精品解析：广东省东莞市北辰高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

北辰高中2025年春季学期高一年级三月月考 数学试题 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】向量， 故选：A. 3. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. 【详解】依题意，的最小正周期. 故选：D 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示可求出实数的值. 【详解】因为向量，，且，则，解得， 故选：C. 6. 已知向量若则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】向量 则 所以 解得. 故选：C. 7. 在中，为边上的中线，为的中点.则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线，所以， 又因为为的中点，所以 ， 故选：A. 8. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 设点，则，，， 所以，， 则， 当且仅当，时，取最小值. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 向量的模是一个正实数 B. 零向量没有方向 C. 单位向量的模等于1个单位长度 D. 零向量就是实数0 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 10. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量基底的定义来判断向量组能否作为基底. 【详解】对于A选项,已知，，因为零向量与任意向量共线，所以与共线，不能作为基底. 对于B选项，对于，，计算，根据两向量共线的充要条件可知与共线，不能作为基底. 对于C选项,已知，，计算，所以与共线，不能作为基底. 对于D选项，对于，，计算，所以与不共线，可以作为基底. 故选：ABC. 11. 关于非零向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据向量的定义即可判断，对于B根据共线向量的定义即可判断，对于C由向量共线的性质即可判断，对于D由即可判断. 【详解】对于A：若，只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误； 对于B：若，则与是相反向量，则，故B正确； 对于C：若，，且，则，故C正确； 对于D：若，，则，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，结合平面向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，所以，故. 故答案为：. 13. 已知，，，则与的夹角_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义结合平面向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】因为，，，则， 因为，故. 故答案为：. 14. 若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的意义求解即可. 【详解】向量，，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 16. 已知向量满足． （1）求向量的数量积； （2）求向量夹角的余弦值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标公式计算即可； （2）根据向量数量积夹角坐标公式计算即可； （3）先求出向量坐标再应用向量模长坐标公式计算即可； 【小问1详解】 由题设，. 【小问2详解】 ， 所以. 【小问3详解】 ， . 17. 设，是不共线的两个非零向量． （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数的值． 【答案】（1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； （2）由共线向量定理求出参数即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，，解得， ． 18. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 19. 已知向量，，且. （1）求及； （2）若，求的值； （3）若的最小值是，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可根据向量数量积的坐标运算公式求解；求向量的模可先对向量模的平方进行计算，再开方得到向量的模； （2）先利用二倍角公式化简计算得到，再用同角三角函数求出即可； （3）对于函数的最值问题，可通过换元法将三角函数转化为二次函数，再根据二次函数的性质求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， ，， 所以 ， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由，得， 所以，化简得， 所以，解得或， 因为，所以， 所以，所以. 所以. 【小问3详解】 令，因为，所以， 则，其对称轴为， 当时，函数在上单调递增， 则当时，取得最小值，，不符合题意. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取得最小值，， 令，即，，解得. 因为，所以. 当时，函数在上单调递减， 则当时，取得最小值，. 令，即，解得，不符合题意. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北辰高中2025年春季学期高一年级三月月考 数学试题 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 向量（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量若则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 在中，为边上的中线，为的中点.则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 向量的模是一个正实数 B. 零向量没有方向 C. 单位向量的模等于1个单位长度 D. 零向量就是实数0 10. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 关于非零向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则_______. 13. 已知，，，则与的夹角_______. 14. 若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）化简； （2）若，求向量. 16. 已知向量满足． （1）求向量的数量积； （2）求向量夹角的余弦值； （3）求的值． 17. 设，是不共线的两个非零向量． （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数的值． 18. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 19. 已知向量，，且. （1）求及； （2）若，求的值； （3）若的最小值是，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $