精品解析：甘肃省武威第十八中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

武威第十八中学2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 的值等于 A. B. C. D. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 则下列结论正确的为（ ） A. 这位同学成绩的中位数是 B. 这位同学成绩的平均数是 C. 这位同学成绩的第百分位数是 D. 若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A. 的图象的一条对称轴是直线 B. 的图象的一条对称轴是直线 C. 方程有3个解 D. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12. 为定义在上的奇函数，当时，，则时，______． 13. 函数的单调递增区间为 _______． 14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据）_______________ 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）计算：． （2）已知角是第二象限角，且，求的值. 16. 从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 （1）根据上表补全所示的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 17. 已知函数图像的一部分如图所示. （1）求函数的解析式； （2）令，其中，求函数的值域. 18. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数只满足下列三个条件中的两个：①图象上的一个最高点坐标为；②的图象可由的图象平移得到；③图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威第十八中学2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦恩图以及交集、并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】是非空集合，阴影部分表示的集合是， ，，， ，则或 故选：D 2. 的值等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所给的角化成含有的整数倍的运算，再利用终边相同的角的三角函数值的关系求得值. 【详解】．故选C． 【点睛】本题考查将角的转化和诱导公式，属于基础题. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以． 故选：B 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 5. 已知集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，B，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】集合， ，显然集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【详解】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 7. 已知，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用可得，再利用二倍角公式可以求，进而可得的值. 【详解】因为为锐角，即，所以 又因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：C 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系，考查了正弦的二倍角公式，以及诱导公式，属于基础题. 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 则下列结论正确的为（ ） A. 这位同学成绩的中位数是 B. 这位同学成绩的平均数是 C. 这位同学成绩的第百分位数是 D. 若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变 【答案】BC 【解析】 【分析】ABC选项，根据中位数，平均数和百分位数的定义进行求解；D选项，计算出去掉戊的成绩的方差和不去掉戊的成绩的方差，比较后得到结论. 【详解】A选项，将5位同学的成绩从小到大排列，得到， 则这位同学成绩的中位数为76，A错误； B选项，这位同学成绩的平均数为，B正确； C选项，，故从小到大，选取第4个数作为第百分位数，即80，C正确； D选项，五个人的成绩方差为 ， 若去掉戊的成绩，剩下4个人的成绩方差为 ，故D错误. 故选：BC 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A逆用差角正弦公式求值；B诱导公式、倍角正弦公式化简求值；C和角正切公式化简求值；D倍角余弦公式化简. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A. 的图象的一条对称轴是直线 B. 的图象的一条对称轴是直线 C. 方程有3个解 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确. 由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误. 则，所以，即有， 所以是周期为的周期函数. 当时，， 画出、的大致图象如下图所示， 由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点， 则有3个解，C选项正确. ， ，所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等，可以根据给定的函数表达式来确定，如本题中，是偶函数，图象关于轴对称，而是由向左平移个单位得到，所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称，由关于点对称，可以考虑函数具有周期性. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12. 为定义在上的奇函数，当时，，则时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由时，得到，从而，再利用为定义在上的奇函数求解. 【详解】解：当时，， 则， 因为为定义在上的奇函数， 所以． 故答案为： 13. 函数的单调递增区间为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析的定义域，然后根据复合函数的单调性判断方法求解出的单调递增区间. 【详解】因为，解得，所以定义域为， 令，对称轴为，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可知：的单调递增区间为， 故答案为：． 14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据）_______________ 【答案】8.92平方米 【解析】 【分析】根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解. 【详解】因为圆心角为，弧长等于，所以圆的半径， 如图，在中，所以，， 所以矢，则弦， 所以弧田面积弦矢矢平方米． 故答案为：8.92平方米 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）计算：． （2）已知角是第二象限角，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）应用对数运算律结合指数幂运算计算求解； （2）先应用已知化简得出，再结合诱导公式结合弦化切计算求解. 【详解】（1）解： . （2），则， . 16. 从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 （1）根据上表补全所示的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【答案】（1） （2）平均数为，方差为，中位数为99.7； （3）不能认为 【解析】 【分析】（1）由图表绘制直方图即可； （2）根据直方图，结合平均数、中位数的概念求值； （3）根据质量指标值不低于95的产品所占比例说明即可. 【小问1详解】 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 则频率分布直方图如下图所示： 【小问2详解】 质量指标值的样本平均数为： ， 质量指标值的样本方差为： ， ∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104． 第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38， ∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5， ∴中位数落在第三组内，设中位数为x， 则，解得， 因此，中位数为99.7； 【小问3详解】 质量指标值不低于95的产品所占比例约为， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． 17. 已知函数图像的一部分如图所示. （1）求函数的解析式； （2）令，其中，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据图象最高点求出，再根据图象所过点求出，可得函数解析式； （2）先化简，再求解的值域. 【小问1详解】 由图象易求. 将点代入中，得. 因为，所以. 又因为对应五点法作图中的第五个点，所以. 故. 【小问2详解】 . 因为，所以，； 于是的最大值是，最小值是. 故函数的值域是. 18. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明：设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 19. 已知函数只满足下列三个条件中的两个：①图象上的一个最高点坐标为；②的图象可由的图象平移得到；③图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围，并求的值． 【答案】（1） （2）的取值范围是， 【解析】 【分析】（1）先选出两个不相互矛盾的条件，再去求的解析式即可； （2）先求得的解析式，再依据函数图象对称性去求的取值范围和的值． 【小问1详解】 函数满足的条件为①③．理由如下： 若满足条件①，则； 若满足条件②，则，，所以①②相互矛盾； 若满足条件③．则，所以，所以②③也相互矛盾， 所以满足的两个条件只能为①③． 此时，，． 因为图象上的一个最高点的坐标为． 所以，解得． 因为，所以，故． 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度后， 得到函数，的图象． 所以． 当即时，单调递增； 当即时，单调递减． ，，． 因为方程在上有两个不相等的实数根． 所以的取值范围是． 此时，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $