精品解析：广东省东莞市翰林实验学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

东莞市翰林高级中学2024—2025学年第二学期3月月考 高二数学科试题 总分：150分考试 时间：120分钟 制卷人：何方 审核：高二数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在时取得极值，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 4. 函数（）的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 7. 函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么下列结论正确的有（ ） A. B. 在处的切线平行或重合于x轴 C. 切线斜率的最小值为1 D. 11. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极值点的个数为3 B. 函数的单调递减区间为 C. 若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当时，方程有4个不同的实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的导函数___________. 13. 若直线与曲线相切于点，则__________． 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求证： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； （2）若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围. 18. 已知函数的两个极值点之差的绝对值为. （1）求的值； （2）若过原点的直线与曲线在不同于原点的点处相切，求点的坐标. 19. 已知函数. （1）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围； （2）当时，求函数在上的最大值和最小值； （3）当时，对任意的正整数，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市翰林高级中学2024—2025学年第二学期3月月考 高二数学科试题 总分：150分考试 时间：120分钟 制卷人：何方 审核：高二数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 2. 若函数在时取得极值，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，由，解得值，并确定是极值点即可得． 【详解】对函数求导可得，， ∵在时取得极值，所以 此时， 时，，时，，是极值点． 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】求导代入可得，进而求得即可 【详解】，故，解得，故，故 故选：A 4. 函数（）的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，求即可得解. 【详解】（）， 令，解得， 故在上单调递增， 故选：B． 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为R. . 当或时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以排除B，C. 又当时，.所以排除A. 又当时，；当时，. 所以D选项符合. 6. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则； 当时，，而，则； 当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，判断在上的单调性，进而可求最小值. 【详解】，令，因为，解得或， 所以可得函数在和上单调递减，在上单调递增． 因为，所以函数的最小值为． 故选：A． 8. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 【详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇函数的判断方法可先排除C，再根据函数导数在上的符号逐项判断ABD. 【详解】易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C； 对于A，，所以在上单调递增； 对于B，（不恒为零） ，所以在上单调递增； 对于D，，所以在上单调递减． 故选：AB． 10. 已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么下列结论正确的有（ ） A. B. 在处的切线平行或重合于x轴 C. 切线斜率的最小值为1 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由导数的概念对选项逐一判断 【详解】由题意函数图象上任一点处的切线方程为 ， 可得， 对于A，，A正确; 对于B，当时，，故在处的切线平行或重合于x轴，B正确; 对于C，，最小值为，故C错误 对于D，，D错误 故选：AB 11. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极值点的个数为3 B. 函数的单调递减区间为 C. 若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当时，方程有4个不同的实根 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：由的图象可知，当时，，再由导函数的符号可判断； 对于B：由图象得当时，，当时，，根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可判断； 对于C：由时，函数的最大值是2可判断； 对于D：作出函数的大致图象可判断． 【详解】解：对于A：由的图象可知，当时，，且当时，，当时，，当时，，当时，，所以0，2，4是函数的极值点，故A选项正确； 对于B：由导函数的正负与函数之间的关系可知，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，故B选项错误； 对于C：当时，函数的最大值是2，而的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数的大致图象如图所示，当时，直线与函数的图象有4个交点，故D选项正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的导函数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解 【详解】 故答案为： 13. 若直线与曲线相切于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得到关于，的方程，当时，导函数的值为，联立解方程即可． 【详解】直线与曲线相切于点， 则，故． 又，当时，，所以，则． 故答案为：3 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解 【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号， 又，令，则有两个不同的实数根， 令，则， 令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增. 且当时，当时，且，， 故作出图象. 可得当有两根时 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求证： （1）； （2）. 【答案】（1） 令，则， 当时，；当时，, 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以. （2） 令，则， 当时，；当时，, 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）令，利用导数研究其单调性与最值即可证明； （2）令，利用导数研究其单调性与最值即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； （2）若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）,的值为; （2）. 【解析】 【分析】（1）令可求出定点的坐标，由导数的几何意义可得，根据两直线平行对应的斜率相等列方程可求实数的值； （2）由题意可得有解，分离参数即可求解. 【小问1详解】 令，可得， 所以函数的图象恒过定点. 因为，所以. 因为在定点处的切线方程与直线平行，且直线的斜率为， 所以，解得. 验证，点不在直线上，故成立. 所以定点的坐标为，的值为. 【小问2详解】 ，直线的斜率为， 若函数的图象存在与直线垂直的切线， 所以有解，即有解. 因为，所以，即， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值； （2）“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【详解】解：由题意可知函数的定义域为R. （1）因为. 所以， 由，得，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为. （2）因为， 所以为一个零点. 所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”. 令，则， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，有最小值，时，，时，. 若方程有两个非零实根，则，即. 若，方程只有一个非零实根， 所以. 综上，. 【点睛】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 18. 已知函数的两个极值点之差的绝对值为. （1）求的值； （2）若过原点的直线与曲线在不同于原点的点处相切，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可； （2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标. 【详解】由可得： 设的两根分别为，， 则，， 由题意可知：，即， 所以解得：， 当时，， 由可得或， 由可得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意， 所以. （2）由（1）知，， 设，则， 由题意可得：， 即，整理可得： ， 解得：或， 因为即为坐标原点，不符合题意，所以， 则， 所以. 19. 已知函数. （1）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围； （2）当时，求函数在上的最大值和最小值； （3）当时，对任意的正整数，求证：. 【答案】（1）； （2）最大值，最小值0； （3） 当时，由（1）知，在是增函数. 当时，令，则， 即. 【解析】 【分析】（1）求导，根据对恒成立，即可由求解, （2）根据函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值， （3）利用（1）的结论，结合可得. 【小问1详解】 由已知：， 依题意：对恒成立，因为， ，对恒成立，即，对恒成立， 即. 【小问2详解】 当时，， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增， 故是函数在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点， 故. 又，则， ， ， 在上最大值是， 在上最大值为，最小值为0. 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $