精品解析：北京市第四中学顺义分校2024-2025高二下学期期中考试数学试卷

北京四中顺义分校2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一．选择题（本题为单选题，共10小题，每小题4分，共40分，把答案填涂在答题卡上） 1. 在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ） A. 28 B. 25 C. 24 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的概念写出通项公式，即可求出结果. 【详解】由题意知为等差数列，且，则，所以， 故选：B. 2. 已知数列的前项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D 3. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，即可求出第二次取到红球的概率． 【详解】解：依题意，第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球， 所以第二次取到红球的概率是：． 故选：B． 【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件的个数是关键，属于基础题． 4. 已知从口袋中摸出一个球是红球的概率为，从口袋中摸出一个球是红球的概率为．现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】从口袋中摸出一个球是红球的概率为，从口袋中摸出一个球是红球的概率为， 现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率. 故选：B 5. 数列为等差数列，满足，则数列前项的和等于 A. B. 21 C. 42 D. 84 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵等差数列，∴，∴， ∴，故选B． 考点：等差数列的性质． 6. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到，函数单调递增，得到大小关系. 【详解】，因为，故， 所以在上单调递增， 因为，所以， 故选：D. 7. 函数上的极小值点为（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后令导数等于零，求得导函数的零点，然后根据单调性求得极小值点. 【详解】解：y′＝1﹣2sinx＝0，得x或x， 故y＝x+2cosx在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数． ∴x是函数的极小值点， 故选C． 【点睛】本小题主要考查函数的导数运算，考查求函数的极小值点，属于基础题. 8. 已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列，那么数列的前项和等于 A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，且， 且，，成等比数列， 则 ，解得 或 （舍去）， ∴的前10项和 故选B 9. 如图是函数的导函数的图象，则正确命题的序号是（ ） ①是函数的极值点； ②是函数的极值点； ③在区间上单调递增． ④在处切线的斜率小于零； A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的图象分析函数的单调性，结合极值点的定义可判断①②③；利用导数的几何意义可判断④. 【详解】对于①，由导函数的图象可知， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，为函数的极小值点，①对； 对于②③，当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，不是函数的极值点，②错③对； 对于④，由图象可知，所以函数在处切线的斜率大于零，④错. 故选：A. 10. 已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①求出函数的导数，根据已知求得，即可求得说法正确； ②根据已知将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，求得两个图象有两个交点，从而求得有两个极值点，则说法正确； ③结合图象，时，可求得，则单增无最大值，故说法错误. 【详解】，， 对于①，因为，所以， 当时，，则在区间上单调递减，所以①正确. 对于②，令，得，令，， 当，则，当，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，， 又当趋近于时，趋近于，，当趋近于时，趋近于0， 所以可作出函数的大致图象如图所示，     由图可知，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个不等实根， 当或时，， 当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故有两个极值点，所以②正确. 对于③，当时，，即恒成立，则函数在上单调递增， 所以函数无最大值，所以③错误. 则说法正确的个数为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题②的关键在于求导后分离参数，再次构造函数求导分析单调性和最值. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。 11. 直线是曲线的一条切线，则实数___________． 【答案】 【解析】 【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以． 12. 函数的递增区间是______；递减区间______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，根据导函数得正负即可求出增、减区间. 【详解】函数的定义域为，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以函数的递增区间是；递减区间． 故答案为：； 13. 在等比数列中，若，则公比__________；__________时，的前项积最大. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知条件结合等比数列的通项公式可求出公比，则可求出通项公式，从而可求出的前项积，可判断当取最大值时，必为偶数，令，解得，令，解得，然后讨论可求出的前项积的最大值. 【详解】在等比数列中,由,得 ， ∴ ； ∴， 此等比数列各项均为负数，设它的前项积为， 当为奇数时，为负，当为偶数时，为正， 所以当取最大值时，必为偶数， 若，则，即， 同理，若，则， 因为， 令，解得，令，解得， 因为， 所以当为偶数且时，，， 当为偶数且时，，， 即， 所以当时,的前项积最大. 故答案为：，4. 14. 已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号) ①当时，数列的前n项和； ②若数列是单调递增数列，则； ③，数列的前n项积既有最大值又有最小值； ④若恒成立，则． 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】对于①，当时，，所以， 所以 ，所以①正确， 对于②，若数列是单调递增数列，则，即， 所以，所以， 因为，所以，所以②错误， 对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误， 对于④，由，得，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，所以，所以④正确. 故答案为：①④ 三．解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16. 数列的前n项和为，其中.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题： （1）求的通项公式； （2）设，求. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选择①②，可判断数列是公差为2的等差数列，即可求解通项公式，若选择③，根据，求后，再根据数列与的关系，即可求通项公式； （2）利用等差和等比数列的前项和公式，即可求和. 【小问1详解】 若选择①，，则， 即数列是公差为2的等差数列，且， 所以； 若选择②，， 则数列是公差为2的等差数列，且， 所以； 若选择③，，由，得， 即， 时，， 且当时，，成立， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， ， ， . 17. 2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分.问卷结束后，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图. （1）求图中的a的值； （2）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在中的人数，求X的分布列及数学期望； （3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（直接写出结果） 【答案】（1） （2） 的分布列为： 1 2 3 故； （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出a的值； （2）首先求出60分以下的参观者人数，和的参观者人数，得到X的取值，写出变量各个取值对应的概率，进而得出X的分布列及数学期望； （3）利用平均数的计算公式和中位数的定义，求出平均数和中位数即可比较大小. 【小问1详解】 由题意可得，， 解得； 【小问2详解】 由题意可得，分数在60分以下的参观者人数为人， 因为，所以在中人数有2人，在中人数有6人， 故随机变量的所有可能取值为1，2，3，所以 ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 故； 【小问3详解】 平均数， 因为，， 所以中位数，所以， 解得，故. 18. 某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下： 注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%； 24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似． （1）根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论； （2）用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为，求的分布列及数学期望； （3）根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组 （2） 期望为 （3） 不正确．理由： 反例，比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大． 用区间的右端点估计理赔的平均年龄为： 用区间的左端点估计投保的平均年龄为： 因为32.13>26.62，所以说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和第90百分位数所占比例判断所在组； （2）列出随机变量的分布列，然后求解数学期望； （3）直方图表示的是年龄区间，不能具体判断真是平均数，举反例说明； 【小问1详解】 理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组． 【小问2详解】 用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取1人超过40岁的概率为． 的所有可能取值为． ． ． ． ． 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望： ． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极值点，求的单调递增区间； （3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）由是的一个极值点，可得，求出的值，然后检验后由导数大于零可求出函数的增区间； （3）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于可求出的值. 【小问1详解】 当时，，所以． 因为，所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 函数的定义域为，则， 因为是的一个极值点，所以．解得． 所以，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，是的极大值点． 此时的单调递增区间为． 【小问3详解】 ①当时， 因为，， 所以在区间上单调递增． 此时． 若，则，不合题意． ②当，即时， 令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 此时． 若，则，符合题意． 综上，当时，在区间上的最大值为． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值问题，第（3）问解题有关键是分和讨论导数的正负，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值，考查计算能力，属于较难题. 20. 正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质. （1）判断集合，是否具有性质； （2）若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值： （3）若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）具有性质；不具有性质. （2）3 （3）存在，4 【解析】 【分析】（1）将集合，进行计算，得出集合中的元素个数即可知具有性质；不具有性质. （2）利用等比数列性质和集合性质的定义，即可得集合中的元素个数最大值为3； （3）根据集合具有的性质的定义，对集合中的元素个数进行分类讨论，再由集合元素的互异性得出矛盾即可求出中的元素个数最大值是4. 【小问1详解】 具有性质；不具有性质. 若，则，恰有个元素，所以具有性质； 若，，有5个元素，，不具有性质. 【小问2详解】 当中的元素个数时，因为中所有元素能构成等比数列， 不妨设元素依次为构成等比数列，则，其中互不相同. 于是这与具有性质，中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾. 当中的元素个数恰有3个时，取时满足条件， 所以集合中的元素个数最大值为3. 【小问3详解】 因为，不妨设， 所以. （1）当时，构成等比数列， 所以，即，其中互不相同. 这与中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾. （2）当时，构成等比数列，第3项是或. ① 若第3项是，则，即， 所以，与题意矛盾. ② 若第3项是，则，即， 所以成等比数列，设公比为，则中等比数列的前三项为： ，其公比为，第四项为，第十项为. (ⅰ)若第四项为，则，得， 又，得，此时中依次为 显然，不合题意. (ⅱ)若第四项为，则，得，又，得， 此时中依次为，显然，不合题意. 因此，. 取满足条件. 所以中的元素个数最大值是4. 【点睛】方法点睛：对于“新定义”的题目关键在于充分理解定义的本质，把新定义与高中已学内容建立联系，灵活运用类比、归纳、分类讨论等数学思想才能将问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京四中顺义分校2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一．选择题（本题为单选题，共10小题，每小题4分，共40分，把答案填涂在答题卡上） 1. 在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ） A. 28 B. 25 C. 24 D. 22 2. 已知数列的前项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知从口袋中摸出一个球是红球的概率为，从口袋中摸出一个球是红球的概率为．现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 数列为等差数列，满足，则数列前项的和等于 A. B. 21 C. 42 D. 84 6. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数上的极小值点为（　　） A. 0 B. C. D. 8. 已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列，那么数列的前项和等于 A. B. C. 或 D. 或 9. 如图是函数的导函数的图象，则正确命题的序号是（ ） ①是函数的极值点； ②是函数的极值点； ③在区间上单调递增． ④在处切线的斜率小于零； A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。 11. 直线是曲线的一条切线，则实数___________． 12. 函数的递增区间是______；递减区间______． 13. 在等比数列中，若，则公比__________；__________时，的前项积最大. 14. 已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号) ①当时，数列的前n项和； ②若数列是单调递增数列，则； ③，数列的前n项积既有最大值又有最小值； ④若恒成立，则． 三．解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 数列的前n项和为，其中.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题： （1）求的通项公式； （2）设，求. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分. 17. 2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分.问卷结束后，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图. （1）求图中的a的值； （2）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在中的人数，求X的分布列及数学期望； （3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（直接写出结果） 18. 某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下： 注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%； 24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似． （1）根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论； （2）用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为，求的分布列及数学期望； （3）根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极值点，求的单调递增区间； （3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20. 正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质. （1）判断集合，是否具有性质； （2）若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值： （3）若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $