精品解析：江苏省无锡市长泾片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试卷

2024-2025学年长泾片第二学期期中考试试卷 初一数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 4. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 5. 若的计算结果中不含有项，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 6. 若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”设树的数量为x，乌鸦的数量是y，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ） A. 纸带①、②的边线都平行 B. 纸带①、②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 10. 有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（   ） A. 29 B. 25 C. 18 D. 24 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. ＝_____． 12. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，则把数据用科学记数法表示为______． 13. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 14. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么________°． 15. 若，则的值为_________． 16. 如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 17. 已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 _____． 18. 如图，在中，，，．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程（组）： （1） （2） 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、、均在格点（网格线的交点）上． （1）画，使它与关于直线成轴对称． （2）画，使它与关于点成中心对称． （3）小明在玩激光反射游戏，平面镜位于直线上，他需要从点处发射激光，经镜面反射后击中目标点，请在直线上作出反射点． 22. 如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． （1）求线段的长和的大小． （2）求图中阴影部分的面积． 23. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______________； （2）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：__________________． 24. 为了在即将到来的体育中考中取得好成绩，某校准备在体育中考前将学校九年级的430名学生送到体育馆进行一次模拟考试，经学校和客车公司联系了解到：2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人．若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满．根据以上信息，回答下面问题： （1）每辆大型客车和中型客车各载多少人？ （2）该校共有多少种租车方案？ （3）若每辆大型客车需租金1000元，每辆中型客车需租金800元，请你为该校提供一个最省钱的租车建议，并求出最少租车费用是多少？ 25. 如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． （2）若，则 ． （3）若，求的值． （4）如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 26. 如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． （1）将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． （2）继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． （3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年长泾片第二学期期中考试试卷 初一数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称的特点逐一判断即可． 【详解】解：A：不是轴对称图形，故A错误； B：是轴对称图形，故B正确； C：不是轴对称图形，故C错误； D：不是轴对称图形，故D错误； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项的法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法、熟知计算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项的法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法、对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故该选项不符合题意； B、，原计算错误，故该选项不符合题意； C、，原计算正确，故该选项符合题意； D、，原计算错误，故该选项不符合题意． 故选：C． 3. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 4. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 5. 若的计算结果中不含有项，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 6. 若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 8. 阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”设树的数量为x，乌鸦的数量是y，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意可得： ， 故选：C． 9. 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ） A. 纸带①、②的边线都平行 B. 纸带①、②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【解析】 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 10. 有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（   ） A. 29 B. 25 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. ＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】运用积的乘方逆运算进行速算即可． 【详解】 ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了积的乘方运算：（n是正整数） ，有理数的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题关键． 12. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，则把数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】∵， 故答案为：． 13. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到， 又， 故答案为：． 15. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，将式子进行适当的变形是解题的关键．由得，而，代入即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 【答案】48 【解析】 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17. 已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 _____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当k=0时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入x－2y=－4得：x－2y=－2－2=－4． 即①正确； ②， 由②－①得：x+y=2k－1， 若x+y=0，则2k－1=0， 解得：k=， 即存在实数k，使得x+y=0， 即②正确； ③解方程组， 得， ∴x+3y=3k－2+3（1－k）=1， ∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变， 故③正确； ④解方程组， 得， 若3x+2y=6 ∴k=， 故④错误． 所以正确的序号是①②③． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义． 18. 如图，在中，，，．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，根据题意得出是等腰直角三角形，进而得出面积的为，根据垂线段最短，结合已知可得的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图， ∵将、分别沿、翻折至、， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴面积的为 ∴当面积的最小时,最小， ∵在中，，，． ∴当最小时，，此时 ∴面积的最小值为 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）先利用多项式乘以多项式，完全平方公式进行计算，再加减求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 得，， 将代入①得，， 解得： 所以原方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 原方程组整理为： 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， 所以原方程组的解为：． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、、均在格点（网格线的交点）上． （1）画，使它与关于直线成轴对称． （2）画，使它与关于点成中心对称． （3）小明在玩激光反射游戏，平面镜位于直线上，他需要从点处发射激光，经镜面反射后击中目标点，请在直线上作出反射点． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，连接交与点，则点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）利用轴对称的性质找到对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据中心对称的性质找到对应点，顺次连接，即可求解； （3）根据轴对称的性质，连接交与点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． （1）求线段的长和的大小． （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，则，根据平移可得，进而根据平行线的性质可得，根据，即可求解； （2）根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：沿着方向平移得到， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 平移， ， ， 　 ， ， ，， ． 23. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______________； （2）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：__________________． 【答案】（1）3 （2） ①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②3 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据题意可得，进而求解； （2）由，，，得，，，得出，从而； （3）设，，由结论得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ， 【小问2详解】 ①略 ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ． 24. 为了在即将到来的体育中考中取得好成绩，某校准备在体育中考前将学校九年级的430名学生送到体育馆进行一次模拟考试，经学校和客车公司联系了解到：2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人．若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满．根据以上信息，回答下面问题： （1）每辆大型客车和中型客车各载多少人？ （2）该校共有多少种租车方案？ （3）若每辆大型客车需租金1000元，每辆中型客车需租金800元，请你为该校提供一个最省钱的租车建议，并求出最少租车费用是多少？ 【答案】（1）每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人 （2）共有3种租车方案 （3）建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人，根据“2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租a辆大型客车，b辆中型客车，根据总人数为430名学生，若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程得出整数解即可； （3）分别计算出各租车方案的费用，进行比较即可． 【小问1详解】 解：设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人； 【小问2详解】 解：设租a辆大型客车，b辆中型客车． 根据题意，得， ∴， ∴， ∵a、b均为非负整数， ∴该方程组的非负整数解为或或， 答：共有3种租车方案； 【小问3详解】 解：有以下三种方案： ①当、时，（元）， ②当、时，（元）， ③当、时，（元）， ∵， ∴方案③最划算． 答：建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元． 25. 如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． （2）若，则 ． （3）若，求的值． （4）如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）20 （3）7 （4）17 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 由可得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 故答案为：20； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ； 【小问4详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即． ∴图中阴影部分的面积为17． 26. 如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． （1）将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． （2）继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． （3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 由图3可知，，， ， 即； （3）的值为或或或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论． （1）根据的度数就是旋转的角度求解即可； （2）由图3可知，，，则可求解； （3）分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求出旋转的度数，再除以旋转速度便可得时间． 【小问1详解】 解：， 落在射线上时，旋转的角度是， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，或， 或； ②当时，， ； ③当时，， ， ； ④当时，， ； 综上所述，的值为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $