第十三章 三角形（复习训练课件）2025—2026学年人教版（2024）数学八年级上册　

习题 13.2 R·八年级上册 1 复习巩固 1. 三角形的三边长分别为 2，7，a，则 a 的取值范围是________. 5 < a < 9 【教材P9习题13.2 第1题】 2 2. 长为 100 cm，70 cm，50 cm，30 cm 的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 解：组成三角形的有(1)100 cm，70 cm，50 cm；(2)70 cm，50 cm，30 cm 两种选法. 因为只有这两种能满足“两边的和大于第三边”. 【教材P9习题13.2 第2题】 C A B 3. 对于下面每个三角形，分别过顶点 A 画出它的中线、角平分线和高. 解：如下图，AD，AE，AF 分别是△ABC 的中线，角平分线和高. （1） （2） （3） 【教材P9习题13.2 第3题】 C A B D E F (F) E D C A B D E F 4. 如图，在△ABC中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高. 填空： 【教材P9习题13.2 第4题】 C A B E D F （1）BE = _____ = _____； （2）∠BAD =_______= ______； （3）∠AFB =_______= 90°； （4）若 BC = 8，AF = 5， 则 S△ABC =______， S△ABE =______. BC CE ∠CAD ∠BAC ∠AFC 20 10 综合运用 5. 一个等腰三角形的一边长为 6，周长为 20，求其他两边的长. 解：①当腰长为 6 时，底边长为 20 – 6×2 = 8. ∵6 + 6 > 8，∴能组成三角形. ②当底边长为 6 时，腰长为 = 7. ∵ 6 + 7 > 7，∴能组成三角形. 故其他两边长分别为 6，8 或 7，7. 【教材P10习题13.2 第5题】 6.（1）已知等腰三角形的一边长为 5，一边长为 6，求它的周长； （2）已知等腰三角形的一边长为 4，一边长为 9，求它的周长. 解:（1）16或17. （2）22. 【教材P10习题13.2 第6题】 7. 如图，在△ABC 中，AB = 2，BC = 4， 则△ABC 的高 AD 与 CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式） 【教材P10习题13.2 第7题】 解：∵S△ABC = BC·AD = AB·CE， ∴ BC·AD = AB·CE. ∴ A B E D C 拓广探索 8. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，DE // AC，DE 交 AB 于点 E， DF // AB，DF 交 AC 于点 F. 图中∠1 与∠2 有什么关系？为什么？ 【教材P10习题13.2 第8题】 A B E D C F 1 2 A B E D C F 1 2 解：∠1 = ∠2. 理由： ∵ DE // AC，∴∠1 = ∠DAC (两直线平行，内错角相等). 同理，∠2 =∠DAB. 又 AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAC =∠DAB. ∴∠1 =∠2. $$ 复习题 13 R·八年级上册 1 复习巩固 1.下列四个条件： ①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角； ②△ABC 的三个内角的度数之比是 1：2：3； ③在△ABC 中，∠A –∠B = ∠C； ④△ABC 的三个外角的度数之比是 3：4：5. 其中能确定△ABC 是直角三角形的是_________ (只填序号). ②③④ 【教材P21复习题13 第1题】 2 2. 如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是边 BC 上的中线和高，AE = 2，S△ABD = 1.5 . 求 BC 和 DC 的长. 解：∵S△ABD = BD · AE = BD · 2 = 1.5， ∴BD = 1.5. 又 AD 是边 BC 上的中线， ∴BC = 2BD = 3，DC = BD = 1.5. 【教材P21复习题13 第2题】 3. 如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 AB + AD >______， PD + CD >______. 将不等式左边，右边分别相加，得 AB + AD + PD + CD >_________， 即 AB + AC >___________. BD PC BD + PC PB + PC 【教材P21复习题13 第3题】 4. 求出下列图形中 x 的值. （1） （2） （3） 【教材P22复习题13 第4题】 解：(1) x° = 90° – 50° = 40°，x = 40； (2) x° + x° + 40° = 180°，x = 70； (3) x° + (x + 10)° = (x + 70)°，x = 60. 综合运用 5. 如图，∠B = 42°，∠A 比∠1 小 10°，∠ACD = 64°. 求证 AB // CD. 【教材P22复习题13 第5题】 证明：由题意可知 ∠A + 10° =∠1， ∴ ∠A +∠1 = 180° –∠B = 180° – 42° = 138°， ∴ ∠A +∠A + 10° = 138°， ∴ ∠A = 64°. ∴∠A = ∠ACD. ∴ AB // CD (内错角相等，两直线平行). 6. 如图，在△ABC 中，∠C = ∠ABC = 2∠A， BD 是边 AC 上的高，求 ∠DBC 的度数. 【教材P22复习题13 第6题】 解：∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∠C =∠ABC = 2∠A， ∴∠A + 2∠A + 2∠A = 180°， ∴∠A = 36°. ∴∠C = 2∠A = 2×36°= 72°. ∵BD 是 AC 边上的高， ∴∠BDC = 90°. 则∠DBC = 90° –∠C = 90° – 72° = 18°. 7. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，且 AE，BF相交于点 O，∠BAC = 50°，∠C = 70°. 求∠DAC 和∠BOA 的度数. 【教材P22复习题13 第7题】 解：如图，∵∠BAC = 50°，∠C = 70°， ∴∠ABC = 180°– (∠BAC +∠C ) = 180° – (50° + 70°) = 60°. 又 AE，BF 分别是∠BAC，∠ABC 的平分线， ∴∠1 = ∠BAC = ×50°=25°， ∠2 = ∠ABC = ×60°= 30°. 1 2 ∴在△AOB中， ∠BOA = 180° – (∠1 +∠2) = 180° – ( 25° + 30°) = 125°. ∵在△ABC 中，AD 是高， ∴∠ADC = 90°. 又∠C = 70°， ∴∠DAC = 90° – 70° = 20°. 1 2 拓广探索 8. 如图，在△ABC 中，BE，CF 是角平分线，且 BE，CF 相交于点 G. 求证： （1）∠BGC = 180° – (∠ABC +∠ACB)； （2）∠BGC = 90°+ ∠A. 【教材P22复习题13 第8题】 1 2 4 3 证明：如图， (1)∠BGC = 180° – (∠2 +∠3). ∵BE，CF 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线， ∴ ∠1 =∠2，∠3 =∠4. ∴ ∠2 +∠3 = (∠ABC +∠ACB). ∴ ∠BGC = 180° – (∠ABC +∠ACB). 1 2 4 3 (2) ∵∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠A = 180°， ∴ ∠2 +∠3 = 90° – ∠A. ∴ ∠BGC = 180° – (∠2 +∠3) = 180° – (90° – ∠A) = 90° + ∠A. 9. 如图，连接 AC，AD，BD，BE，CE，求证∠A +∠B + ∠C +∠D +∠E = 180°. 【教材P22复习题13 第9题】 解：如图，记 AC、BE 相交于点 F，AD，BE 相交于点 G. ∠C +∠E =∠AFG， ∠B +∠D =∠AGF， ∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AFG +∠AGF = 180°. G F $$ 习题 13.3 R·八年级上册 1 复习巩固 1. 求出下列各图形中的 x 的值： 【教材P16习题13.3 第1题】 （1） （2） 解:（1）∵x° = 180° – 39° – 108° = 33°，∴x = 33. （2）∵x° + x° + x° = 180° ，∴x = 60. 2 （3） （4） （3）∵x° + x° + 72° = 180° ， ∴2x = 180 – 72 = 108. ∴x = 54. （4）∵x° + (x – 36)° + (x + 36)° = 180° ， ∴x = 60. 2.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？ （2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？ （3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 【教材P16习题13.3 第2题】 解:（1）一个三角形最多有一个直角. 若一个三角形有两个直角，则不能满足三角形的内角和定理. （2）一个三角形最多有一个钝角. 若一个三角形有两个钝角，则不能满足三角形的内角和定理. （3）不可以. 若一个直角三角形的外角是锐角，则在一个三角形中有一个直角和一个钝角，则不能满足三角形的内角和定理. 3. 在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°. 求△ABC 各内角的度数. 【教材P16习题13.3 第3题】 解：由题意可知∠B =∠A + 10°， ∠C =∠B + 10° =∠A + 20°， 又∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 10° +∠A + 20°= 180°， 即 3∠A + 30°= 180°. ∴∠A = 50°， ∠B =∠A + 10° = 60°，∠C =∠B + 10° =70°. 4. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠1 =∠2，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数. 【教材P16习题13.3 第4题】 解：∵ AD ⊥ BC，∴∠ADB =∠ADC = 90°. ∵∠1 =∠2， ∴∠2 =∠1 = ×(180° −∠ADB) = × 90° = 45°. ∴∠BAC = 180° − (∠2 +∠C) = 180° − (45° + 65°) = 70°. 综合运用 5. 如图，AB // CD，∠A = 40°，∠D = 45°. 求∠1 和∠2 的度数. 【教材P17习题13.3 第5题】 解：∵ AB // CD， ∴ ∠1 = ∠A = 40°. ∴∠2 =∠1 +∠D = 40° + 45° = 85°. 6. 如图，AB // CD，AE 与 CD 相交于点 O，∠A = 45°，∠C =∠E. 求∠C 的度数. 【教材P17习题13.3 第6题】 解：∵ AB // CD，∴ ∠DOE =∠A = 45°. 又∠DOE =∠C +∠E，且∠C =∠E， ∴∠C = ∠DOE = ×45°= 22.5°. 7. 如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向. 求∠ACB 的度数. 【教材P17习题13.3 第7题】 解：如图，设点 B 的正北方向的射线为 BD，点 A 的正南方向的射线为 AE. 由题意可知 ∠BAE = 45°，∠EAC = 15°，∠DBC = 80°， ∴∠BAC = 45° + 15° = 60°. 由 DB // AE 可得∠DBA =∠BAE = 45°， ∴∠ABC =∠DBC −∠DBA = 80° − 45° = 35°. 在 △ABC 中，∠ACB = 180° −∠BAC −∠ABC = 180° − 60° − 35° = 85°. D E 8. 如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上一点， BE，CD 相交于点 F，∠A = 62°，∠ACD = 35°，∠ABE = 20°. 求∠BDC 和 ∠BFD 的度数. 【教材P17习题13.3 第8题】 解： ∠BDC = 97°， ∠BFD = 63°. 9. 如图，在△ABC 中，∠A = 100°，∠1 =∠2，∠3 =∠4. 求 x 的值。 【教材P17习题13.3 第9题】 解：∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠A = 100°， ∴∠A +∠ABC +∠ACB = 100° + 2∠2 + 2∠4 = 180°. ∴∠2 + ∠4 = 40°. ∴x° = 180° − (∠2 +∠4) = 180° − 40° = 140° . ∴x = 140. 拓广探索 10. 如图，AB // CD，∠BAE =∠DCE = 45°. 填空： ∵AB // CD， ∴∠1 + 45°+∠ 2 + 45°=_____. ∴∠1 +∠2 =______. ∴∠E =_______. 180° 90° 90° 【教材P17习题13.3 第10题】 11. 如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且 CE 交 BA 的延长线于点 E. 求证∠BAC =∠B + 2∠E. 【教材P17习题13.3 第11题】 证明：∵CE 是 ∠ACD 的平分线， ∴∠ACE =∠ECD =∠B +∠E. ∴∠BAC =∠ACE +∠E = ∠B +∠E +∠E = ∠B + 2∠E. $$ 习题 13.1 R·八年级上册 1 复习巩固 1. 如图，写出以∠A 为角的三角形，写出以 BC 为边的三角形. A B C D E 解：以∠A 为角的三角形： △ABE，△ABC. 以 BC 为边的三角形：△ABC，△BEC，△DBC. 【教材P4习题13.1 第1题】 2 2. 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. 解：图中有6个三角形，分别是： △ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC. A B C D E 【教材P4习题13.1 第2题】 3 综合运用 3. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠BAC 是钝角，E 是 DC 上一点，且∠BAE 是锐角. (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. A B C D E F 【教材P4习题13.1 第3题】 解：（1）图中有8个三角形，分别是： △ABD，△ADE，△AEF，△EFC，△ABE，△AEC，△ADC，△ABC. （2）锐角三角形：△ABE； 直角三角形：△ABD，△ADE，△AEF，△EFC，△ADC； 钝角三角形：△AEC，△ABC. A B C D E F 4.如图，AB = BC = CD = DA = AC，找出图中的等腰三角形和等边三角形. 解：等腰三角形： △ABD，△CBD，△ADC，△ABC. A B C D 等边三角形： △ADC，△ABC. 【教材P4习题13.1 第4题】 拓广探索 5. 如图，已知点 A，B 在直线 a 上，点 C，D，E 在直线 b 上. 以点 A，B，C，D，E 中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形. A B C D E b a 【教材P4习题13.1 第5题】 A B C D E b a 解：一共可以组成9个三角形，分别是： △ABC，△ABD，△ABE，△ADC，△ADE，△AEC，△BCD，△BCE ，△BDE. $$