精品解析：甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

2024—2025 学年第二学期期中考试七年级数学学科试卷 注意事项： 1.全卷共 120 分，考试时间 120 分钟． 2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号准确填（涂）写在答题卡上． 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共 11 小题，每小题 3 分，共 33 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 目前检测出的最小的新型冠状病毒的半径平均约为60纳米左右，即 0.00000006 米，用科学记数法表示0.00000006正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. a2+a3=a5 B. （﹣2a2）3=﹣6a6 C. （2a+1）（2a﹣1）=2a2﹣1 D. （2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1 4. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( ) A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 5. 下列算式①②③④，宜用平方差公式计算的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，把矩形ABCD沿EF对折，若，则∠AEF等于 . A. B. C. D. 7. 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（ ） A. 抽10次奖必有一次抽到一等奖 B. 抽一次不可能抽到一等奖 C. 抽10次也可能没有抽到一等奖 D. 抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 8. 已知是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，两直线、平行，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 12. 与互余，与互补，，那么_________． 13. 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币 ” 的实验数据： 实验者 德 摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 掷币次数 6140 4040 10000 36000 出现“正面朝上” 的次数 3109 2048 4979 18031 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为 _________ （精确到) ． 14. 如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是_________． 15. 若，，则的值为__________． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 75 分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各题： （1） ； （2）；（用整式的乘法公式进行计算） （3）； （4）． 17. 已知，求代数式的值． 18. 若的结果中不含项，则a 的值为多少？ 19. 如图，一块三角形土地ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角形ADE，使DE∥BC，请作出DE. 20. 定义一种新运算“*”： ，比如：． （1）求的值； （2）已知，请根据上述运算，求x的值． 21. 在一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的黑、 白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把 它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到） （2）假如你去摸一次，摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是. ______ （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 22. 填写下列空格完成证明：如图，，，，求． 解： （理由是：______） （理由是：______） ∴______（理由是：______） ∴______（理由是：______） ∴_____°． 23. 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若−6n+9=0，求m和n的值． ∵−6n+9=0 ∴−6n+9=0 ∴ ∴m+n=0，n−3=0 ∴m=−3，n=3 问题：若−2xy+4y+4=0,求的值． 24. 请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题： （1）的度数为__________； （2）与有何数量关系：______； （3）与有何数量关系：__________； 25. 小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： ． 请按照小明的方法： （1）计算； （2）直接写出的值． 26. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________； （2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025 学年第二学期期中考试七年级数学学科试卷 注意事项： 1.全卷共 120 分，考试时间 120 分钟． 2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号准确填（涂）写在答题卡上． 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共 11 小题，每小题 3 分，共 33 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可求解∠3=∠1=60°，利用对顶角的性质可求解． 【详解】解：如图： ∵直线a∥b，∠1=60°， ∴∠3=∠1=60°， ∵∠2=∠3， ∴∠2=60°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质求解∠3的度数是解题的关键． 2. 目前检测出的最小的新型冠状病毒的半径平均约为60纳米左右，即 0.00000006 米，用科学记数法表示0.00000006正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（　　） A. a2+a3=a5 B. （﹣2a2）3=﹣6a6 C. （2a+1）（2a﹣1）=2a2﹣1 D. （2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．a2与a3不能合并，故本项错误； B．（﹣2a2）3=﹣8a6，故本项错误； C．（2a+1）（2a﹣1）=4a2﹣1，故本项错误； D．（2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1，本项正确， 故选D． 【点睛】本题考查1、整式的除法；2、合并同类项；3、幂的乘方与积的乘方；4、平方差公式． 4. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( ) A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【解析】 【详解】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近， 可以用这个常数估计这个事件发生的概率, 所以D选项说法正确, 故选D． 5. 下列算式①②③④，宜用平方差公式计算的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，理解公式是解题的关键．平方差公式：，据此对各种变形进行判断即可求解． 【详解】解：①不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ②，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ③，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ④，符合平方差公式形式，故此项符合题意； 故选：A． 6. 如图，把矩形ABCD沿EF对折，若，则∠AEF等于 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵矩形ABCD沿EF对折， ∴∠BFE=∠2， ∴∠BFE=（180°-∠1）=×（180°-50°）=65°， ∵， ∴∠AEF+∠BFE=180°， ∴∠AEF=180°-65°=115°． 故选D． 7. 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（ ） A. 抽10次奖必有一次抽到一等奖 B. 抽一次不可能抽到一等奖 C. 抽10次也可能没有抽到一等奖 D. 抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可． 【详解】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖， 故选：． 【点睛】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握概率是对事件发生可能性大小的量的表现是解题的关键． 8. 已知是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故选：B． 9. 如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法直接判定即可． 【详解】解：选项B中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项C中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项D中，，（同旁内角互补，两直线平行），所以正确； 而选项A中，与是直线、被所截形成的内错角，因为，所以应是，故A错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 10. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 11. 如图，两直线、平行，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 12. 与互余，与互补，，那么_________． 【答案】##153度 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 13. 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币 ” 的实验数据： 实验者 德 摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 掷币次数 6140 4040 10000 36000 出现“正面朝上” 的次数 3109 2048 4979 18031 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为 _________ （精确到) ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解表格信息是关键． 根据表格信息可得频率在左右，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为， 故答案为： ． 14. 如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是_________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行． 【详解】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行． 故答案是：同位角相等，两直线平行． 【点睛】考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定． 15. 若，，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了逆用同底数幂的除法公式，幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据即可算出答案． 【详解】解：，， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 75 分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各题： （1） ； （2）；（用整式的乘法公式进行计算） （3）； （4）． 【答案】（1） （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，平方差公式，零指数幂，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，化简绝对值，然后再从左到右计算即可； （2）变形后，利用平方差公式进行计算； （3）先算乘方，然后从左到右进行进行计算即可； （4）先去括号，再合并同类项，即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】这道题主要考查的就是代数式求值，首先要弄清楚题目的含义，然后根据题目中的信息，利用公式进行求解. 【详解】解：当时， 原式 =0 【点睛】这道题主要考查的就是代数式求值，首先要弄清楚题目的含义，然后根据题目中的信息，利用平公式进行求解，注意计算的准确性. 18. 若的结果中不含项，则a 的值为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案． 【详解】解： 因为乘积中不含项，则， 即． 19. 如图，一块三角形土地ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角形ADE，使DE∥BC，请作出DE. 【答案】 如图． 【解析】 【分析】过点D作∠ADE=∠B即可，通过同位角相等，可得两直线平行． 【详解】略 【点睛】熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键． 20. 定义一种新运算“*”： ，比如：． （1）求的值； （2）已知，请根据上述运算，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，负整数指数幂的意义，解一元一次方程，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据“”列式计算即可； （2）根据新定义列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 在一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的黑、 白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把 它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到） （2）假如你去摸一次，摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是. ______ （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【答案】（1） （2）， （3）白球有12个，黑球有8个 【解析】 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． （1）大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近是关键，观察表格找到频率逐渐稳定到的常数即可； （2）由（1）可知，白球的概率，从而算得黑球的概率； （3）用球的总个数乘以各自的频率即可求得球的个数． 【小问1详解】 解：根据表格可得，当很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 【小问2详解】 解：摸一次摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：黑球有：（个） 白球有：（个） 答：白球有12个，黑球有8个． 22. 填写下列空格完成证明：如图，，，，求． 解： （理由是：______） （理由是：______） ∴______（理由是：______） ∴______（理由是：______） ∴_____°． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，根据平行线的性质和判定进行证明即可得到答案． 【详解】解：， ．（两直线平行，同位角相等） ， ，（等量代换） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补）， ， ． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 23. 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若−6n+9=0，求m和n的值． ∵−6n+9=0 ∴−6n+9=0 ∴ ∴m+n=0，n−3=0 ∴m=−3，n=3 问题：若−2xy+4y+4=0,求的值． 【答案】 【解析】 【分析】参照例题，将拆分成两个，利用两次完全平方公式化简，再根据平方数的非负性列出等式求出x和y的值，最后将x和y的值代入求解即可． 【详解】 ， 将代入得：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方数的非负性、以及有理数的乘方，参照例题求出x和y的值是解题关键． 24. 请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题： （1）的度数为__________； （2）与有何数量关系：______； （3）与有何数量关系：__________； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据B、E、C三点共线可求得结论； （2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余； （3）由三点共线可得出结论． 【小问1详解】 解：根据折叠的过程可知：， ∵，三点共线 ∴． 故答案是：． 【小问2详解】 ∵， ∴． 故答案是：． 【小问3详解】 ∵三点共线， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题考查的角的计算以及折叠问题，解题的关键是依据折叠的特性找到之间的关系． 25. 小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： ． 请按照小明的方法： （1）计算； （2）直接写出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据题意以及平方差公式运算求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 26. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________； （2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）35 （2） ， 理由如下：如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：过点作，如图1所示： 直线， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：35． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $