精品解析：云南省迪庆州民族中学2023-2024学年 高一上学期期末考试数学试题

云南省迪庆州民族中学2023-2024学年上学期期末考试 高一 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集的定义即可求解. 【详解】解：因为，， 所以， 故选：C. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“，”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可. 【详解】因为“，”是真命题，所以，解得. 故选：C. 4. 已知全集且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故，， 故， 故选：D. 5. 已知二次函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集定于求出. 【详解】集合，，则. 故选：C 7. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 8. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，，即可得答案. 【详解】解：函数， 由，，得，， 所以函数的单调递减区间为， 故选：A. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 的定义域为R B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为R 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式求定义域，应用奇偶性定义判断奇偶性，再由复合函数的单调性判断在上单调性，由换元法及分式型函数的性质求值域. 【详解】由，显然定义域为，A错； 由，即是偶函数，B对； 由在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增，C对； 令，则在上值域为R，即的值域为R，D对. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的定义域为 C. D. 在定义域上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】先由对数的真数大于0求得函数定义域，由函数的奇偶性的定义得到函数的奇偶性，将自变量代入函数解析式求得函数值，由复合函数的单调性得到函数的单调性. 【详解】，则，∴， ∴的定义域为，B选项正确. ，则为奇函数，A选项错误. ，， ∴，C选择正确. 令， ∵在区间上单调递减且，∴在区间上单调递增， ∴在区间上单调递增，D选项错误. 故选：BC. 11. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数的值域为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 对于命题，使得，则，均有 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数值域的求解，具体函数定义域的求解，三角不等式的求解以及命题的否定的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：， 又当时，，故，故A正确； 对B：要使得函数有意义，则且， 解得：且，故的定义域为，故错误； 对C：， 则，故正确； 对D：命题的否定，均有，故错误. 故选：. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】因为正数，满足，所以，即， 则， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值9，则的最大值为． 故答案为： 13. 已知是上的增函数，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案. 【详解】根据题意，可得，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【详解】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，a∈R. （1）若，求函数在上的值域； （2）当时，设是函数图象上任意不同的两点，且满足点P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性求值域； （2）利用函数的单调性的定义证明. 【小问1详解】 当时， ， ，则， 因为对数函数在定义域上单调递增， 所以， 所以. 故函数f(x)在上的值域是. 【小问2详解】 当时，函数， 任取定义域内的，且， 则. 因为，所以，所以， 根据函数定义域可知，，所以， 又因，所以， 所以， 所以， 所以，所以是定义域上的减函数， 所以点P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方． 16. 2024年新能源汽车的渗透率已超过，为解决新能源汽车的充电问题，某新能源公司投资300万元用于充电桩项目，调研发现且年内该项目的总维护费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设第且年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维护费用－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为99万元． （1）求的解析式； （2）到第几年年底，该项目的年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值． 【答案】（1）且 （2）到第6年年底，该项目的平均利润最大，最大值为56万元 【解析】 【分析】（1）根据纯利润的计算公式列出，将代入解出即可求解； （2）根据年平均利润的计算公式，结合对勾函数的图象和性质求最大值即可. 【小问1详解】 由题意得， 当时，，所以， 所以且． 【小问2详解】 设平均利润为万元， 则且， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，且当时，，当时，， 所以到第6年年底，该项目的平均利润最大，最大值为56万元. 17. 对于函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递增；证明见解析 （2）（Ⅰ）； （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）函数在上单调递增，利用单调性的定义即可证明； （2）（Ⅰ）由已知可得对恒成立，计算可求得的值；（Ⅱ）由函数为奇函数，不等式可变形为，结合的单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以，所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，理由如下： 设，且， ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增； 【小问2详解】 （Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对恒成立， 即对恒成立， 所以， 解得； （Ⅱ）由，可得， 又因为函数为奇函数，所以， 由（1）可知函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 解得，所以实数取值范围. 18. 已知函数的定义域为，且满足． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）若，求的值； （3）若时，，解不等式． 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【小问1详解】 令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）偶函数. 【小问2详解】 因为， 所以 . 【小问3详解】 任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 19. 已知函数． （1）求的最小正周期及的值； （2）求的最值及取得最值时对应x的值； （3）直线与函数的图象分别交于M，N两点，求的最大值． 【答案】（1）的最小正周期为； （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式化简解析式，求解最小正周期和函数值即可； （2）根据题意结合余弦函数最值分析求解； （3）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，的最小正周期为. 【小问2详解】 因为， 当，即时，取到最大值1； 当，即时，取到最小值. 【小问3详解】 由题意可知，两点的坐标为，， 则，即， 故 ， 因为，所以， 所以， 所以在时的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省迪庆州民族中学2023-2024学年上学期期末考试 高一 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，，则是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 的定义域为R B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为R 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 定义域为 C. D. 在定义域上单调递减 11. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数的值域为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 对于命题，使得，则，均有 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正数，满足，则的最大值为________． 13. 已知是上的增函数，则的取值范围是_____________． 14. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，a∈R. （1）若，求函数在上的值域； （2）当时，设是函数图象上任意不同的两点，且满足点P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. 16. 2024年新能源汽车的渗透率已超过，为解决新能源汽车的充电问题，某新能源公司投资300万元用于充电桩项目，调研发现且年内该项目的总维护费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设第且年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维护费用－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为99万元． （1）求的解析式； （2）到第几年年底，该项目的年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值． 17. 对于函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 18. 已知函数的定义域为，且满足． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）若，求的值； （3）若时，，解不等式． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期及的值； （2）求的最值及取得最值时对应x的值； （3）直线与函数的图象分别交于M，N两点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$