江苏省南京市2025年中考数学二模练习卷

江苏省南京市2025年中考二模练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在实数，0，， ，中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 3．有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，与相交于点，和关于直线对称，点的对称点分别是点．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 6．某校有11名同学参加“数学史知识”比赛，预赛成绩各不相同，已知前6名能进入决赛，小敏知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这11名同学成绩的（　　） A．最高分 B．中位数 C．众数 D．平均数 7．如图，在矩形中，以中点E为圆心，长为半径作半圆交于点F，以点F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G．若．则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 2 5 6 … … 4 1 4 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．关于的一元二次方程有两个不等的实数根 B． C．该二次函数有最大值 D．当时，的值随值的增大而增大 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．已知，则 ． 10．在1至100这100个数中，随意抽出1个数，它是2的倍数的可能性 它是5的倍数的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． 11．若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 12．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 ． 13．如图，点是菱形的对称中心，连接、，，，为过点的一条直线，点、分别在、上，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为 ．    15．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为8，底面周长为30，在盒子外壁离上沿3的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部3的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 16．如图，是外接圆的直径，，，则的值为 ． 17．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 18．定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共10题，第19－22每题8分，第23－26每题10分，第27，28题12分，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．学校自从开展智慧阅读活动以来，同学们的阅读兴趣大大提高，学校图书馆的图书借阅量也大大增加，10月份共借出图书840本．具体情况见统计图． (1)10月份借出的寓言书占所有借出图书的百分之几？ (2)10月份借出的诗歌比科技书少多少本？ (3)10月份借出的童话书比漫画书少百分之几？ 22．一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“西”“安”．除汉字不同之外，卡片没有任何区别． (1)若从中任取一张卡片，卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为_____________； (2)若从中任取两张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的概率． 23．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 24．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 25．如图，在中，．    (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积． 26．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 27．定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点D的位置，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点D，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点，据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具㡂热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点P在边上，点Q在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点Q的位置（即的长度）． 28．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省南京市2025年中考二模练习卷解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共25分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在实数，0，， ，中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：在实数，0，， ，中，是无理数的有：，，， ∴无理数的有个， 故选：B． 2．若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：关于x，y的单项式与的和是单项式， ， ∴． 故选：B． 3．有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键． 根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示． 【详解】解：从上面可看，左上有一条横向的实线． ∴俯视图是：， 故选：C． 4．如图，与相交于点，和关于直线对称，点的对称点分别是点．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B选项，根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D，根据可判断C选项，而A选项不一定成立． 【详解】解：如图，连接， 由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴B、C、D选项正确，不符合题意， 而不一定与垂直， 故选：A． 5．估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先由得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：B 6．某校有11名同学参加“数学史知识”比赛，预赛成绩各不相同，已知前6名能进入决赛，小敏知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这11名同学成绩的（　　） A．最高分 B．中位数 C．众数 D．平均数 【答案】B 【知识点】运用中位数做决策、运用方差做决策、运用众数做决策 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是根据中位数的定义来进行解答． 由于有11名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小． 【详解】解：共有11名学生参加预赛，取前6名，所以小敏需要知道自己的成绩是否进入前6． 我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第6名的成绩是这组数据的中位数， 所以小敏知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛． 故选：B． 7．如图，在矩形中，以中点E为圆心，长为半径作半圆交于点F，以点F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G．若．则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、， 由题意易知是等边三角形， ． 故选：D． 8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 2 5 6 … … 4 1 4 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．关于的一元二次方程有两个不等的实数根 B． C．该二次函数有最大值 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格中给出的对应值的特征分析即可． 【详解】解：A、由可得，当时对应的和，即可得到关于的一元二次方程有两个不等的实数根，选项结论正确，符合题意； B、由表格可得，当时，选项结论错误，不符合题意； C、由表格可以发现，随着的增大，抛物线的值先减小再增加，则抛物线开口向上，有最小值，选项结论错误，不符合题意； B、由表格可得，抛物线过和，则对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，选项结论错误，不符合题意； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．已知，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、积的乘方的逆用 【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得、b的值，然后将转化为的形式可求得．本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出、b的值． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：． 10．在1至100这100个数中，随意抽出1个数，它是2的倍数的可能性 它是5的倍数的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】大于 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了事件发生可能性的大小，理解随件事件发生的概率是关键． 根据随机事件概率的大小判定即可求解． 【详解】解：1到10之间是2的倍数的有：，共5个，是5的倍数的有，共2个， 同理，11到20之间是2的倍数的有：，共5个，是5的倍数的有，共2个， ， ∴在1至100这100个数中，随意抽出1个数，它是2的倍数的共有个，是5的倍数的共有个， ∴是2的倍数的概率为，是5的倍数的概率为， ∵， ∴它是2的倍数的可能性大于它是5的倍数的可能性， 故答案为：大于 ． 11．若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：． 12．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵正方形   ∴ ∵点E在反比例函数图象上，且点E的纵坐标为3， ∴． 故答案为：． 13．如图，点是菱形的对称中心，连接、，，，为过点的一条直线，点、分别在、上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， 点是菱形的对称中心， ，是与的交点， ，， ，, 为过点的一条直线， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 14．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为 ．    【答案】20 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 15．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为8，底面周长为30，在盒子外壁离上沿3的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部3的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】17 【知识点】几何体展开图的认识、根据矩形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确理解题意是解题关键．作圆柱体的侧面展开图，过点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，则的长度即为蚂蚁爬行的最短距离；证明四边形为矩形，易得，，进一步可得，然后利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，则的长度即为所求， 根据题意，圆柱形盒子高为8，底面周长为30，在盒子外壁离上沿3的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部3的点B处有一滴蜂蜜， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即蚂蚁爬行的最短距离为17． 故答案为：17． 16．如图，是外接圆的直径，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】由直径所对的原周角是90度得出，同弧所对的圆周角相等可得出，进而可求出，再根据勾股定理得出，最后比较即可． 【详解】解：∵是外接圆的直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的原周角是90度，勾股定理，解直角三角形的相关计算，掌握这些知识是解题的关键． 17．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、同弧或等弧所对的圆周角相等、四点共圆 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识点，正确作出辅助线、发现点E的轨迹是解题的关键． 如图：过C作于H，由勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得、、，即为等腰直角三角形；如图：取的中点O，连接，易证点C、D、H、E四点共圆，根据圆周角定理可得，进而得到点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l以及，最后根据垂线段最短以及勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：过C作于H， ∵， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， 如图：取的中点O，连接， ∴， ∴点C、D、H、E四点共圆， ∵， ∴， ∴点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l， ∴ 当时，取最小值，则， ∴， ∴． 故答案为：． 18．定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10题，第19－22每题8分，第23－26每题10分，第27，28题12分，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、零指数幂 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式，积的乘方逆用，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 根据完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 21．学校自从开展智慧阅读活动以来，同学们的阅读兴趣大大提高，学校图书馆的图书借阅量也大大增加，10月份共借出图书840本．具体情况见统计图． (1)10月份借出的寓言书占所有借出图书的百分之几？ (2)10月份借出的诗歌比科技书少多少本？ (3)10月份借出的童话书比漫画书少百分之几？ 【答案】(1) (2)168本 (3) 【知识点】百分数的其他问题、扇形统计图 【分析】本题考查百分数的应用，扇形统计图，理解题意是解决问题的关键． （1）扇形统计图中各部分百分比之和为，减去其余已知百分比即可求解； （2）先分别算出10月份借出的诗歌和科技书的数量，再用科技书的数量减去诗歌的数量即可求解； （3）先算出童话书比漫画书少的百分比，即（漫画书的百分比童话书的百分比），再用少的百分比除以漫画书的百分比 【详解】（1）解：， 答：10月份借出的寓言书占所有借出图书的； （2）10月份借出的诗歌：（本）， 科技书（本）， （本）， 答：10月份借出的诗歌比科技书少168本； （3） ， 答：10月份借出的童话书比漫画书少． 22．一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“西”“安”．除汉字不同之外，卡片没有任何区别． (1)若从中任取一张卡片，卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为_____________； (2)若从中任取两张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种， 卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为 （2）解：列表如下： 活 力 西 安 活 活，力 活，西 活，安 力 力，活 力，西 力，安 西 西，活 西，力 西，安 安 安，活 安，力 安，西 共有12种等可能的结果，其中取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的结果有：西，安，安，西，共2种， 取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的概率为 ． 23．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 24．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 25．如图，在中，．    (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、切线的性质定理、求扇形面积 【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作，即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交于点，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，是的切线， ∴， ∴， 则， 解得：， 如图所示，设交于点，连接，    ∵， ∴是等边三角形， 如图所示，过点作于点，    ∴ ∴ 在中，, ∴, ∴，则， ∴与重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 27．定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点D的位置，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点D，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点，据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具㡂热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点P在边上，点Q在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点Q的位置（即的长度）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义画图即可； （2）如图，延长到E，使得，连接，首先证明出，得到，，然后等量代换即可证明平分； （3）首先勾股定理求出，然后分4种情况讨论，然后分别根据勾股定理和相似三角形求解即可． 【详解】解：（1）点D的位置如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一，画出一个即可） （2）证明：如图，延长到E，使得，连接， ，， ， 在和中，，，， ， ，， ， ， 平分； （3），，， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ． ①当时，如图1，连接， ∴， ， ∵ ∴由勾股定理可得， ∴， 解得； ②当时，如图2，连接， ，， ， ，即， 解得， ； ③当时，如图3，连接， ，， ， ，故不符合题意，舍去； ④当时，如图3，同理可得，不符合题意，舍去． 综上，的长为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 28．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点． 【答案】(1) (2)线段的最大值为，此时点P的坐标为 (3)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点，代入中，得二元一次方程，解方程即可； （2）过点P作轴交于点N，求出，则当最大时，也最大，用待定系数法求出直线的表达式为，设，，得，利用二次函数的性质求最值，进而可得答案； （3）根据二次函数平移的性质得拋物线的表达式为，令，，利用待定系求法求出直线的表达式为，再根据直线过点得，依次求得直线、、的解析式，当时，，即可得出结论． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点N， 在中，令得， 点C的坐标为， 点B的坐标为， ， ， 轴， ， ， ， 则当最大时，也最大， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， 设，， ， 当时，最大，最大为， 则， 线段的最大值为，此时点P的坐标为； （3）证明：， 将抛物线平移后得到拋物线的表达式为，如图所示， 令，， 设直线的表达式为， 把，两点代入， 得， 解得， 则直线的表达式为， 直线过点， ， ， 点D在抛物线上，且其横坐标为， ， 由（2）知，得直线的表达式为， ，且， 直线的表达式为， 当时， 解得（舍去），， ， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， ， 直线的表达式为， 当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平移的性质，一次函数的性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$