精品解析：北京市顺义区杨镇第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024－2025学年第二学期期中考试高二数学试题 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 2. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 3. 小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. 160 D. -160 6. 设等比数列的公比，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ） A. 24种 B. 18种 C. 12种 D. 6种 9. 已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二．填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置. 11. ______.（用数字作答） 12. 求函数，在处切线斜率______． 13. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项是______． 14. 在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______． 15. 已知函数. （1）函数的最大值等于________； （2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________. 三．解答题：本大题有6小题，共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知满足. （1）求实数； （2）求，. 17. 已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）判断函数零点的个数，并说明理由. 19. 数列的前项和为，且，，，，，. （1）求，，的值； （2）求的通项公式； （3）设，求的表达式. 20. 已知函数切线方程为 （1）求切点坐标； （2）若对任意，都有恒成立，求最大值． 21. 已知函数，其中． （1）求的单调区间； （2）当且时，判断与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期期中考试高二数学试题 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 2. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式直接求导即可. 【详解】解：， ， 故选：D 3. 小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知：小王同学在化学、生物、政治、历史、地理中任选2门，即可得不同选法种数. 【详解】由题意知：小王同学选择另外两门的方法有种. 故选：A 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到数列是公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】解：由，可得， 又由，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 则. 故选：B. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. 160 D. -160 【答案】D 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为0，即可求出对应的常数项． 【详解】解：二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以常数项为． 故选：． 6. 设等比数列的公比，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】设数列的首项为. ∵数列为等比数列，且公比 ∴，，且 ∴ 故选：B. 7. 已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的图象与导函数图象之间的关系判断． 【详解】由图象知，递减，即，但图象的切线斜率随着的增大而增大，导函数是递增的， 因此． 故选：A． 8. 某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ） A. 24种 B. 18种 C. 12种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排列计数问题列式求解. 【详解】先排数学课有2种方法，再排余下3门课程有种方法， 所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）. 故选：C 9. 已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案. 【详解】解：设数列的公比为， 若， 则，所以， 则， ，所以， 所以为递减数列； 若为递减数列， 当时，，数列为递减数列， 此时， 所以由为递减数列不一定能得到， 所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 10. 设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由导数求出两曲线的切线 【详解】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为， ，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为， ， 这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直， |PQ|的最小值即为两切点间的距离． 所以， 故选：C． 二．填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置. 11. ______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数及组合数公式，准确计算，即可求解. 【详解】由组合数的计算公式，可得. 故答案为：. 12. 求函数，在处切线斜率______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再计算即可. 【详解】因为，则， 所以，即在处切线斜率. 故答案为： 13. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质得二项式系数最大的项，写出展开式的通项，即可求出二项式系数最大的项. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 又，所以二项式系数最大的项是第项，即， 故答案为： 14. 在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______． 【答案】 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】分步完成， 第一步，首位数字不能为零，有种取法； 第二步，其余三位数可以从剩下的五位数中任取三位，共有种取法； 所以一共有种，即可组成无重复数字的四位数共个. 故答案为：. 15. 已知函数. （1）函数的最大值等于________； （2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，由导函数确定单调性，极值，得最大值； （2）若对任意，都有成立，等价于当时，，而由（1）在上，因此只要当时，即可得，由此可得的取值范围，从而得的最小值． 【详解】（1）函数定义域是，， 时，，递增，时，，递减， ∴时，取得极大值也是最大值； （2）若对任意，都有成立， 等价于当时，， 由（1）当时，，且，满足题意； 当，在上递增，，在递减，， 只要即可，∴， 综上，的最小值是1.． 故答案为：；1． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值，由单调性易得结论． 三．解答题：本大题有6小题，共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知满足. （1）求实数； （2）求，. 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意，根据二项展开式的通项公式，求得的值. （2）由题意，根据二项展开式的通项公式，求得，的值. 【小问1详解】 满足， 通项公式为， ，解得或（舍去）， 实数. 【小问2详解】 根据通项公式为， 可得当时，， 当时，. 17. 已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列求和公式求出，即可求出，从而求出公差，再由等差数列通项公式计算可得； （2）首先求出、，即可求出通项公式，从而得到，再由分组求和法计算可得. 【小问1详解】 ，即， 又，，所以等差数列的公差， 等差数列的首项， . 【小问2详解】 因为是和的等差中项， ，即， 又，，， 所以等比数列的公比， 所以，则， 所以 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）判断函数零点的个数，并说明理由. 【答案】（1）函数在区间，上单调递增；函数在区间上单调递减. （2）一个，理由如下： 根据第一问，由函数单调性可知 当时，有极大值； 当时，有极小值； 在区间单调递增，在区间上单调递减， 可知在上，恒有； 当时， ，(举例不唯一) 上单调递增，由零点存在定理可知， 有且只有一个实数，使得. 所以函数有且只有一个零点 【解析】 【分析】（1），列表得到在区间上的正负符号即可得到的单调性； （2）计算，，，由（1）的结论及零点存在定理即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意得， 令，得，． 与在区间上的情况如下: + 0 _ 0 + 增 减 增 函数在区间，上单调递增; 函数在区间上单调递减. （2）略 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数的问题，涉及到零点存在性定理的应用，是一道基础题. 19. 数列的前项和为，且，，，，，. （1）求，，的值； （2）求的通项公式； （3）设，求的表达式. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知结合数列递推式求，，的值； （2）由数列递推式可得数列从第二项起构成以为公比的等比数列，则的通项公式可求； （3）数列是以为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式求解. 【小问1详解】 由，，得，即； ，则； ，则； 【小问2详解】 由，得， ，得， 由（1）得，，不适合上式， 数列从第二项起构成以为公比的等比数列， 则的通项公式； 【小问3详解】 数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则. 20. 已知函数切线方程为 （1）求切点坐标； （2）若对任意，都有恒成立，求最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义得到，即可求出，从而求出切点坐标； （2）令，，依题意即对任意的恒成立，分、、三种情况讨， 结合函数的单调性，求出的取值范围，即可得解. . 【小问1详解】 设切点为，由，则，所以， 依题意，解得， 所以切点为； 【小问2详解】 令，，依题意即对任意的恒成立， 当时恒成立，符合题意； 当时，， 当时恒成立， 所以在上单调递增，时，，所以，不符合题意； 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即，解得； 综上可得，则最大值为. 21. 已知函数，其中． （1）求的单调区间； （2）当且时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为和． （2），理由： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性即可； （2）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论. 【小问1详解】 的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $