精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年九年级下学期学业水平模拟考试数学试题

萍乡市2025年九年级学业水平模拟考试 数学试卷 说明： 1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图中的菱形可以看成是把菱形以A为旋转中心，（ ） A. 顺时针旋转得到 B. 顺时针旋转得到 C. 逆时针旋转得到 D. 逆时针旋转得到 5. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，E为矩形边上一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是（　　） A. B. 当时，是等腰三角形 C. D. 当时， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上） 7. 地球的海洋面积为361000000km2，数字361000000用科学记数法表示为________． 8. 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，若图形3中的一条直角边为，那么整个七巧板所组成的正方形面积为_____． 9. 关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是_____． 10. 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是________． 11. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元． 12. 已知等边的顶点坐标，，点在轴上方，是所在平面上的点，若，，都是等腰三角形，且这3个等腰三角形中恰好有2个的面积等于4，则点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在平行四边形中，，为的中点，求证：平分． 14. 先化简，再求值：，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数． 15. 如图，点E是正方形ABCD内一点，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出边BC的中点； （2）在图2中，作出边CD的中点． 16. 甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队． （1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率． 17. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 19. 如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为1，． （1）求k的值； （2）若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式； （3）在（2）条件下，直接写出当x为何值时？ 20. 图1是某款益智类玩具的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点，，处可转动，，，转动时始终与平行． （1）当转动到如图2形状时，请直接写出，，之间的数量关系； （2）若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆上，，过D作DE⊥BC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线. （2）若DE＝2CE＝4，求⊙O的半径． 22. 如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； （3）在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2025年九年级学业水平模拟考试 数学试卷 说明： 1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据左视图进行观察即可得到答案． 【详解】解：左视图为， 故选：B． 3. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算以及完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算以及完全平方公式，本题属于基础题型． 4. 如图，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图中的菱形可以看成是把菱形以A为旋转中心，（ ） A. 顺时针旋转得到 B. 顺时针旋转得到 C. 逆时针旋转得到 D. 逆时针旋转得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、旋转变换，确定旋转中心和旋转角度是解题的关键．根据边三角形的性质可得，确定旋转中心和旋转角度即可． 【详解】解：图中的小三角形均是全等的等边三角形， ， ， 菱形可以看成是把菱形以A为旋转中心，逆时针旋转得到． 故选：D． 5. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的解集，理解一元一次不等式组解集的定义是正确解答的关键． 根据一元一次不等式组解集的定义进行解答即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是． 故选：D． 6. 如图1，E为矩形边上一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是（　　） A. B. 当时，是等腰三角形 C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的意义，当时，，当时，y是定值，故Q运动停止了，故，继而得到，过点P作于点H，连接，求得三边长，得到，然后过点P作于点G，根据题意，得，，解答即可． 【详解】解：点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是． 故， 根据题意，得当时，， 当时，y是定值， 故Q运动停止了， 故， 根据题意，得即， 解得， ∵矩形， ∴，，， ∴，， 故A错误； 当时，， 故，， 如图所示，过点P作于点H，连接, 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴不是等腰三角形； 故B错误； ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； 如图所示，过点P作于点G， 根据题意，得， 故， 故D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上） 7. 地球的海洋面积为361000000km2，数字361000000用科学记数法表示为________． 【答案】3.61×108． 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】361 000 000将小数点向左移8位得到3.61， 所以361 000 000用科学记数法表示为：3.61×108， 故答案为：3.61×108． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8. 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，若图形3中的一条直角边为，那么整个七巧板所组成的正方形面积为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据图形可得图形4中正方形的边长为，图形5中腰直角三角形的一条直角边为，可得图形7中腰直角三角形的一条直角边的长，据此即可求得． 【详解】解：图形3中的等腰直角三角形的一条直角边为， 图形4中正方形的边长为， 图形5中腰直角三角形的一条直角边为， 图形7中腰直角三角形的一条直角边为， 图形7中腰直角三角形斜边长的平方，即整个七巧板所组成的正方形面积为： ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了有关七巧板的运算，即无理数的加法，勾股定理，求正方形的面积，结合题意和图形，得到图形7中腰直角三角形的边长是解决本题的关键． 9. 关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的一个根，求参数的值以及另一个根，将已知根代入到一元二次方程是解题的关键．将一元二次方程已知的根代入到一元二次方程中，可求得的值，将的值代入一元二次方程解方程，即可求得另一个根． 【详解】解：的一元二次方程的一个根为， ， ， 方程为， 用因式分解法可得， 或， ，， 另一个根是． 故答案为：． 10. 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是________． 【答案】##85度 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为90度可得，进而求出，，再根据同弧所对的圆周角相等求出，进而即可求解． 【详解】解：是的内接三角形，是的直径， ， 又， ， 是的平分线， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为90度，同弧所对的圆周角相等． 11. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元． 【答案】210． 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决． 【详解】设当时，对应的函数解析式为， ，得， 即当时，对应的函数解析式为， 当时，， 由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，需要缴费：（元）， （元）， 即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元， 故答案为210． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 12. 已知等边的顶点坐标，，点在轴上方，是所在平面上的点，若，，都是等腰三角形，且这3个等腰三角形中恰好有2个的面积等于4，则点的坐标为_____． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形与等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握运用分类讨论的思想解决问题，分为三种情况：当和的面积为4时，当和的面积为4时，当和的面积为4时，分别讨论求解即可． 【详解】解：，， ， 是等边三角形， ， 如图，当和的面积为4时，则到的距离为2， 过点作，交直线于点，过点作轴， 是等边三角形， 是的垂直平分线， 此时，，， 是等腰三角形， 若，都是等腰三角形，则， ， ， ； 如图，当和的面积为4时， 同理可得：， 如图，当和的面积为4时， 过点作，延长到点，使得，连接，此时和是等腰三角形， 是等边三角形， 是的垂直平分线， ，， 是等腰三角形，， ，，， 和的面积恰好为， ， 如图， 同理可得，，, , 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在平行四边形中，，为的中点，求证：平分． 【答案】（1）2； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据题意证得，也考查了实数的运算． （1）由二次根式的性质、负指数幂的定义以及绝对值的性质分别进行计算即可； （2）利用平行四边形的性质证得，利用等边对等角证得，从而得到，最后得到结论平分． 【详解】解：（1）原式 ； （2）略 14. 先化简，再求值：，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数． 【答案】，取时，原式= 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的数代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的混合运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 15. 如图，点E是正方形ABCD内一点，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出边BC的中点； （2）在图2中，作出边CD的中点． 【答案】（1） 如图所示，点F即为所求； （2） 如图所示，点H即为所求 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F，点F即为所求； （2）如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，即点C在BC的线段垂直平分线上， 同理可证E在线段BC的垂直平分线上， ∴EO是BC的线段垂直平分线， ∴F即为BC的中点； 【小问2详解】 解：如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即为所求； ∵四边形ABCD是正方形， ∴CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°， 又∵CG=CG， ∴△BCG≌△DCG（SAS）， ∴∠BGC=∠DGC， 又∵∠BGF=∠DGH， ∴∠HGC=∠FGC， ∵CG=CG，∠CGH=∠CGF， ∴△CFG≌△CHG（ASA）， ∴CH=CF， ∵F是BC的中点，即BC=2CF， ∴BC=CD=2CH，即点H为CD的中点； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟知正方形的性质是解题的关键． 16. 甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队． （1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率． 【答案】（1） （2） 用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下： 【解析】 【分析】本题考查利用树状图法求概率，通过画树状图法求得所有的情况数和满足条件的情况数是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图求得所有情况数，再从中选出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队有多少种情况，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲被分配到环保志愿服务队的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下： 共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的结果有4种， 则甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率是． 17. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 【答案】（1）第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件 （2）元件 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的应用； （1）设第一次购进这种衬衫x件，则第二次购进这种衬衫件，根据进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元，列出分式方程，进行求解即可； （2）设第二次衬衫每件要售��元，根据老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件； 【小问2详解】 设第二批衬衫的售价是元件， 根据题意得：＋， 解得：， 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 【答案】（1），，40； （2）上午观众时间段的观众对电影的评分较高， ∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高； （3）此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体． （1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值； （2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【小问1详解】 解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴； ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴， ， ∴， 故答案为：，，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 19. 如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为1，． （1）求k的值； （2）若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式； （3）在（2）条件下，直接写出当x为何值时？ 【答案】（1） （2）直线的函数表达式为 （3）当或时， 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得； （2）利用三角形面积求得A的坐标，把代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ∵的面积为1，． ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∵直线过A、B两点， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：观察图象，当或时，． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 20. 图1是某款益智类玩具的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点，，处可转动，，，转动时始终与平行． （1）当转动到如图2形状时，请直接写出，，之间的数量关系； （2）若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过C作，根据平行线的性质即可得到解答； （2）如图，连接，过点作于，过点作于点，过点作交的延长线于，根据等腰三角形的性质证明四边形是矩形进而求出的值，最后根据题目已给的三角函数值得出解答即可． 【小问1详解】 如图所示，过C作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图，连接，过点作于，过点作于点，过点作交的延长线于， 由（1）知， ∴， ，，， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 点到的距离为． 【点睛】本题考查了平行线的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆上，，过D作DE⊥BC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线. （2）若DE＝2CE＝4，求⊙O的半径． 【答案】 （1）证明：如图，连接OD、AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∵， ∴OD⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）如图，连接OD、AC，由AB是直径可得∠ACB=90°，根据DE⊥BC可得DE//AC，根据垂径定理的推论可得OD⊥AC，即可证明OD⊥DE，由点D在圆上即可证明DE是⊙O的切线；（2）作OF⊥BC于F，可得四边形OFED是矩形，可得OF＝DE＝4，OD＝EF，由垂径定理可得BF＝CF，设⊙O的半径为R，在Rt△AOF中，利用勾股定理求出R值即可. 【详解】（1）略 （2）如图，作OF⊥BC于F， ∴BF＝CF， ∵DE⊥BE，OD⊥DE，OF⊥BC， ∴四边形OFED是矩形， ∴OF＝DE＝4，OD＝EF， ∵DE＝2CE＝4， ∴CE＝2， 设⊙O的半径为R，则BF＝CF＝R﹣2， 在Rt△BOF中，BF2+OF2＝OA2， ∴（R﹣2）2+42＝R2， 解得R＝5， 即⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查切线的判定及垂径定理，过半径的外端点且与半径垂直的直线是圆的切线；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧；熟练掌握相关定理是解题关键. 22. 如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积； （3）在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）9.5 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据扫过区域的面积为，求解即可； （3）当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ，解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点C作轴，垂足为K． 为等腰直角三角形， ． 又， ． 又， ． 在和中， ， ， ，． ，． ∴当点B平移到点D时，设， 则，解得（舍去）或． 由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和， 即； 【小问3详解】 解：存在； 当时，过点P作轴，垂足为G． 为等腰直角三角形， ，． ． 又， ． 在和中， ， ， ，， ∴． 当时，， ∴点不在抛物线上． 当，过点P作轴，垂足为F． 同理可知：， ，， ． 当时，， ∴点在抛物线上， 综上，所有符合条件的点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图，由折叠得到， ， ． 又四边形ABCD是正方形， ， ， ， 又 正方形 ． ； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据ASA证明； （2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可； （3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， 由（1）得， ， 由折叠得，， ． 四边形是正方形， ， ， 又， ， ． ，， ，． ， ， （舍去）． （3）如图，连结HE， 由已知可设，，可令， ①当点H在D点左边时，如图， 同（2）可得，， ， 由折叠得， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． ， ， ， （舍去）． ②当点在点右边时，如图， 同理得，， 同理可得， 可得，， ， ， （舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $