精品解析：四川省眉山市眉山中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试题 本试卷19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，且，则x＝（　　）. A. 8 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直得到方程，求出的值. 【详解】由题意得：，解得：. 故选：A 2. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦切互化可得，即可利用二倍角公式求解. 【详解】由可得，故， 所以， 故选：A 3. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A. 考点：向量运算及相关概念. 4. 已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是. A. 图象关于点中心对称 B. 图象关于轴对称 C. 在单调递减 D. 在区间单调递增 【答案】D 【解析】 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为．对于A，当时，．图象不关于点中心对称，∴A不正确；对于B，当时，，图象不关于轴对称，∴B不正确；对于C，的周期是．当时，函数取得最大值，∴在单调递减不正确，∴C不正确；的周期是．当时，函数取得最大值，时，函数取得最小值，∵，∴在区间单调递增，∴D正确 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数. 5. 在中，三个内角所对的边为，若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正余弦定理进行边化角可求得，再运用三角形的面积公式求得，利用余弦定理可求得答案． 【详解】解：因为，所以，又，所以． 因为＝，所以． 因为， 所以＝， 所以， 故选：B． 6. 如图，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据余弦定理得到，再利用四边形OPDC面积结合三角函数的性质即可求解. 【详解】设， 在中，由余弦定理得：， 所以四边形OPDC面积 因为，所以， 所以当，即时，四边形OPDC面积的最大值为 . 故选：D 7. 如图，函数（，，）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为，Q，R，且线段RQ的中点M的坐标为，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段RQ的中点M的坐标求出Q，R的坐标，求出周期,写出的解析式，计算的值即可. 【详解】设， 线段的中点的坐标为, ，解得， ，解得， 当时， 根据五点法画图，令，解得， 因为，所以， 所以，解得， . . 故选：A 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 二、多选题本题共3小题：每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分. 9. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据向量线性运算求解判断；对B，根据向量的数量积及运算律和模的计算判断；对C，由向量数量积及运算律求解判断；对D，由向量投影的定义求解判断. 【详解】如图： 对于A，，故A错误； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 10. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则是等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定. 【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确； 对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误； 对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得 又，所以，故，所以D正确. 故选：BD 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果. 【详解】由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误； 过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则 ，故B项正确； 因为G是三角形ABC的重心，所以有，故， 由欧拉线定理可得，故C项正确； 如图（2），由可得，即，则有，D项正确， 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用且与不共线求解. 【详解】，，则， 因与的夹角为锐角，则，得， 当时，，得，此时与同向， 则实数的取值范围是. 故答案为： 13. 在边长为的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得，然后以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，其中，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以，， 因为，故， 以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， ，， 所以， 因为，函数在上单调递减， 故，即， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围. 【详解】由于，所以， 由正弦定理得， 所以，， 所以 . 当，即时，，没有最大值，所以， 则，其中， 要使有最大值，则要能取，由于， 所以，所以，即，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，. （1）求角的大小； （2）若的最长边的边长为，求最短边的边长. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由两角和的正切公式求出，即可求出，从而得解； （2）首先判断最短边为，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由正弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以. 因为，所以，因此. 【小问2详解】 因为，且、均为锐角，所以， 又由于是钝角，所以最长边为，最短边为， 由，解得或（舍去）， 又，由正弦定理，所以. 16. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，然后结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 因为，则， 所以，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，可得， 所以，，则， 故， 因此，周长的取值范围是. 17. 某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点在地面上的投影位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30 m的，两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据. 方案一：从，两点分别测得点的仰角和，再从点测得.其中，，. 方案二：从点处测得，从点处测得和点的仰角.其中，，. 方案三：从点处分别测得点和的俯角和，以及.其中，，. 从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度的方案，并根据该方案中的数据计算出的长.（注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.） 【答案】 选择方案二，三，均有.选择方案一，不能唯一确定的值. 【解析】 【分析】选择方案二：首先求出，由正弦定理求出，再由锐角三角函数求出； 选择方案三：设，表示出，，再在中利用余弦定理计算可得； 若选择方案一：首先求出，设，表示出，，由正弦定理求出，即可得到有两种可能取值，即可判断. 【详解】选择方案二，则， . 由于， 所以 . 在中，由正弦定理可得， 因此， 从而. 选择方案三：设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即，解得（舍去负根）. 所以. 如果选择方案一，因为，所以， 设，则，. 由正弦定理计算可得， 则有两种可能取值， 所以， 故不能唯一确定的值. 【点睛】 18. 如图，已知中，，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点. （1）设，求和的值； （2）求线段的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）根据数量积的运算律求出，即可求出，连结，根据角平分线的性质求出. 【小问1详解】 由于是的平分线，所以， 因此，从而， 由平面向量基本定理可得，. 【小问2详解】 由（1）可知. 由题意，，. 由得， 即，所以. 因此，即， 又，，所以， 连结，则是的平分线，因此，从而. 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出即得； （2）先求出函数在R上的单调递增区间，再与给定区间求交即得； （3）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，将函数化成，，判断其单调性即得，从而求得参数范围. 【小问1详解】 依题， 由题知，，. 【小问2详解】 由可得 ，， 时，的单调递增区间为，． 【小问3详解】 因在恒成立， 则 化简得， 即在恒成立 记， ，，， 又 设，则根据对勾函数性质知在上单调递增， ， ，即. 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于难题.解决此类题的关键是，根据解析式特点进行三角恒等变换，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象解决问题；对于恒成立问题，常常寻求参变分离法，将不等式恒成立问题转化为求对应函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试题 本试卷19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，且，则x＝（　　）. A. 8 B. 2 C. 4 D. 2. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 4. 已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是. A. 图象关于点中心对称 B. 图象关于轴对称 C. 在单调递减 D. 在区间单调递增 5. 在中，三个内角所对的边为，若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，函数（，，）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为，Q，R，且线段RQ的中点M的坐标为，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. D. 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题本题共3小题：每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分. 9. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 10. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则是等腰三角形 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 13. 在边长为的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是___________. 14. 在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，. （1）求角的大小； （2）若的最长边的边长为，求最短边的边长. 16. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围． 17. 某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点在地面上的投影位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30 m的，两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据. 方案一：从，两点分别测得点的仰角和，再从点测得.其中，，. 方案二：从点处测得，从点处测得和点的仰角.其中，，. 方案三：从点处分别测得点和的俯角和，以及.其中，，. 从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度的方案，并根据该方案中的数据计算出的长.（注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.） 18. 如图，已知中，，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点. （1）设，求和的值； （2）求线段的长. 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $