第五章 §5.5 复　数（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第五章平面向量与复数 §5.5　复　数 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 复数相等 2023·全国甲卷、2022·浙江卷 2022·全国乙卷、2022·全国乙卷 2021·全国乙卷 通过方程的解，认识复数；理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义；本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 考点2 共轭复数 2024·全国甲卷、2024·全国甲卷 2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷 2021·全国乙卷、2021·新Ⅰ卷全国 考点3 复数的模 2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2022·全国甲卷、2022·北京卷 考点4复数的几何意义 2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷2021·全国新Ⅱ卷 【知识梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数 (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3.复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝i(c＋di≠0). (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，. 【名师点拨】 1.i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 【解析】(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小. 2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z＝－1－i，则|z|等于(　　) A.0 B.1 C. D.2 【答案】C 【解析】若z＝－1－i， 则|z|＝. 3.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限. 4.复数的共轭复数是　　　　　　. 【答案】－2＋i 【解析】＝－2－i，故其共轭复数是－2＋i. 【名师点拨】 1.熟记与复数有关的常用结论 (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n. (4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环； |z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 2.谨防两个易误点 (1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件. (2)两个不全为实数的复数不能比较大小. 【必练核心题型】 题型一　复数的概念 【典例】1.(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为(　　) A.2i B.－2i C.2 D.－2 【答案】D 【解析】由z＝i＋2i2＋3i3可得z＝－2－2i，故z的虚部为－2. 【典例】2.已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.1或－1 D.2 【答案】B 【解析】因为z＝m2－1＋(m＋i2)·i＝m2－1＋(m－1)·i， 若复数z表示纯虚数，则解得m＝－1. 【典例】3.(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于(　　) A. B.4 C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根， 由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b， 故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5， 故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝. 【解题技巧】 解决复数概念问题的常用方法 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0. (3)复数是纯虚数的条件 ①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)； ②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0. (4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝. 【变式训练】 变式1.下列关于复数的说法，正确的是(　　) A.复数i是最小的纯虚数 B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个 C.i与－i是一对共轭复数 D.虚轴上的点都表示纯虚数 【答案】C 【解析】虚数不能比大小，故A错误；对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，但凡满足a2＋b2＝1，其模均为1，显然不仅四个，比如a＝，b＝时，|z|＝1，故B错误；由共轭复数的定义可知C正确；原点(0，0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 变式2.(2025·南通模拟)已知复数z满足z2＝－3＋4i，则|z|等于(　　) A. B.5 C. D.2 【答案】C 【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z2＝a2－b2＋2abi，又z2＝－3＋4i， 所以解得或 则z＝1＋2i或z＝－1－2i， 所以|z|＝. 变式3.已知复数z满足4(1＋z)＝15＋8i，则z的实部为　　　　　　. 【答案】－ 【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由4(1＋z)＝15＋8i，得4(a－bi)＋4(a2＋b2)＝15＋8i， 由复数相等的充要条件，得 解得 故z的实部为－. 题型二　复数的四则运算 【典例】1.(2024·新课标全国Ⅰ)若＝1＋i，则z等于(　　) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 【答案】C 【解析】因为 ＝1＋＝1＋i， 所以z＝1＋＝1－i. 【典例】2.设复数z＝，则z等于(　　) A.1 B.－1 C.i D.－i 【答案】C 【解析】∵＝i， ∴z＝i2 025＝i4×506＋1＝i. 【典例】3.已知复数z满足＝2i，则z·＝　　　　　　. 【答案】5 【解析】因为＝2i， 所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz， 所以z＝＝1＋2i， 所以＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5. 【解题技巧】 复数四则运算问题的解题策略 复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算 复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并 复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化 【变式训练】 变式1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝，则z－等于(　　) A.－i B.i C.0 D.1 【答案】A 【解析】因为z＝ ＝＝－i，所以i，即z－＝－i. 变式2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝　　　　. 【答案】2i 【解析】由题意得复数z对应的点的坐标为(2，－1)， 故z＝2－i，＝2＋i， 故＝2i. 变式3.已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝　　　　　　. 【答案】i 【解析】i＋i2＋i3＋i4＝0， 则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝506×0＋i＝i. 题型三　复数的几何意义 【典例】1.已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于(　　) A.－2 B.－ C.2 D. 【答案】A 【解析】由题意|z|＝＝5， 得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝， 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以故a<0，故a＝－2. 【典例】2.已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】方法一　由|z－i|＝|z＋2－i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0，1)与点(－2，1)的距离相等，则点Z在直线x＝－1上. |z－3＋i|表示点Z与点(3，－)的距离，过点(3，－)作直线x＝－1的垂线，垂足为P(图略)，当点Z与点P重合时，|z－3＋i|取得最小值4. 方法二　因为z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z－i＝a＋(b－1)i， z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i， 由|z－i|＝|z＋2－i|，可得， 解得a＝－1，则z＝－1＋bi， 所以z－3＋i＝－4＋(b＋)i， 因此|z－3＋i|＝≥4， 当且仅当b＝－时，等号成立， 故|z－3＋i|的最小值为4. 【解题技巧】 复数的几何意义及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系、一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 【变式训练】 变式1.(2025·南充模拟)当1<m<2时，复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】由1<m<2，可得 所以复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点Z(m－1，m－2)位于第四象限. 变式2.已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为(　　) A.1 B.－1 C.＋1 D.3 【答案】B 【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1， 所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图， 又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝， 所以|z－i|表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，所以|z－i|min＝CA－1＝－1. 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i为虚数单位)，则(　　) A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3 C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3 【答案】A 【解析】因为a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3. 2.(2025·曲靖模拟)在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为(　　) A.1＋i B.5－i C.5－3i D.－5＋i 【答案】D 【解析】由题设＝(3，2)，＝(－2，3)， 则＝(－5，1)， 所以向量对应的复数为－5＋i. 3.已知复数z＝(i为虚数单位)，则(　　) A.z的实部为2 B.|z|＝ C.＝2－i D.z在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】B 【解析】z＝＝－(2＋i)i＝1－2i，故实部为1，|z|＝，＝1＋2i，z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限. 4.已知复数z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是纯虚数，则实数m的值为(　　) A.±6 B.1或6 C.－6 D.1 【答案】D 【解析】由题意得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，则m＝1. 5.(2025·固原模拟)已知复数z满足2＝z＋i，则z等于(　　) A.－2－i B.2－i C.－2＋i D.2＋i 【答案】A 【解析】依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 因为＝2－2i， 所以由2＝z＋i， 可得2(a－bi)＋2－2i＝a＋bi＋i， 则(2a＋2)－(2b＋2)i＝a＋(b＋1)i，所以 解得所以z＝－2－i. 6.已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 【答案】C 【解析】令z＝a＋bi(a，b∈R)，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即对应的点Z所在区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4π－π＝3π. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为，则(　　) A.|z|＝1 B.z＋＝1 C.z2＋z＋1＝0 D.z2 026＝z 【答案】ACD 【解析】由题可知，z＝－i，|z|＝＝1，故A正确； ＝－i，z＋＝－1，故B错误； z2＝i＝－i，所以z2＋z＋1＝－1＋1＝0，故C正确； z3＝z2·z＝·＝1， 所以z2 026＝z2 025·z＝·z＝z，故D正确. 8.下列说法正确的是(　　) A.若z＝－2＋i，则z在复平面内对应的点位于第二象限 B.若z满足z·i＝－1＋2i，则的虚部为1 C.若z是方程x2＋3＝0的根，则z＝±i D.若z满足|z－1＋2i|＝2，则|z|的最大值为 【答案】AC 【解析】对于A，z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限，故A正确； 对于B，因为z·i＝－1＋2i，所以z＝＝2＋i，则＝2－i，所以的虚部为－1，故B错误； 对于C，方程x2＋3＝0的根为±i，故C正确； 对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，若z满足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则点(x，y)在以(1，－2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为，所以|z|的最大值为＋2，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·辽阳模拟)若复数z＝＋|3－4i|，则|z|＝　　　　　　. 【答案】4 【解析】z＝＋|3－4i|＝＋5＝＋5＝8－4i， |z|＝＝4. 10.写出一个同时满足①②的复数z＝　　　　. ①z3＝；②z∉R. 【答案】i(或－i) 【解析】因为z∉R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)， 则(bi)3＝－b3i＝－bi， 解得b＝±1，即z＝±i符合. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知复数z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i为虚数单位. (1)若z是纯虚数，求实数m的值；(6分) (2)若m＝2，设＝a＋bi(a，b∈R)，试求a＋b的值.(7分) 【解析】 (1)因为z是纯虚数， 所以解得m＝－2. (2)若m＝2，则z＝4＋i， 故i＝a＋bi， 所以a＝，b＝，所以a＋b＝. 12.(15分)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根. (1)求实数a，b的值；(7分) (2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.(8分) 【解析】 (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0， 所以解得 (2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0. 设另一个根为x2，由根与系数的关系， 得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i. 把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0， 则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边， 所以x2＝－1－i是方程的另一个根. 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.已知复数z1，z2和z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为(　　) A.2 B.3 C. D.1 【答案】B 【解析】根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3， 当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此时|z|＝3， 所以|z|max＝3. 14.在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||＝r，以射线Ox为始边，向量所在射线为终边，旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ).已知z＝(＋i)4，则||＝　　　　　　；若复数ω满足ωn－1＝0(n∈N*)，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R，请写出一个满足条件的ω＝　　　　　　. 【答案】16　cos ＋isin (答案不唯一) 【解析】∵＋i＝2， ∴z＝(＋i)4＝24， 则||＝|z|＝24＝16. 由题意知ω6＝1， 设ω＝cos θ＋isin θ， 则ω6＝cos 6θ＋isin 6θ＝1， ∴ 又ω∉R，∴sin θ≠0， 故可取θ＝，则ω＝cos ＋isin . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章平面向量与复数 §5.5　复　数 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 复数相等 2023·全国甲卷、2022·浙江卷 2022·全国乙卷、2022·全国乙卷 2021·全国乙卷 通过方程的解，认识复数；理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义；本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 考点2 共轭复数 2024·全国甲卷、2024·全国甲卷 2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷 2021·全国乙卷、2021·新Ⅰ卷全国 考点3 复数的模 2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2022·全国甲卷、2022·北京卷 考点4复数的几何意义 2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷2021·全国新Ⅱ卷 【知识梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数 (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3.复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝i(c＋di≠0). (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，. 【名师点拨】 1.i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　) 2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z＝－1－i，则|z|等于(　　) A.0 B.1 C. D.2 3.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.复数的共轭复数是　　　　　　. 【名师点拨】 1.熟记与复数有关的常用结论 (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n. (4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环； |z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 2.谨防两个易误点 (1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件. (2)两个不全为实数的复数不能比较大小. 【必练核心题型】 题型一　复数的概念 【典例】1.(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为(　　) A.2i B.－2i C.2 D.－2 【典例】2.已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.1或－1 D.2 【典例】3.(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于(　　) A. B.4 C. D. 【变式训练】 变式1.下列关于复数的说法，正确的是(　　) A.复数i是最小的纯虚数 B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个 C.i与－i是一对共轭复数 D.虚轴上的点都表示纯虚数 变式2.(2025·南通模拟)已知复数z满足z2＝－3＋4i，则|z|等于(　　) A. B.5 C. D.2 变式3.已知复数z满足4(1＋z)＝15＋8i，则z的实部为　　　　　　. 题型二　复数的四则运算 【典例】1.(2024·新课标全国Ⅰ)若＝1＋i，则z等于(　　) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 【典例】2.设复数z＝，则z等于(　　) A.1 B.－1 C.i D.－i 【典例】3.已知复数z满足＝2i，则z·＝　　　　　　. 【变式训练】 变式1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝，则z－等于(　　) A.－i B.i C.0 D.1 变式2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝　　　　. 变式3.已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝　　　　　　. 题型三　复数的几何意义 【典例】1.已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于(　　) A.－2 B.－ C.2 D. 【典例】2.已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【变式训练】 变式1.(2025·南充模拟)当1<m<2时，复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 变式2.已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为(　　) A.1 B.－1 C.＋1 D.3 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i为虚数单位)，则(　　) A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3 C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3 2.(2025·曲靖模拟)在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为(　　) A.1＋i B.5－i C.5－3i D.－5＋i 3.已知复数z＝(i为虚数单位)，则(　　) A.z的实部为2 B.|z|＝ C.＝2－i D.z在复平面内对应的点位于第一象限 4.已知复数z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是纯虚数，则实数m的值为(　　) A.±6 B.1或6 C.－6 D.1 5.(2025·固原模拟)已知复数z满足2＝z＋i，则z等于(　　) A.－2－i B.2－i C.－2＋i D.2＋i 6.已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为，则(　　) A.|z|＝1 B.z＋＝1 C.z2＋z＋1＝0 D.z2 026＝z 8.下列说法正确的是(　　) A.若z＝－2＋i，则z在复平面内对应的点位于第二象限 B.若z满足z·i＝－1＋2i，则的虚部为1 C.若z是方程x2＋3＝0的根，则z＝±i D.若z满足|z－1＋2i|＝2，则|z|的最大值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·辽阳模拟)若复数z＝＋|3－4i|，则|z|＝　　　　　　. 10.写出一个同时满足①②的复数z＝　　　　. ①z3＝；②z∉R. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知复数z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i为虚数单位. (1)若z是纯虚数，求实数m的值；(6分) (2)若m＝2，设＝a＋bi(a，b∈R)，试求a＋b的值.(7分) 12.(15分)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根. (1)求实数a，b的值；(7分) (2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.(8分) 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.已知复数z1，z2和z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为(　　) A.2 B.3 C. D.1 14.在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||＝r，以射线Ox为始边，向量所在射线为终边，旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ).已知z＝(＋i)4，则||＝　　　　　　；若复数ω满足ωn－1＝0(n∈N*)，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R，请写出一个满足条件的ω＝　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$