精品解析：江西省南昌市新民外语学校2025届高三下学期适应性考试（一）数学试题

新民学校2025届高三适应性考试（一） 数学试卷 命题： 审题：高三数学组 一．选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】由和的图象，可知， ， 又， . 故选：D. 2. 若复数的实部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设，其中，，根据复数的除法法则和复数相等即可求解. 【详解】设，其中，， 则. 又， ∴，解得，∴. 故选：C. 3. 若函数（且）是偶函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】，则， 由于是偶函数，故对恒成立， 故，所以， 故选：D 4. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，再根据，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 5. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立， 参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可. 【详解】由函数，得， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即，等价于恒成立， 令，则， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 7. 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得米斗的高与的关系，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设该米斗的高为，米斗的侧棱与下底面所成角为，则， ， 解得． 故选：B 8. 已知双曲线右焦点为，过点作互相垂直的直线、，与的右支交于、两点，，若与的左支交于点，且、、三点共线（是坐标原点），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，设点为双曲线的左焦点，不妨设，则，由双曲线的定义可得，，由勾股定理得，可得出，再由勾股定理可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设点为双曲线的左焦点，不妨设，则， 由双曲线的定义可得，， 易知为的中点，由双曲线的对称性可知为的中点， 故四边形为平行四边形， 因为，故四边形为矩形，则， 由勾股定理可得，即， 解得，故，， 又因为，由勾股定理可得，即， 整理可得，故该双曲线的离心率为. 故选：D. 二．选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最大值，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由向量垂直数量积为0建立等式，解得的值；B选项，由向量平行坐标交叉相乘相等建立等式，求得的值；C选项，列出，由三角函数得到最大值点，即求得的值；D选项，将的值代入，由投影向量的公式即可求得结果. 【详解】对于A，若，则，则，解得，所以A正确； 对于B，若，则，所以，解得，所以B正确； 对于C，， 当，即时，取最大值，所以C错误； 对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（ ） A. B. C. D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知及正态分布的性质依次判断各项的正误. 【详解】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误； 由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确； 如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误， 故选：AC 11. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式，结合分式型函数的性质判断、的值域判断A；首先得到，再对其求和判断B；由、都关于对称即可判断C；根据函数的单调性有恒成立，再应用基本不等式求左侧最小值，即可求参数范围判断D. 【详解】对于A，因为， 所以在上为增函数，且的值域为， 又，所以，故正确； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为，所以， 由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， 则方程的所有实根之和为0，故错误； 对于D，易知为增函数， 由题得， 即，而，当且仅当时等号成立， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是，故正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据函数的图象和的图象关于点对称进行求解. 三．填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上. 12. 若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】求出第75百分位数，然后由二项式定理求解． 【详解】已知数据从小到大排列为：，共8个，， 第6个数是3，第7个数是9， ，所以， 展开式中的系数为， 故答案为：80. 13. 已知，均为锐角，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和两角和差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，均为锐角，所以， 由，得，所以， 由，得，所以， 所以，解得， 所以，故， 故答案为： 14. 某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要______辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：） 【答案】4 【解析】 【分析】根据对立事件的概率之间的关系列式，再利用对数的运算性质求解. 【详解】设至少需要辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁． 则. 所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹. 故答案为：4 四．解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由切点和导数的几何意义得到切线斜率，结合点斜式方程得出结果； （2）问题转化成的恒成立问题，可分离参数处理. 【小问1详解】 当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ，由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． 16. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、三角形的面积公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由（1）可得出的值，结合正弦定理可求得的知，结合已知条件求出的值，由此可求出的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可得，即， 因为，即，所以， 因为，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 由（1）可得，可得， 所以，，则，故， 因为，所以， 故， 因此，的周长为. 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率求得，将代入椭圆方程得，即可求解椭圆方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，求得，然后利用基本不等式求解最值，即可求解，进而求解直线方程. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，则，解得. 又因为在椭圆上，代入方程得， 又因为，可得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，设直线的方程为， 联立，得， 设，， 则，， ， 当且仅当即时取等号． 故所求直线的方程为或． 18. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角（锐角）的余弦值. 【答案】（1） 连接，因为平面平面， 所以，又，所以. 在中，由， 所以，解得， 则，即. 因为平面平面，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直得到线线垂直，结合余弦定理，求得，利用勾股定理可得，再利用线面垂直的判定定理，可得平面，即可得到线线垂直； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由，可得，则， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则由得， 令，得. 设平面的法向量为， 则由得， 令，得. 设平面与平面的夹角为，则. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，． （1）求，，； （2）设． （i）求数列的通项公式， （ii）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，直接求解； （2）由题意可得，得出，利用相加相消法求和即可得解. 【小问1详解】 依题意可得：表示所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数， 因为与互质的数为，所以； 因为与互质的数为，，所以； 因为与互质的数为，，所以． 【小问2详解】 （i）因为中与互质的正整数只有奇数，所以中与互质的正整数个数为，所以，所以． （ii）因为， 所以， ， 所以． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据数列新定义，找到项之间的规律，从而求出通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025届高三适应性考试（一） 数学试卷 命题： 审题：高三数学组 一．选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的实部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数（且）是偶函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知双曲线右焦点为，过点作互相垂直的直线、，与的右支交于、两点，，若与的左支交于点，且、、三点共线（是坐标原点），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最大值，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（ ） A. B. C. D. ， 11. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 三．填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上. 12. 若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为______. 13. 已知，均为锐角，，，则_____________. 14. 某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要______辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：） 四．解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 16. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角（锐角）的余弦值. 19. 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，． （1）求，，； （2）设． （i）求数列的通项公式， （ii）设，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $