第五章 §5.4 平面向量中的综合问题（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第五章平面向量与复数 §5.4　平面向量中的综合问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 平面向量中的综合问题 2023·全国乙卷 2022·浙江 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等。 【名师点拨】 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合。 【必练核心题型】 题型一　平面向量在几何中的应用 【典例】1.设P是△ABC所在平面内一点，若·()＝2·，且－2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】A 【解析】由·()＝2·， 得·(－2)＝0， 即·[()＋()]＝0， 所以·()＝0. 设D为AB的中点，则·2＝0， 故·＝0. 由－2·， 得()·()＝－2·， 即(－2)·＝0. 设E为BC的中点，则(2－2)·＝0， 则2·＝0，故·＝0. 所以P为AB与BC的垂直平分线的交点， 所以P是△ABC的外心. 【典例】2.△ABC的外心O满足＝0，||＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设AB的中点为D， 则＝0可化为2＝0， 即＝－， ∴O，D，C三点共线且CD⊥AB， ∴△ABC为等腰三角形， ||2＝||2＋||2， 设△ABC外接圆的半径为R， 则R2＝， 解得R＝1，CD＝1＋， ∴S△ABC＝|AB||CD|＝××. 【解题技巧】用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 【变式训练】 变式1.在△ABC中，若···，则点O是△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【答案】C 【解析】∵··， ∴·()＝0，∴·＝0， ∴OB⊥CA， 即OB为△ABC边CA上的高所在的直线. 同理·＝0，·＝0， ∴OA⊥BC，OC⊥AB， 故O是△ABC的垂心. 变式2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为　　　　　　. 【答案】 【解析】以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)， 设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)， 故＝(3λ，λ－). 因为BE⊥AC，所以·＝0， 即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝， 所以E， 故，||＝， 即ED＝. 题型二　和向量有关的最值问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值问题 【典例】1.已知，是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　) A. B.2 C. D.3 【答案】B 【解析】由题意，以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°， 可得A(1，0)，B， 由＝x(1，0)＋y＝(cos θ，sin θ)， 得x－y＝cos θ，y＝sin θ，∴y＝sin θ， ∴x＋y＝y＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋30°)， ∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°， ∴当θ＝60°时，x＋y的最大值为2，此时C为的中点，∴x＋y的最大值是2. 命题点2　与数量积有关的最值问题 【典例】1.在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6] 【答案】D 【解析】方法一　(坐标法) 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4). 设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)， 所以·＝x2－3x＋y2－4y ＝＋(y－2)2－. 又＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0，0)到点的距离为，所以·∈， 即·的取值范围是[－4，6]. 方法二　(极化恒等式法) 设AB的中点为M，与的夹角为θ， 由题意知AB＝5，CM＝. 由极化恒等式得·＝()2－－2·＋1－5cos θ－＝1－5cos θ， 因为cos θ∈[－1，1]， 所以·的取值范围是[－4，6]. 命题点3　与模有关的最值问题 【典例】1.已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A.[－1，＋1] B.[－1，] C.[，＋1] D.[2－，2＋] 【答案】A 【解析】a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1. 【解题技巧】 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. 【变式训练】 变式1.在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上(不含端点)，且＝x＋y(x，y∈R)，则的最小值为(　　) A.3＋2 B.4＋2 C.8＋4 D.8 【答案】B 【解析】∵＝x＋y(x，y∈R)， AD＝2DB，∴＋y， 又E在线段CD上(不含端点)， ∴＋y＝1，且x>0，y>0， ∴ ＝4＋≥4＋2， 当且仅当，即x＝，y＝时，等号成立，∴的最小值为4＋2. 变式2.(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则向量a与b的夹角为　　　　　　，(a＋b)·(b－c)的最小值为　　　　　　.  【答案】　－ 【解析】由题意知，|a|＝|b|＝|c|＝1， 由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1， 得a·b＝－，所以cos〈a，b〉＝＝－， 又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝， 即a与b的夹角为， (a＋b)·(b－c)＝a·b＋b2－(a＋b)·c ＝－|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉 ＝－cos〈a＋b，c〉， 又cos〈a＋b，c〉∈[－1，1]， 所以≥－cos〈a＋b，c〉≥－， 当且仅当a＋b与c同向时，右侧等号成立. 所以(a＋b)·(b－c)的最小值为－. 变式3.已知单位向量a，b满足|3a－4b|＝m，则实数m的取值范围是　　　　　　. 【答案】[1，7] 【解析】设a，b的夹角为θ(θ∈[0，π])， 因为|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9|a|2－24|a||b|cos θ＋16|b|2， 又a，b为单位向量， 则m2＝9＋16－24cos θ＝25－24cos θ， 又cos θ∈[－1，1]，则1≤m2≤49， 所以1≤m≤7. 【拓展训练】 四心问题 一、引理(“奔驰”定理) 如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA＋SB＋SC＝0. 图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理. 证明　如图，延长AO与BC相交于点D， ， 记＝λ，则＝λ，即＝λ()， 所以－(1＋λ)＋λ＝0， 又＝－＝－， 所以＝0， 从而SA＋SB＋SC＝0. 推论　若O是△ABC内的一点，且x＋y＋z＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z. 二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征 1.重心 (1)定义：三角形三条中线的交点. (2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. (3)向量特征： 定理1　G是△ABC的重心⇔＝0. 证明　由引理得G是△ABC的重心⇔SA＝SB＝SC⇔＝0. 推论1　P是△ABC所在平面内任意一点，)⇔G是△ABC的重心. 证明　G是△ABC的重心⇔＝0⇔＝0⇔). 2.外心 (1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心. (2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. (3)向量特征： 定理2　O是锐角△ABC的外心⇔sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0. 证明　由O是锐角△ABC的外心，得||＝||＝||， 则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC， 于是SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C， 根据引理，得到sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0. 反之亦然(证明略). 推论2　P是锐角△ABC所在平面内任意一点， ⇔O是锐角△ABC的外心. 推论2可仿照推论1进行证明. 3.内心 (1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心. (2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等. (3)向量特征： 定理3　O是△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长) 证明　设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC＝∶∶＝a∶b∶c. 根据引理得，O是△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 推论3　P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心⇔. 推论3可仿照推论1进行证明. 4.垂心 (1)定义：三角形三条高所在直线的交点. (2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等. (3)向量特征： 定理4　O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A＋tan B＋tan C＝0. 证明　O是△ABC(非直角三角形)的垂心 ⇔··· ⇔||·||cos(π－C)＝||·||cos(π－A)＝||·||cos(π－B) ⇔||∶||∶||＝cos A∶cos B∶cos C ⇔SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C， 由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A＋tan B＋tan C＝0. 推论4　P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔. 推论4可仿照推论1进行证明. 【典例】奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题错误的是(　　) A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0 C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝∶2∶1 D.若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos∠AMB＝－ 【答案】C 【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，如图， 由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则＝0， 所以2＝－， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以M为△ABC的重心，故A正确； 对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r， 则有SA＝BC·r，SB＝AC·r，SC＝AB·r， 所以r·BC·r·AC·r·AB·＝0， 即BC·＋AC·＋AB·＝0，故B正确； 对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R， 又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°， 则有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°， 所以SA＝R2·sin ∠BMC＝R2·sin 90°＝R2， SB＝R2·sin ∠AMC＝R2·sin 120°＝R2， SC＝R2·sin ∠AMB＝R2·sin 150°＝R2， 所以SA∶SB∶SC＝2∶∶1，故C错误； 对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E， 由M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则SA∶SB∶SC＝3∶4∶5， 又S△ABC＝SA＋SB＋SC，则＝4，＝3， 设MD＝x，MF＝y，x，y>0， 则AM＝3x，BM＝2y， 所以cos∠BMD＝＝cos∠AMF＝， 即3x2＝2y2，， 所以cos∠BMD＝，所以cos∠AMB＝cos(π－∠BMD)＝－，故D正确. 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量＝(x2，－2x)在向量＝(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为·， 则λ＝≥－， 当且仅当x＝2时，等号成立，所以λ的最小值为－. 2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若||＝1，则||的最大值是(　　) A.2－1 B.2 C.2＋1 D.2＋2 【答案】C 【解析】由－()＝，||＝1， 得||＝1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动， 所以||的最大值为＋1＝2＋1. 3.已知非零向量与满足·＝0且·，则△ABC的形状是(　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】C 【解析】由·＝0，得角A的平分线垂直于BC， 所以AB＝AC，设，的夹角为θ， 而·＝cos θ＝， 又θ∈[0，π]，所以θ＝，∠A＝π－，故△ABC为等腰三角形. 4.在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.3 D.6 【答案】A 【解析】因为＝2， 所以 ＝)＝， 设AB＝x，x>0， 则||2＝， 得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92， 即2x2＋9x－126＝0， 解得x＝6(舍负)，即AB＝6， 所以||＝|| ＝ ＝＝3. 5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC＝2，则()·有(　　) A.最大值为，没有最小值 B.最小值为－，没有最大值 C.最小值为－，最大值为4 D.最小值为－4，最大值为 【答案】C 【解析】设AC与BD的交点为O，则＝2，所以()·＝2·， 如图(1)，当点P在AO上，设||＝a∈[0，1]，()·＝2·＝－2a(1－a)，当a＝时，有最小值为－. 如图(2)，当点P在CO上，设||＝a∈[0，1]，()·＝2·＝2a(1＋a)，当a＝1时，有最大值为4. 综上，()·有最小值为－，最大值为4. 6.在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD＝2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若＝a＋b(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设＝λ，λ∈[0，1]， 因为AD＝2DC，所以＋λ＋λ()＝＋(1－λ)， 所以a＝，b＝1－λ， 所以a2＋b2＝λ2＋(1－λ)2＝λ2－2λ＋1， 当λ＝－时，a2＋b2取得最小值为. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A.若)，则点D是边BC的中点 B.若，则直线AD过△ABC的垂心 C.若＝2，则点D在边BC的延长线上 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半 【答案】ABD 【解析】对于A，∵)， 即，即， 即点D是边BC的中点，故A正确； 对于B，· ＝(－||＋||)＝0，即AD⊥BC， 故直线AD过△ABC的垂心，故B正确； 对于C，∵＝2， 即，即， 即点D在边CB的延长线上，故C错误； 对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝， 设＝2， 则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1， 故M，B，C三点共线，且||＝2||， 即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确. 8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B. C.·<0 D.S＝4 【答案】BCD 【解析】由＋2＝0，＝2， 可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误； 对于B，)＝，故B正确； 对于C，·＝||||cos π＝－||||<0，故C正确； 对于D，设△ABC的高为h，S△ABC＝|AB|h＝3，即|AB|h＝6，则△APQ的面积S＝|AQ|·h＝·2|AB|·h＝×6＝4，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值为　　　　　　，此时t的值为　　　　　　. 【答案】　 【解析】因为a＝(－3，2)，b＝(2，1)， 所以a＋tb＝(－3，2)＋t(2，1)＝(－3＋2t，2＋t)， 所以|a＋tb|＝ ＝ ≥. 当且仅当t＝时取等号， 即|a＋tb|的最小值为，此时t＝. 10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面ABC内动点P满足CP＝1，则·的最小值为　　　　　　. 【答案】4－ 【解析】平面ABC内动点P满足CP＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 因为AB⊥AC，AC＝，AB＝1， 由勾股定理可得BC2＝AB2＋AC2＝4， 所以BC＝2，且cos C＝， 所以C＝30°， 所以·＝||·||cos 30°＝3， 因为，， 所以·＝()·()＝··()＋， 因为||＝1， 所以·＝4＋·()， ||＝ ＝ ＝， 所以向量是长度为的一个向量， 由此可得，点P在圆C上运动， 当与反向共线时，·()取得最小值为－， 故·的最小值为4－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章平面向量与复数 §5.4　平面向量中的综合问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 平面向量中的综合问题 2023·全国乙卷 2022·浙江 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等。 【名师点拨】 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合。 【必练核心题型】 题型一　平面向量在几何中的应用 【典例】1.设P是△ABC所在平面内一点，若·()＝2·，且－2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【典例】2.△ABC的外心O满足＝0，||＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 【变式训练】 变式1.在△ABC中，若···，则点O是△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 变式2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为　　　　　　. 题型二　和向量有关的最值问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值问题 【典例】1.已知，是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　) A. B.2 C. D.3 命题点2　与数量积有关的最值问题 【典例】1.在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6] 命题点3　与模有关的最值问题 【典例】1.已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A.[－1，＋1] B.[－1，] C.[，＋1] D.[2－，2＋] 【变式训练】 变式1.在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上(不含端点)，且＝x＋y(x，y∈R)，则的最小值为(　　) A.3＋2 B.4＋2 C.8＋4 D.8 变式2.(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则向量a与b的夹角为　　　　　　，(a＋b)·(b－c)的最小值为　　　　　　.  变式3.已知单位向量a，b满足|3a－4b|＝m，则实数m的取值范围是　　　　　　. 【拓展训练】 四心问题 一、引理(“奔驰”定理) 如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA＋SB＋SC＝0. 图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理. 证明　如图，延长AO与BC相交于点D， ， 记＝λ，则＝λ，即＝λ()， 所以－(1＋λ)＋λ＝0， 又＝－＝－， 所以＝0， 从而SA＋SB＋SC＝0. 推论　若O是△ABC内的一点，且x＋y＋z＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z. 二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征 1.重心 (1)定义：三角形三条中线的交点. (2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. (3)向量特征： 定理1　G是△ABC的重心⇔＝0. 证明　由引理得G是△ABC的重心⇔SA＝SB＝SC⇔＝0. 推论1　P是△ABC所在平面内任意一点，)⇔G是△ABC的重心. 证明　G是△ABC的重心⇔＝0⇔＝0⇔). 2.外心 (1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心. (2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. (3)向量特征： 定理2　O是锐角△ABC的外心⇔sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0. 证明　由O是锐角△ABC的外心，得||＝||＝||， 则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC， 于是SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C， 根据引理，得到sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0. 反之亦然(证明略). 推论2　P是锐角△ABC所在平面内任意一点， ⇔O是锐角△ABC的外心. 推论2可仿照推论1进行证明. 3.内心 (1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心. (2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等. (3)向量特征： 定理3　O是△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长) 证明　设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC＝∶∶＝a∶b∶c. 根据引理得，O是△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 推论3　P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心⇔. 推论3可仿照推论1进行证明. 4.垂心 (1)定义：三角形三条高所在直线的交点. (2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等. (3)向量特征： 定理4　O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A＋tan B＋tan C＝0. 证明　O是△ABC(非直角三角形)的垂心 ⇔··· ⇔||·||cos(π－C)＝||·||cos(π－A)＝||·||cos(π－B) ⇔||∶||∶||＝cos A∶cos B∶cos C ⇔SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C， 由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A＋tan B＋tan C＝0. 推论4　P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔. 推论4可仿照推论1进行证明. 【典例】奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题错误的是(　　) A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0 C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝∶2∶1 D.若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos∠AMB＝－ 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量＝(x2，－2x)在向量＝(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若||＝1，则||的最大值是(　　) A.2－1 B.2 C.2＋1 D.2＋2 3.已知非零向量与满足·＝0且·，则△ABC的形状是(　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.3 D.6 5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC＝2，则()·有(　　) A.最大值为，没有最小值 B.最小值为－，没有最大值 C.最小值为－，最大值为4 D.最小值为－4，最大值为 6.在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD＝2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若＝a＋b(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A.若)，则点D是边BC的中点 B.若，则直线AD过△ABC的垂心 C.若＝2，则点D在边BC的延长线上 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半 8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B. C.·<0 D.S＝4 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值为　　　　　　，此时t的值为　　　　　　. 10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面ABC内动点P满足CP＝1，则·的最小值为　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$