精品解析：上海市华东师范大学第三附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

华师大三附中2024学年第二学期期中考试 高二 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题 1. 直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【解析】 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 2. 已知双曲线，则双曲线的焦距为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出，，即可得解. 【详解】由双曲线方程，可得，， ，，故焦距为4. 故答案为：4. 3. 已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且，即可得方程. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点在x轴正半轴上，且，即， 所以该抛物线的标准方程为. 故答案为：. 4. 已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的顶点为，可得椭圆的焦半径为，由长轴定义及椭圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的顶点为， 所以椭圆的焦点在轴上，设方程为， 由长轴长为，可得，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 5. 函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义结合求导公式计算即可. 【详解】， 则. 故答案为：. 6. 若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则______. 【答案】##3.5 【解析】 【分析】由题意列出方程，求出. 【详解】由题知：，故由焦半径公式得：. 故答案为：. 7. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 8. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 【详解】∵在椭圆上 ∴ ∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号. 故答案为：9. 9. 不论取何值时，直线恒过第____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】化简直线方程为，列方程组，进而求解即可. 【详解】直线可化为， 由，得， 所以直线恒过定点， 因为在第四象限， 故直线恒过第四象限． 故答案为：四. 10. 如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大. 故答案为： 11. 在平面直角坐标系中，，，若在曲线C上存在一点P，使得∠APB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】根据曲线上存在“钝点”的定义，依次判断各曲线是否存在“钝点”即可. 【详解】设点的坐标为， 若∠APB为钝角，则， 所以，且不共线， 所以，且， 化简可得， 反之若，则∠APB为钝角， 对于曲线，取曲线上的点， 因为，所以为钝角， 故曲线为有“钝点”的曲线； 对于曲线，若曲线上的点为“钝点”， 则，，所以，矛盾 所以曲线不是有“钝点”的曲线； 对于曲线，若曲线上点为“钝点”， 则，，所以，矛盾 所以曲线不是有“钝点”的曲线； 对于曲线，取曲线上的点， 因为，所以为钝角， 故曲线为有“钝点”的曲线； 对于曲线，取曲线上的点， 因为，所以为钝角， 故曲线为有“钝点”的曲线. 所以曲线①④⑤为有“钝点”的曲线. 故答案为：①④⑤. 12. 若，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由目标式的形式：可看作两点的距离，而可看作两点的距离，问题转化为的最小值；是上的点，对于在坐标系存在使得，可联想抛物线：以为焦点，为准线的抛物线，即问题最终为求抛物线上一点到定点与上的一点的距离之和最小，结合抛物线、函数图象及利用导数求最小值. 【详解】由，记， 则，即原问题转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小， ，当且仅当共线时等号成立. 令，则且， 由于单调增，则是唯一零点，即有在上单调递减，在上单调递增，则，即最小值为. 则． 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质、两点距离公式、数形结合、导数研究函数最值的应用，属于难题. 二、选择题 13. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义和两点的斜率公式，结合图像判断即可. 【详解】设，，由图可得， 而， 故. 故选：C. 14. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 15. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小， 由题知，点满足： ，解得：，，即点， 因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：D 16. 已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 【详解】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率. 故选：C. 三、解答题 17. 已知常数，设直线，直线. （1）若，求的值； （2）若与平行，求与的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； 【小问2详解】 若与平行，则或， 当时，直线，直线，两直线重合，舍去， 当时，则直线，直线， 则与的距离为. 18. 已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【小问1详解】 解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 19. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程. 【小问1详解】 的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 20. 已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； （3）l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． （3）为定值，定值为0 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和离心率求出、，进而求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程，然后联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有交点，从而确定是否存在满足条件的直线； （3）先设直线方程，与双曲线方程联立，根据判别式求出的取值范围，再用韦达定理得到与.设点坐标，利用在两条直线上得到相关等式.接着根据向量关系得出与表达式，最后将、代入表达式，结合前面得到的等式化简，得出为定值. 【小问1详解】 因为的实轴长为4， 所以，解得， 又因为C的离心率为2，所以， 所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知直线l的斜率存在， 设直线的方程为，即， 联立得， ，且， 解得，且， 由韦达定理得，①， 设，由在直线上，得，即②， 由在直线l上，得③， 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ， 故为定值0． 21. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有1个零点，求证：； （3）若在上恒成立，求正整数的最大值. 【答案】（1）的单调增区间为，减区间为 （2） 由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意. 当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意． 综上所述，. （3）3 【解析】 【分析】（1）求导函数，判断导数的正负可得解； （2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可得证； （3）分类参数得出对恒成立，设函数，求导得函数单调性与极值，即可求解正整数的最大值. 【小问1详解】 当时，，，则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在上恒成立，即， 由，则，对上恒成立， 令，则， 设，则， 所以在是单调增函数， 又，， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即， 所以， 所以，又，， 所以的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华师大三附中2024学年第二学期期中考试 高二 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题 1. 直线的倾斜角______． 2. 已知双曲线，则双曲线的焦距为________． 3. 已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为__________． 4. 已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为_________． 5. 函数，则______． 6. 若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则______. 7. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 8. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________． 9. 不论取何值时，直线恒过第____象限． 10. 如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________． 11. 在平面直角坐标系中，，，若在曲线C上存在一点P，使得∠APB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 12. 若，则的最小值是_______． 二、选择题 13. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知常数，设直线，直线. （1）若，求的值； （2）若与平行，求与的距离. 18. 已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 19. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 20. 已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； （3）l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有1个零点，求证：； （3）若在上恒成立，求正整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $