精品解析：河南省新乡市新鼎高中、新誉佳高中2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

2024-2025学年下学期期中考试高二年级数学试卷 考试范围：选择性必修第四~七章（7.1） 考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 24 2. 用分类加法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本书，共有多少种取法？（ ） A. 9 B. 20 C. 40 D. 60 3. 从5名教师中选出2名参加会议，则不同的选取方法种数为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 4. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 32 6. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某高校有智能餐厅、人工餐厅，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲第二天去餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 8. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 216种 D. 256种 二、选择题：本题共3小题，每小题共6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误的得0分． 9. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上． 12. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是_____． 13. 学生可从本年级开设的5门选修课中任意选择3门，并从3种课外活动小组中选择1种，不同的选法种数是______． 14. 某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去郑州、新乡、焦作、安阳四个城市进行暑期社会实践，每位大学生只分配到一个城市，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 16. 在的展开式中，求： （1）第4项的二项式系数； （2）含的项的系数. 17. 从含有3件次品的10件产品中，任意抽取4件进行检验 （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 18. “青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问： （1）从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率. 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若和有相同的最小值，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期期中考试高二年级数学试卷 考试范围：选择性必修第四~七章（7.1） 考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 2. 用分类加法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本书，共有多少种取法？（ ） A. 9 B. 20 C. 40 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法计数原理直接求解可得. 【详解】由分类加法计数原理，可知不同的取法有种． 故选：A 3. 从5名教师中选出2名参加会议，则不同的选取方法种数为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用组合数求解即可. 【详解】从5名教师中选出2名参加会议，则有种不同的选取方法. 故选：B 4. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】由条件概率公式得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题. 5. 二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答. 【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是. 故选：D 6. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”，由古典概型概率公式求得则，，再由条件概率计算公式即可求解； 【详解】设事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”， 由题意可得：，， 所以． 故选：B． 7. 某高校有智能餐厅、人工餐厅，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲第二天去餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 【答案】B 【解析】 【分析】应用全概率公式求甲第二天去餐厅用餐的概率. 【详解】由题设，. 故选：B 8. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 216种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【分析】要使元素不相邻，则用插空法，要使元素相邻，则运用捆绑法，分步完成即得. 【详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空， 在其中选2个给甲和乙，有种方法； 再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法； 最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题共6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误的得0分． 9. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据组合数的性质可判断A,B;计算出，可判断C;计算出的结果，判断D. 【详解】由组合数性质可得，故A正确； 由组合数性质可知，故B正确； ，故，故C正确； ，所以，故D错误， 故选：ABC 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法分别计算判断各选项即可. 【详解】对于A选项，令，得，故A正确； 对于B选项，令，得，故B错误； 对于C选项，令，得，故C错误； 对于D选项，将，两式相加， 得，即，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上． 12. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】直接用排列数公式计算. 【详解】根据排列的定义，可知一共有5×4×3＝60种． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查排列的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力，属于容易题. 13. 学生可从本年级开设的5门选修课中任意选择3门，并从3种课外活动小组中选择1种，不同的选法种数是______． 【答案】30 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理及组合数求解即可. 【详解】第一步：5门选修课中任意选择3门有, 第二步：从3种课外活动小组中选择1种有, 所以共有种， 故答案为：30 14. 某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去郑州、新乡、焦作、安阳四个城市进行暑期社会实践，每位大学生只分配到一个城市，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将5人分成四组，再分配得解. 【详解】由题，先将5人分成四组有种，再将四组分配给4个城市有种， 所以不同的报名方法有种. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 【答案】（1）9 （2）24 【解析】 【分析】（1）利用分类相加计数原理即可得解； （2）利用分步相乘计数原理即可得解. 【小问1详解】 从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. 【小问2详解】 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 16. 在的展开式中，求： （1）第4项的二项式系数； （2）含的项的系数. 【答案】（1）35 （2）280 【解析】 【分析】（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解； （2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数. 【小问1详解】 由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 所以第4项的二项式系数为. 【小问2详解】 由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 当时，展开式中含的项的系数为. 【点睛】易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念： ①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等； ②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号. 17. 从含有3件次品的10件产品中，任意抽取4件进行检验 （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 【答案】（1）35 （2）63 （3）203 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据排列组合即可求解. 【小问1详解】 都是合格品的抽法有种， 【小问2详解】 抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有 【小问3详解】 抽到3件次品的抽法有， 任抽4件产品的抽法一共有， 故抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有 18. “青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问： （1）从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型方法求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可； （3）从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱可能的情况有3种，再根据全概率与条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件“取出青团是蛋黄馅”，. 【小问2详解】 设事件“甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件“取出第二个青团是肉馅”，. 【小问3详解】 设事件 “从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”. 设事件分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”， 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若和有相同的最小值，求的值. 【答案】（1） （2） 当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． 【小问2详解】 函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $