精品解析：重庆市南岸区2025年九年级质量监测指标到校数学试题

南岸区2025年九年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 考试形式：闭卷分值：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2. 如图，有一条公路，经过两次拐弯后，和原来的方向相同．第一次拐弯形成的角，第二次拐弯形成的角度数是（ ） A. B. C. D. 3. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，作与位似．若点D的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，是无人机按照特定规律变化摆出的系列图案，第①个图案由6架无人机组成，第②个图案由10架无人机组成，第③个图案由14架无人机组成，……按此规律，第⑧个图案需要无人机的数量为（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 38 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 如图，是某生活小区的长方形广场．该广场内设有一个长方形和一个半圆形草坪，除这两个区域外，其余部分均为休闲区，休闲区即图中的阴影区域．那么，休闲区的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻的变化而变化，，并结合实验数据描点、连线，画成了如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最小电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最大电流是 9. 如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，过点E作，与，分别交于点F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知整式M：，其中，为自然数，为正整数，，，互不相等，且．下列说法： ①满足条件的整式M共有16个； ②满足条件的整式M中，有8个是二次三项式； ③当时，M的值为y，则y的最小值为； ④将整式M的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式N，当时，． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝______. 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 重庆汽车产业迅猛发展，催生出众多相关优秀企业．其中两家颇具影响力的汽车制造企业A和B，计划从甲、乙、丙三家汽车经销商中邀请一家前往工厂参观考察．那么企业A和B同时选择乙经销商前往工厂参观考察的概率是______． 14. 如图，在中，，平分，点D在边上，，，，，则______． 15. 某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是______元． 16. 如图，以为直径的与的边交于点D，E，F，G四点．若，，，，则______，______． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，18题8分，24题12分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解不等式组并写出该不等式组的所有整数解； （2）先化简：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为a的值代入求值． 18. 如图，在中，D是边上一点，请完成以下作图和填空． （1）用尺规按要求作图：过点D，在内作，交于点E；在上，截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：在中，D，E，F分别是，，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴①______． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （②______） 19. 为激发学生的阅读热情，某校开展了以“书香润校园”为主题的阅读活动．学校随机从七年级和八年级中各抽取20名学生进行问卷调查，并对学生每周的阅读时间进行整理、描述、分析（阅读时间按四舍五入的方式用整数x表示，单位：小时，共分成四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生每周的阅读时间为： 23，20，20，19，18，17，14，13，13，13，12，11，10，9，7，6，6，4，3，2． 八年级20名学生每周的阅读时间在B等级的数据是： 14，14，14，13，12，12，12，12，11，11． 七、八年级所抽学生每周阅读时间的统计表 七年级 八年级 平均数 12 12 中位数 b 众数 c 12 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中a，b，c的值； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有800名学生参加了此次阅读活动，估计该校七、八年级学生每周阅读时间大于等于10小时的人数． 20. 某公司有新能源电池箱体生产线22条．每条生产线可年产A类新能源电池箱体10万件或B类新能源电池箱体8万件．该公司今年计划生产的新能源电池箱体已全部被采购企业定购，全年需生产的A类电池箱体数量比B类电池箱体数量多40万件． （1）该公司需安排制造A、B两类新能源电池箱体的生产线各多少条？ （2）由于采购企业要求A类新能源电池箱体尽可能提前完成全年交货任务，公司决定提高A类新能源电池箱体的生产效率，目前有两种生产方案：第一种方案为公司每月生产A类新能源电池箱体a万件，第二种方案为每月生产A类新能源电池箱体万件，那么采用第二种方案比第一种方案的交货时间少2个月．求a的值． 21. 如图，四边形为矩形，延长至点E，连接，，，．动点P沿B→E→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时，动点Q沿D→C以每秒0.5个单位长度的速度运动，到达C点时停止运动．设点P，Q的运动时间为x秒，连接，，的面积为，和的面积比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（保留1位小数，误差不超过0.2）． 22. 如图，道路与的夹角为，道路与的夹角为．甲、乙两辆测试车同时从点A出发．甲测试车先朝着正东方向行驶一段路程，到达点B后，再沿北偏东方向行驶，到达终点C．乙测试车先沿正北方向行驶至点E，再沿北偏东方向行驶一段路程到达点D，最后沿着方向行驶一段路程，到达终点C．（参考数据：，，，，） （1）求道路的长度（结果保留整数位）； （2）已知甲、乙测试车的平均行驶速度分别为、，哪一辆测试车先到达终点C?请通过计算说明． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其中，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为F，交于点E．点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴，垂足为N，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标． 24. 如图，在中，D是边上一点，且．平分，交于点F，，交于点G．平分，交于点H． （1）求证：； （2）如图2，当，时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）当时，连接，若为直角三角形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南岸区2025年九年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 考试形式：闭卷分值：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是无理数，无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，不符合题意； B．是无理数，符合题意； C．3是整数，属于有理数，不符合题意； D．是分数，属于有理数，不符合题意， 故选：B． 2. 如图，有一条公路，经过两次拐弯后，和原来的方向相同．第一次拐弯形成的角，第二次拐弯形成的角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：C． 3. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，作与位似．若点D的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质、勾股定理，根据位似图形的性质求出位似比是解题的关键．先利用勾股定理求出，的长，根据位似图形的性质求出，再根据位似变换的性质即可得出答案． 【详解】解：，， ，， 与位似， ， 与的位似比为， 又， 点F的坐标为， 即点F的坐标为． 故选：A． 5. 如图所示，是无人机按照特定规律变化摆出的系列图案，第①个图案由6架无人机组成，第②个图案由10架无人机组成，第③个图案由14架无人机组成，……按此规律，第⑧个图案需要无人机的数量为（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据图形归纳出第个图案无人机的数量是解题的关键．根据前3个图案无人机的数量，推算出第个图案无人机的数量为，再代入即可求解． 【详解】解：第①个图案无人机的数量为， 第②个图案无人机的数量为， 第③个图案无人机的数量为， …… 第个图案无人机的数量为， 当时，， 第⑧个图案需要无人机的数量为34． 故选：C． 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法、无理数的估算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键．利用二次根式的减法化简，再根据无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 估计的值应在1和2之间． 故选：B． 7. 如图，是某生活小区的长方形广场．该广场内设有一个长方形和一个半圆形草坪，除这两个区域外，其余部分均为休闲区，休闲区即图中的阴影区域．那么，休闲区的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、整式的乘法、合并同类项，根据图形表示出休闲区的面积是解题的关键．由图形得，休闲区的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积和半圆形的面积，代入数据化简即可求解． 【详解】解：休闲区的面积 ． 故选：D． 8. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻的变化而变化，，并结合实验数据描点、连线，画成了如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最小电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最大电流是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据表中数值求出反比例函数解析式，把最小电阻代入解析式即可求出结果． 【详解】解：电流随着电阻的变化而变化，，电流与电阻成反比例关系，由图象可得：过， ， ∴电阻最小时，电流最大， 该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流为：， 故选: D． 9. 如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，过点E作，与，分别交于点F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是学会利用参数解决问题． 设，解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， ，， ， ． 故选：D． 10. 已知整式M：，其中，为自然数，为正整数，，，互不相等，且．下列说法： ①满足条件的整式M共有16个； ②满足条件的整式M中，有8个是二次三项式； ③当时，M的值为y，则y的最小值为； ④将整式M的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式N，当时，． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了整式的相关概念，包括二次三项式的定义，以及通过代入求值和等式变形来求解问题，解题的关键在于准确找出满足条件的系列组合．根据已知条件确定、、的取值组合，进而对关于整式的四种说法逐一进行分析判断，即可求得答案． 【详解】解：①为正整数，，为自然数，且，、、互不相等，有以下几种情况： 当时，，则，可以为，，，，， 当时，，则，可以为，，，，， 当时，，则，可以为，，， 当时，，则，可以为，，， 当时，，则，可以为，，， 满足条件的组合共有组， 满足条件的整式共有14个，故①错误； ②二次三项式要求，，，从上面的组合中找，有，2，，3，，1，，3，，1，，2，共6个， 满足条件的整式中，有6个是二次三项式，故②错误； ③当时，， 由可得，则，要使最小， 为正整数，为自然数，当，时，， 的最小值为， 故③正确； ④整式，整式， 当时，， ，即， ， 或， 故④错误； 综上，③正确，正确的个数是1个， 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝______. 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案. 【详解】解：原式＝1+3＝4. 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 重庆汽车产业迅猛发展，催生出众多相关优秀企业．其中两家颇具影响力的汽车制造企业A和B，计划从甲、乙、丙三家汽车经销商中邀请一家前往工厂参观考察．那么企业A和B同时选择乙经销商前往工厂参观考察的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及企业和同时选择乙经销商前往工厂参观考察的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 (甲， 甲) (甲， 乙) (甲， 丙) 乙 (乙， 甲) (乙， 乙) (乙， 丙) 丙 (丙， 甲) (丙， 乙) (丙， 丙) 共有种等可能的结果，其中企业和同时选择乙经销商前往工厂参观考察的结果有种， ∴企业和同时选择乙经销商前往工厂参观考察的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分，点D在边上，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质、角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线性质求出，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是______元． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润销售的数量获得的利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每个口风琴的定价应该是元， ， 解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者， ∴， 故答案为：． 16. 如图，以为直径的与的边交于点D，E，F，G四点．若，，，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接， ， 设与交于点， 根据得，再根据是的直径得， 进而可判定和全等， 则， ， 继而根据得是的中位线， 则，由此得， 设的半径为， 在中，由勾股定理求出的值，则，在中，由勾股定理求出，然后根据可得的长． 【详解】解：连接， ， 设与交于点， 如图所示： ， ∴弧弧， ， ∵是的直径， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点是的中点， ∵， ∴是的中位线， ， 在中，由勾股定理得：， 设的半径为， ∴， ， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， ， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ， 在中， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，灵活运用勾股定理进行运算，正确地添加辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，18题8分，24题12分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解不等式组并写出该不等式组的所有整数解； （2）先化简：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为a的值代入求值． 【答案】（1）；4，5；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、分式的化简与求值、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出各不等式的解集，再求出解集的公共部分，得到不等式组的解集，即可得出不等式组的所有整数解； （2）利用分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件，选择合适的a的值代入求值即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 该不等式组的所有整数解为4，5． （2） ， 由题意得，且， 代入，原式． 18. 如图，在中，D是边上一点，请完成以下作图和填空． （1）用尺规按要求作图：过点D，在内作，交于点E；在上，截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：在中，D，E，F分别是，，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴①______． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （②______） 【答案】（1） 解：如图所示，图形即为所求： （2）①；②对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、平行四边形的判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）利用尺规作角等于已知角的方法作出，交于点E；再利用圆规在上截取，连接，则图形即为所求； （2）利用平行四边形的判定即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为激发学生的阅读热情，某校开展了以“书香润校园”为主题的阅读活动．学校随机从七年级和八年级中各抽取20名学生进行问卷调查，并对学生每周的阅读时间进行整理、描述、分析（阅读时间按四舍五入的方式用整数x表示，单位：小时，共分成四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生每周的阅读时间为： 23，20，20，19，18，17，14，13，13，13，12，11，10，9，7，6，6，4，3，2． 八年级20名学生每周的阅读时间在B等级的数据是： 14，14，14，13，12，12，12，12，11，11． 七、八年级所抽学生每周阅读时间的统计表 七年级 八年级 平均数 12 12 中位数 b 众数 c 12 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中a，b，c的值； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有800名学生参加了此次阅读活动，估计该校七、八年级学生每周阅读时间大于等于10小时的人数． 【答案】（1），， （2） 解：七年级的学生阅读情况更好，理由：七、八年级学生每周的阅读时间平均数相同，而七年级学生每周的阅读时间的中位数大于八年级学生每周的阅读时间的中位数（答案不唯一）． （3）870人 【解析】 【分析】本题考查了求中位数、众数、用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）求出八年级学生每周的阅读时间在D等级所占百分比，得出的值，再根据中位数和众数的定义求出的值即可； （2）利用平均数和中位数的意义分析即可； （3）分别算出七年级每周阅读时间大于等于10小时的占比乘以600，八年级每周阅读时间大于等于10小时的占比乘以800，再相加即可． 【小问1详解】 解：八年级学生每周的阅读时间在B等级所占百分比为， 八年级学生每周的阅读时间在D等级所占百分比为， ； 将八年级学生每周的阅读时间从大到小顺序排列，中位数为第10位和第11位的平均数， ； 根据七年级20名学生每周的阅读时间，可得众数； 综上所述，，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生每周阅读时间大于等于10小时的人数为870人． 20. 某公司有新能源电池箱体生产线22条．每条生产线可年产A类新能源电池箱体10万件或B类新能源电池箱体8万件．该公司今年计划生产的新能源电池箱体已全部被采购企业定购，全年需生产的A类电池箱体数量比B类电池箱体数量多40万件． （1）该公司需安排制造A、B两类新能源电池箱体的生产线各多少条？ （2）由于采购企业要求A类新能源电池箱体尽可能提前完成全年交货任务，公司决定提高A类新能源电池箱体的生产效率，目前有两种生产方案：第一种方案为公司每月生产A类新能源电池箱体a万件，第二种方案为每月生产A类新能源电池箱体万件，那么采用第二种方案比第一种方案的交货时间少2个月．求a的值． 【答案】（1）该公司需安排制造类新能源电池箱体的生产线条，需安排制造类新能源电池箱体的生产线条 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用； （1）设该公司需安排制造类新能源电池箱体的生产线条，需安排制造类新能源电池箱体的生产线条,根据“某公司有新能源电池箱体生产线22条，全年需生产的A类电池箱体数量比B类电池箱体数量多40万件”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）求出全年需生产类新能源电池箱体数量，再根据采用第二种方案比第一种方案的交货时间少个月，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设该公司需安排制造类新能源电池箱体的生产线条，需安排制造类新能源电池箱体的生产线条, 由题意得：， 解得：， 答：该公司需安排制造类新能源电池箱体的生产线条，需安排制造类新能源电池箱体的生产线条； 【小问2详解】 解：由（1）可知，全年需生产类新能源电池箱体为(万件), 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答: 的值为． 21. 如图，四边形为矩形，延长至点E，连接，，，．动点P沿B→E→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时，动点Q沿D→C以每秒0.5个单位长度的速度运动，到达C点时停止运动．设点P，Q的运动时间为x秒，连接，，的面积为，和的面积比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（保留1位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 如图所示； 性质：当时，随的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． （1）根据矩形到现在得到 根据勾股定理得到，当 时，根据三角形的面积公式得到 当，如图，过作 于，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，根据图象叙述性质即可； （3）借助函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解；∵四边形为矩形， ， ， ， 当时， ， ， 当，如图，过作于， ， ， ，即， ， ， 综上所述， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象知，当 时，的取值范围为． 22. 如图，道路与的夹角为，道路与的夹角为．甲、乙两辆测试车同时从点A出发．甲测试车先朝着正东方向行驶一段路程，到达点B后，再沿北偏东方向行驶，到达终点C．乙测试车先沿正北方向行驶至点E，再沿北偏东方向行驶一段路程到达点D，最后沿着方向行驶一段路程，到达终点C．（参考数据：，，，，） （1）求道路的长度（结果保留整数位）； （2）已知甲、乙测试车的平均行驶速度分别为、，哪一辆测试车先到达终点C?请通过计算说明． 【答案】（1）米 （2）甲测试车先到达终点 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键. （1）过点作于点，求出和， 即可得到的长； （2）利用解直角三角形，先分别计算甲、乙检测走过的总路程，再根所它们的速度，得到所用的时间，即可得到结果. 【小问1详解】 解：∵甲车先朝着正东方向行驶到达点后，再沿北偏东方向行驶， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ∵在中， ， ，即， 解得 ， ∵在中， ， ， 解得， ， 答：道路的长度为米； 【小问2详解】 解：甲测试车先到达终点，理由如下： ∵在中，， ， ， ∴甲测试车共行驶， ∵甲测试车的平均行驶速度为， ∴甲测试车所用时间约为， ， ∴ ， 如图，分别作 ∵在中， ， 即，， ， ∵在中，， ， 即， ， 即 ， ， ∴乙测试车共行驶， ∵乙测试车的平均行驶速度为：， ∴乙测试车所用时间约为， ∴甲测试车先到达终点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其中，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为F，交于点E．点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴，垂足为N，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接把，分别代入，得出，即可作答． （2）先求出，再设的解析式为，再求出，然后设，则，整理得，则线段长度取得最大值，且为，再设，则，则，结合勾股定理算出，即可作答． （3）因为将该抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，经过分析把该抛物线向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，新抛物线的解析式为，然后进行分类讨论，即当点在轴下方和点在轴上方，结合二次函数的图象性质，以及运用垂直平分线的性质，一次函数的图象性质，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且，． ∴把，分别代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， ∴二次函数的顶点，对称轴为直线， 令，则， 整理得， ∴， ∵抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）， ∴， 设的解析式为， 则把和分别代入， 得， 解得， ∴， ∵点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为F，交于点E． ∴设，则， ∴ ∵ ∴当时，线段长度取得最大值，且为， 此时把代入中，得， ∴ ∵点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴，垂足为N， ∴设，则， ∴ 如图1，作点D关于轴的对称点，连接，将线段向右平移至线段， 则 ∵ ∴， 则， ∴的最小值为， 则 ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵将该抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，且由（2）得， ∴则设点平移后得到的点的坐标为，其中， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， ∴点平移后得到的点的坐标为， ∵， 则， 将该抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即把该抛物线向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度， 由（2）得， ∴新抛物线的解析式为， ∴当点在轴下方时，如图2， ∵， ∴， 设的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴的解析式为， 设的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴的解析式为， 依题意， ∴， 整理得， ， ∴ ∴ ∴（舍去）， ∴把代入， 得． 即； 当点在轴上方时，如图3， ∵ ∴和的交点在的垂直平分线上， 如图3，作线段的垂直平分线交的延长线于一点，连接，交新的抛物线于一点， 由（1）得，直线表达式，， ∴的中点坐标为， 设的垂直平分线与轴的交点坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设的垂直平分线的解析式， 把代入， 得， 解得， 故的垂直平分线的解析式， 依题意， ∴， 解得， 把代入，得， 即， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴或， 把代入， 得， 把代入， 得（舍去） ∴． 综上所示：满足题意的的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的图象性质，求一次函数、二次函数的解析式，平移规律，勾股定理，垂直平分线的性质，公式法求一元二次方程，配方法求一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 如图，在中，D是边上一点，且．平分，交于点F，，交于点G．平分，交于点H． （1）求证：； （2）如图2，当，时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）当时，连接，若为直角三角形，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2） 解：，理由为： 连接交于点O，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 同理可得， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行得到，然后根据角平分线得到，然后根据同位角相等，两直线平行解答； （2）连接交于点O，连接，先证明是菱形，即可得到，，然后证明，得到，设，然后根据勾股定理和相似三角形的性质求出和长解题即可； （3）先得到是等边三角形，连交于M，然后分为和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， 连交于M， 由（2）可得：，，， ①当时，四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，为直角三角形时，的值为或． 【点睛】本题考查平行先得到性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $