广东广州科学城中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

**基本信息** 涵盖立体几何、向量、解三角形等核心内容，通过灯塔方位、铁球熔化等真实情境及复向量新定义问题，考查空间观念、运算能力与创新意识，适配高一期中综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角形四心、复数几何意义、直观图周长|基础概念与空间直观结合| |多选题|3/18|正方体线线关系、复数性质|多角度辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|向量投影、圆锥侧面积|小切口深考查，强化运算能力| |解答题|5/77|解三角形综合、立体几何证明、复向量新定义|分层设计，从基础运算到创新应用，体现模型观念|

广州科学城中学2025学年第二学期期中质量监测 高一数学科试题解析 1．A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 2．D 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 3．D 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 4．B 【详解】由题意，， 由.故B正确. 5．C 【分析】结合题意画出图形，结合正弦定理即可求解. 【详解】 设甲船初始位置为，航行后位置为，灯塔为， 由题意， 航行后灯塔在正西方，结合方位关系可得， 根据正弦定理， 代入已知值：， 因此此时甲船距离灯塔. 6．B 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 7．A 【分析】由余弦定理得到，再根据即可求出答案. 【详解】 由余弦定理可得，， 即， 因为，解得， 由可得， ， 解得． 8．C 【分析】根据余弦定理求解的长度，进而可求得，，是等边三角形，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 连接，在中，由余弦定理得：， 则，所以，所以，而，所以，连接，在中， 由余弦定理得：， 则，所以，所以， 在中，，所以是等边三角形， 所以，所以， 设，令，则， 即，所以， 所以， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为12， 所以的取值范围为. 9．ABD 【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征逐一判断即可. 【详解】把正方体的平面展开图还原原正方体如图， 在正方体中，与平行，故A正确；由异面直线定义可得，与是异面直线，故B正确； 与是异面直线，故C错误；由异面直线定义可得，与是异面直线，故D正确； 故选：ABD. 10．BD 【分析】先算z与其共轭复数的乘积，再从几何的角度考虑与关于实轴对称，最后分析表示圆. 【详解】对于A，复数的共轭复数为， ,A错误. 对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确. 对于C，假设，则，但复数平方根有双解，另一个解为，题目中仅给出，未包含全部解，C错误. 对于D，表示以z为圆心、半径为1的圆.圆心z到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离范围为：，，即，D正确. 故选：BD. 11．ABD 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理可得，然后由可判断选项正误. 【详解】对于A，， 则，因A，B为三角形内角，则， 从而，则为等腰三角形，故A正确； 对于B，，由余弦定理， ，故B正确； 对于C，因C为钝角，则. 则，因正弦函数在上递增， 则，故C错误； 对于D，由正弦定理， 因，且，则， 使，即解的个数为2，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】， 则向量在向量方向上的投影向量的坐标为. 13． 【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解. 【详解】侧面积， 设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 14． 【分析】借助数量积公式计算可得，再利用同角三角函数基本关系计算可得，即可借助面积公式计算出，利用平面向量线性运算法则可得点位置，则可得与比例，即可得解. 【详解】由，则， ， 则， 取中点，由，则， 则，则为靠近点的三等分点， 则 15．(1) (2)，的面积为 【详解】（1）已知在中，，，。 由余弦定理，代入边长得： 因为，所以. （2）由正弦定理，得： . 的面积，代入得：. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量模长公式及数量积运算律求解即可； （3）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 则； （2）； （3）由已知，， 则向量与的夹角的余弦值为． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）利用等体积法，转化为求的体积即可. 【详解】（1）由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； （2）等腰中，，从而， 所以， 由面，且 所以，               又因为， 所以三棱锥的体积为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 19．(1) (2) (3)是定值且该定值为，理由见解析 【分析】（1）直接套用题目定义的复向量内积公式，先求出两个分量的共轭复数，再代入的分量展开计算，利用化简得到结果； （2）根据题目定义的平行条件，将设为的复数倍数，通过分量对应相等求出复数系数，再代入计算得到的值； （3）先利用复向量模的定义，结合求出与，再计算内积并求出其模长，进而由夹角公式得到，再求出，最后代入面积公式验证结果为定值. 【详解】（1）由题意得； （2）设， 则， 得， 又， ， 若与平行，则，即， 整理得，所以，， 所以； （3）设与的夹角为，则 ， 由题意知， ，， 所以，所以， 因为，所以， 即是定值，且该定值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州科学城中学2025学年第二学期期中质量监测 高一数学科试题卷 命题人：吴乐宜 审校人：龙晓禹 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 4．已知三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（   ） A． B． C． D． 6．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，的角平分线交于D，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 8．如图，在平面四边形中，，，，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 10．关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为________． 13．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面积为______，侧面展开图中扇形的中心角为______（弧度制表示）． 14．在中，，，点M在的内部，若，则的面积是________． 四、解答题（共77分） 15．已知的内角所对的边长分别为，. (1)求角的大小； (2)求的值和的面积． 16．已知向量，满足，向量的夹角为60°． (1)求的值； (2)求； (3)求向量与的夹角的余弦值． 17．如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 18．已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 19．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． (1)若复向量，求； (2)若复向量，且与平行，求z； (3)若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $