精品解析：山东省青岛五十八中高新学校2025届高三二模数学试题

青岛五十八中高新学校高考二模 数学试题 2025年4月 命题：高三数学 李梓毅 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，，则 ．故选C． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C． 【详解】则．故选C． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 4. 展开式中的系数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数． 【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为， 故选：C． 5. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质 6. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体中， 平面与线所成的角是相等的， 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 7. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得. 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 8. 设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,… 若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则 A. {Sn}为递减数列 B. {Sn}为递增数列 C. {S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D. {S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【答案】B 【解析】 【详解】且，，， ，， 又，，，， 由题意，，， ，， ，，， 由此可知顶点在以、为焦点的椭圆上， 又由题意，，， ，， ，， 单调递增（可证当时 故选：． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数若的最小值为，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递增 C. D. 函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【解析】 【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD； 方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可. 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可： 由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B. 在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用所有的二项式系数之和为即可判断；对于B，利用“杨辉三角”中数字的左右对称性和左增右减的性质易判断；对于C，先写出数列的前10项之和为，再运用组合数的性质计算即得；对于D，先写出表示的式子，通过两个角度考虑展开式中的系数即可推理得到. 【详解】对于A，第行的所有的数字之和为，故A正确； 对于B，第行的数中，从左到右共有个数，则第个数最大，故B错误； 对于C，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为， 因 ，故C正确； 对于D，依题意，，则， 下面证明. 分别从两个角度考虑二项式展开式中的系数，由的通项可知的系数为， 由考虑，的系数为：， 故有，而第行的中间一项为第项，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据作差计算可得； 【详解】因为， 当时，； 当时，， 所以， 当时不满足，所以. 故答案为： 13. 已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 14. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 【答案】 【解析】 【详解】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则. ， ， 三棱锥的体积. 设，则， 令，即，得，易知在处取得最大值. ∴. 点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决. 四、解答题 15. 如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面 （1）证明：平面 （2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取中点， 中点，连接， 因为，所以， 又，所以， 又因为，，平面PCE， 所以平面， 又平面，故有， 因为， 所以， 又平面平面，平面平面， 又在平面内， 所以平面， 又平面，故有， 又，，平面 故有平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理，即可得； （2）方法一，建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可得； 方法二，利用线面垂直的判定与性质，找出二面角，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：以点F为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设点， 设平面PAB的法向量，，， 则， 可取， 于是有，得 平面PAC的法向量，平面PAB的法向量，设平面PAB与平面PAC夹角为，则， 解法二：如图，作，垂足为 M，连接 因为平面，，故平面， 为与平面所成角， 有，得到， 设，则， 由，得，解得 作，垂足为 ，连接， 为平面与平面夹角， ，由得，， ， ， 平面与平面夹角的余弦值为 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 17. 如图，内一点满足. （1）若，求的值； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出 ，再利用余弦定理求出 ，利用同角三角函数基本关系式求出，最后利用两角差的正弦公式计算即可 （2）设 ，在与采用余弦定理与正弦定理，然后利用与的关系列出关于 的方程，解出 即可 【小问1详解】 ，此时. 在中，， 又，故 所以 【小问2详解】 设，在中，. 在中，，代入得：. 又，故. 即，解得：，所以. 18. 已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程. (2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明. （ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 解：由题知，，的面积等于， 所以，解得，，所以，椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线PA的方程为， 直线PB的方程为，由题知， 所以，所以， 同理，， 所以，是方程的两根，所以. （ii）设，，设直线AB的方程为， 将代入得， 所以，① ，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以，所以， 若，则直线，此时AB过点P，舍去. 若，则直线，此时AB恒过点， 所以直线AB过定点. 19. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）的分布列如下： （2）（i）证明： 即 整理可得： 是以为首项，为公比的等比数列； （ii），解释如下： 由（i）知： ，，……， 作和可得： 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【解析】 【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出. 【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，， ；； 则的分布列如下： （2）， ，， （i）略 （ii），这种实验方案合理，理由略. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛五十八中高新学校高考二模 数学试题 2025年4月 命题：高三数学 李梓毅 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 2. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A. B. C. D. 4. 展开式中的系数为 A. B. C. D. 5. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 7. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,… 若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则 A. {Sn}为递减数列 B. {Sn}为递增数列 C. {S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D. {S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数若的最小值为，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递增 C. D. 函数的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B. 在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为________. 13. 已知函数，则的最小值是_____________． 14. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 四、解答题 15. 如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面 （1）证明：平面 （2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 17. 如图，内一点满足. （1）若，求的值； （2）若，求的长. 18. 已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 19. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $