精品解析：河南省商丘市2024-2025学年下学期五月九年级学业水平考试数学试卷

2025年九年级毕业会考试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图，传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 2024年8月20日《黑神话：语空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．从河南省省文旅厅获悉，2024年国庆假期，河南省44个重点监测景区累计接待游客7991.6万人次，数据7991.6万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为了备战中考，某校九年级全体学生开展了体育加试模拟测试（满分分），细心的小明统计了本班名同学的成绩，如下表所示： 成绩/分 人数/人 关于成绩这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据中前名的方差大于最后名的方差 C. 该组数据的平均数是 D. 该组数据的中位数是 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点，，，函数的图象经过点，则的长为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 12. 定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，满足．若，则x的值为________． 13. 如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是7，则的长为________． 14. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，则点A的对应点C的坐标是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿向点O运动．过点B作于点D． （1）当时，点P的坐标为________． （2）当的值最大时，点D的坐标为________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算： （2）解不等式组． 17. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求长． 18. 2021年1月，市教育局在全市中小学中选取了56所学校进行了教育满意度调查．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生家长进行了手机短信问卷调查，了解他们的孩子每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生家长人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ． （2）补全统计直方图． （3）被抽取家长的孩子还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．（共五个道次） 19. 如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）若，求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 20. 某企业准备将购买的100t蔬菜运往某市，现有甲、乙两种货车可以租用，已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运44t蔬菜；3辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运46t蔬菜． （1）每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运多少吨蔬菜？ （2）已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用甲、乙两种货车12辆，设租用甲种货车a辆．求租车总费用w（单位：元）与a之间的函数关系式，并求出自变量a的取值范围； （3）在（2）的条件下，请你为该企业设计出费用最少的方案，并求出最少的租车费用． 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A、C在反比例函数的图像上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为． （1）利用无刻度的直尺，在反比例函数的图像上作出点D，使（不用写作法，保留作图痕迹） （2）求k的值； （3）直接写出a的值． 22. 小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线、在同一条抛物线上，水瓶最上侧，瓶底，且，、相距．以的中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求两轮廓线、所在抛物线的表达式； （2）如图（1），水瓶内水的高度为，求水面宽的长； （3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点，且与成角，如图（2）所示，求此时水面的宽度．（结果精确到，参考数据：） 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，是的中点，是的一个三等分点，且．连结，交于点，则_________；_________． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，为上一点，，，若，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，为上一点，为中点，与，分别交于点，，若，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级毕业会考试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求倒数，根据倒数的定义求解即可，一个数的倒数是与之相乘为1的数． 【详解】∵ ∴的倒数是， 故选：C． 2. 如图，传统竹编工艺有着悠久历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了面动成体的过程，熟练掌握面动成体是解题的关键；通过丰富的空间想象力类比选项中各花瓶的外表即可得出答案． 【详解】解：将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是， 故选：A 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式以及算术平方根和合并同类等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．分别利用完全平方公式以及算术平方根和合并同类项法则判断得出即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 故选：D． 4. 2024年8月20日《黑神话：语空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．从河南省省文旅厅获悉，2024年国庆假期，河南省44个重点监测景区累计接待游客7991.6万人次，数据7991.6万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意，7991.6万， 故选：C． 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 6. 为了备战中考，某校九年级全体学生开展了体育加试模拟测试（满分分），细心的小明统计了本班名同学的成绩，如下表所示： 成绩/分 人数/人 关于成绩这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据中前名的方差大于最后名的方差 C. 该组数据的平均数是 D. 该组数据的中位数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数、方差、平均数、中位数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据众数、方差、平均数、中位数的定义解答即可． 【详解】解：A、该组数据的众数为，故A选项错误； B、该组数据前名的平均数为，最后名的平均数为， 该组数据前名的方差为， 最后名的方差为， 所以该组数据中前名的方差小于最后名的方差，故B选项错误； C、该组数据的平均数是，故C选项错误； D、该组数据的中位数是，故D选项正确； 故选：D． 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点，，，函数的图象经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见解析），过点C作轴于点D，根据点A、B的坐标可得，从而可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得点C的坐标为，然后利用反比例函数的解析式可求出a的值，最后利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】如图，过点C作轴于点D， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， 将代入得：， 解得或（不符题意，舍去）， ， 由两点之间的距离公式得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题关键． 8. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，证明四边形是平行四边形，①当点从点B出发，沿路径运动时，即时，根据四边形的面积，可得；②当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时， 先证明平行四边形是菱形，即有菱形的面积，结合菱形的性质，解直角三角形的知识可得；问题随之得解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴,， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ①如图，当点从点B出发，沿路径运动时，即时， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，即是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴四边形的面积， 整理得：， ②如图，当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴平分， ∴平行四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； 综上： 即能反映与之间函数关系的图象是B， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，二次函数的图象的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，证明即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴12次为一个周期， ∵， ∴第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束， ∵， ∴第9次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， 由旋转得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴则第2025次旋转结束时，点B的坐标为， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法因式分解是解题关键．先提公因式法再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，满足．若，则x的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算，根据新定义得到分式方程是解题的关键．根据定义得到，由得到，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的根， 即x的值为3． 故答案为：3． 13. 如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是7，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形与三角形综合，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，是解题的关键． 根据正方形的性质及，可证，得到，由此将将四边形的面积转换为等腰直角的面积，可求值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是7， 即， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角中， ， ∴， 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，则点A的对应点C的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形对应点坐标变换规律是解题关键． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，以原点O为位似中心，把缩小为原来的一半，即， ∴点A的对应点C的坐标为：或， 即或． 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿向点O运动．过点B作于点D． （1）当时，点P的坐标为________． （2）当的值最大时，点D的坐标为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先由矩形的性质得，，，根据勾股定理得，证明，整理得，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，故，进行作答即可． （2）根据动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿向点O运动．过点B作于点D．得，点的运动轨迹为以为直径的圆，当的值最大时，即点与点E重合，由（1）得，，，则，即可作答． 【详解】解：（1）连接交于一点， ∵矩形的顶点， ∴，， ∴，， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿向点O运动． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动， ∴ ∴点P的坐标为； 故答案为： （2）∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿向点O运动．过点B作于点D． ∴，点的运动轨迹为以为直径的圆， 如图：当的值最大时，即点与点E重合， 由（1）得，， 则 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算： （2）解不等式组． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为：． 17. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 18. 2021年1月，市教育局在全市中小学中选取了56所学校进行了教育满意度调查．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生家长进行了手机短信问卷调查，了解他们的孩子每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生家长人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ． （2）补全统计直方图． （3）被抽取家长的孩子还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．（共五个道次） 【答案】（1）30，144°；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求值； （2）根据相应数据画图即可； （3）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可． 详解】解：（1）6÷20%=30，（30-3-7-6-2）÷30×360°=12÷30×360°=144°， 答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°； 故答案为：30，144°； （2）补全统计图如图所示： （3）根据题意列表如下： 设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道， 小红  小花 1 2 3 4 5 1   （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） 2 （1，2）   （3，2） （4，2） （5，2） 3 （1，3） （2，3）   （4，3） （5，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4）   （5，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5）   记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A， ∴． 【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，频数分布直方图，扇形统计图，正确的识图是解题的关键． 19. 如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）若，求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理． （1）连接，可证明，由于，所以，根据切线的判定即可求出答案． （2）连接，由于，所以，设，，所以，列出方程即可求出x值． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 连接， ∵， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴， 设， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴． 20. 某企业准备将购买的100t蔬菜运往某市，现有甲、乙两种货车可以租用，已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运44t蔬菜；3辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运46t蔬菜． （1）每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运多少吨蔬菜？ （2）已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用甲、乙两种货车12辆，设租用甲种货车a辆．求租车总费用w（单位：元）与a之间的函数关系式，并求出自变量a的取值范围； （3）在（2）的条件下，请你为该企业设计出费用最少的方案，并求出最少的租车费用． 【答案】（1）每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运10t和8t蔬菜 （2），且a为整数 （3）租用2辆甲种货车，10辆乙种货车，最少的租车费用为5500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用——方案选择，解题关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程（组）、函数解析式来分析、推理、解答． （1）设每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运x吨和y吨蔬菜，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据题意即可得总费用w（元）与a之间的函数关系式，再根据题意列不等式即可得出自变量a的取值范围； （3）结合（2）的结论，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 设每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运x吨和y吨蔬菜，根据题意得： ， 解得：， 答：每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运10吨和8吨蔬菜； 【小问2详解】 根据题意得 因为，所以 又，所以自变量a的取值范围是，且a为整数 【小问3详解】 由（2）知 因为，所以w随a的增大而增大 所以当时， 此时 费用最少的方案为：租用2辆甲种货车，10辆乙种货车，最少的租车费用为5500元 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A、C在反比例函数的图像上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为． （1）利用无刻度的直尺，在反比例函数的图像上作出点D，使（不用写作法，保留作图痕迹） （2）求k的值； （3）直接写出a的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作直线，根据中心对称图形的定义，易得点D，A关于点O对称，即有，结合菱形的性质可得，易知，等底等高，即可证明结论； （2）过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，证明，易得，即可确定，然后将其代入反比例函数解析式并求解即可； （3）连接交于点P，则，，结合（2）可知，可确定点坐标，然后根据线段中点的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图（1），点D即为所求； 理由如下： 根据反比例函数的图像，直线均是关于点O的中心对称图形， ∴点D，A关于点O对称， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图（2），过点C作轴于点E，过点A作轴于点F， 则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴点B在的平分线上， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴ ∴， 将代入，得； 【小问3详解】 如图（2），连接交于点P，则，， ∵点A的纵坐标为， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、中心对称图形的性质、反比例函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 22. 小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线、在同一条抛物线上，水瓶最上侧，瓶底，且，、相距．以的中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求两轮廓线、所在抛物线的表达式； （2）如图（1），水瓶内水的高度为，求水面宽的长； （3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点，且与成角，如图（2）所示，求此时水面的宽度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求一次函数与二次函数的交点，由函数值求自变量的值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）令，得，解出，求得点，的横坐标，即可得解； （3）利用待定系数法求出直线的表达式，令，求出点的坐标，过点作轴于点，则，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线的对称轴为轴，故设抛物线的表达式为， 由题意可知，，， 分别代入，得， 解得， 故两轮廓线、所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得：，， 点，的横坐标分别为，， ； 【小问3详解】 解：如图，， 可设直线的表达式为， 将代入，得， 解得：， 直线的表达式为， 令， 解得：，， ， ， 过点作轴于点，则， ， 故此时水面的宽度约为． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，是的中点，是的一个三等分点，且．连结，交于点，则_________；_________． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，为上一点，，，若，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，为上一点，为中点，与，分别交于点，，若，，，，求的长． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）作交于，则，所以，则，由，得，所以，即可证明，得，，则；因为，所以，则，于是得到问题的答案； （2）设交于点，作交于点，由，，得，，所以，则，再证明，得，，则，所以，再证明，则，由，得，再证明，得，则，设，则，，于是得，求得； （3）作交于点，设，由，得，由，得，即可证明，则，，所以，，再证明，得，则，因为，所以． 【详解】解：（1）如图1，作交于，则，， 是的中点， ， ， ， ， 是的一个三等分点，且， ， ， ， ，， ； ， ， ， 故答案为：；． （2）设交于点，作交于点， ，， ，，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 的长为． （3）如图3，作交于点，设， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 中点， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $