得， 而，则，所以或. 故答案为：或 14. 设是虚数，是实数．则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，且，利用复数除法运算结合复数的概念求出对应点的轨迹，最后结合圆的性质求解即可. 【详解】设，且， 则， 因为为实数，所以， 得，且， 因此复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（不含点）， 表示点与点的距离，而点与圆心的距离为1，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题，本题共5小题，共77分．要求必要步骤和答案必须填写在答题卡上指定区域的指定位置． 15. ，是夹角为的单位向量，设． （1）计算的大小； （2）设向量，若与共线，求实数m的值； （3）是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解. （2）利用共线向量定理列式求解. （3）假定存在，利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 由，是夹角为的单位向量，得，而， 因此. 【小问2详解】 向量与共线，则，所以. 【小问3详解】 假定存在实数n，使得与向量垂直，则， 即，解得， 所以存在实数n，使得与向量垂直，. 16. 已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． （1）求B、C两地之间的距离； （2）求高铁站D到C地的距离． 【答案】（1）干米； （2）千米. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式计算即得. （2）由正弦定理确定地在地的正西方向，再在中利用余弦定理列出方程求解. 【小问1详解】 依题意，在中，，，， 由余弦定理得， 则，解得， 即村庄，之间的距离为干米； 【小问2详解】 在中，由正弦定理得， 则，从而， 则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得， 在中，由余弦定理得， 而，则，解得， 所以高铁站D到C地的距离千米. 17. 如图，正三棱柱中，D为棱的中点． （1）证明：平面； （2）令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【答案】（1） 在正三棱柱中，连接，连接， 则为中点，而D为棱的中点，于是， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用锥体、柱体体积公式，结合割补法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，由D为棱的中点，得，， 于是， 所以. 18. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求得答案. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解. （3）结合余弦定理变形目标式并用正弦定理化边为角，再利用和角的正弦及正切函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理， 得，由余弦定理得， 于是，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，解得， 因此当时，的周长取得最大值6， 此时的面积. 【小问3详解】 在锐角中，，由，得，， ， 所以的取值范围是. 19. 法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立． （1）请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明； （2），求的最大值； （3）设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值． 【答案】（1） 依题意，柯西不等式的二元形式为： 设，则，当且仅当时取等号. 用向量法证明：令， 由数量积的性质得，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. （2） . （3） . 【解析】 【分析】（1）在一般形式下，写出二元形式即可，再利用向量数量积的性质证明. （2）利用柯西不等式的二元形式求出函数最大值. （3）由正四面体的体积公式得到，由柯西不等式得到，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是. 【小问3详解】 取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，则点在上，且， 因为，由勾股定理得， ，故， 则正四面体的体积， 由正四面体的体积， 得，所以， 又由柯西不等式得 ， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $